离心率范围
x2y2
2.(2006福建卷)已知双曲线221(a>0,b
ab
60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是
A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)
x2y2
解析:双曲线221(a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60o的直线与双
ab
曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率
bb,∴ aa
c2a2b2
≥4,∴ e≥2,选C ≥3,离心率e=22
aa
2
x2y2
11、(2007北京文4)椭圆221(ab0)的焦点为F1,F2,两条准线与x轴的交
ab
点分别为M,N,若MN≤F1F2,则该椭圆离心率的取值范围是( )
1
A.0
2
B.0
2
1
C.,1
2
1D. 2
x2y2
解析:椭圆221(ab0)的焦点为F两条准线与x轴的交点分别为M,N,F2,1,
aba2a22
2c若|MN|2,|F1F2|2c,MN≤F,则,该椭圆离心率e≥,取
F12
cc2
值范围是1,选D。
x2y2
4、(2007湖南理9)设F1,F2分别是椭圆221(ab0)的左、右焦点,若在
ab
其右准线上存在P, 使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是( ) A
.0
B
.0
C
.
1
D
.
1
【答案】D
a2b2y
【解析】由已知P(,y),所以F1P的中点Q的坐标为(,),由
2c2c
kF1P
cycyb422
2,kQF22,kFPkQF21,y2b2. bb2c21c
y(ac)(3
222
11)0(3)0,1e 22ee3
当kF1P
a2
0时,kQF2不存在,此时F
2为中点,c2ce
c3e1. x2y2
1.(2008福建卷11)又曲线221(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,
ab
若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为B
A.(1,3)
B.1,3
C.(3,+)
D.3,
B 解析:设|PF2|=r, 则|PF1|=2r, 则|PF1|-|PF2|=r=2a.
在△PF1F2中,|PF1|-|PF2|<2c,
即2a<2c,∴e=>1.
又|PF1|+|PF2|≥2c(当P与A1重合时,等号成立),
即3r=6a≥2c,∴≤3,∴1<e≤3.
3ax2y2
4.(2008湖南卷8)若双曲线221(a>0,b>0)上横坐标为的点到右
2ab
焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B )
A.(1,2)
B.(2,+) C.(1,5)
D. (5,+)
横坐标为3a/2的点到右焦点的距离 =横坐标为3a/2的点到右准线的距离*e =(3a/2-a^2/c)e
=3c/2-a
横坐标为3a/2的点到左准线的距离 =3a/2+a^2/c
所以,3c/2-a>3a/2+a^2/c 3c/2a-1>3/2+a/c 3e/2>5/2+1/e 3e^2-5e-2>0 (3e+1)(e-2)>0 e>2
离心率的取值范围 :e>2
5.(江西卷2008 7)已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足MF1MF20的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是C
1 D
. A.(0,1) B.(0,] C
.(0,
222
22222
7. C.由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则cbcbace
1 2
又e(0,1),所以e(0,)
2011重庆文9.设双曲线的左准线与两条渐近线交于A,B 两点,左焦点在以AB为直径的
圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为 B
A
.
B
.
C.
12
2
D
.)
解:渐近线y=±b/a x. 准线x=±a2/c ,
求得A(-a2 /c ,ab/ c ).B(-a2 /c ,-ab/ c ),
左焦点为在以AB为直径的圆内, 得出 -a2 /c +c<ab/ c , b2 /c <ab /c , b<a, c2<2a2 ∴1<e<√ 2 , 故选B.
1.(2013年高考重庆卷)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相较于点O、所成的
角为600的直线A1B1和A2B2,
使A1B1A2B2,其中A1、
B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是zhangwlx
A.
2] B.2) C.) D.) 【答案】A
本题考查双曲线的性质与方程。因为A1B1A2B2,所以根据对称性可知,直线
A1B1,A2B2关于x轴对称,因为直线
A1B1,A2B2所成的角为60。所以直线A
1B1的倾斜角为30或60
,即斜率为tan30
3
或tan60
A1B1与双曲线相交,则双曲线渐近线的斜率
b3a
当b3a
时,3b
2a2,所以3(c2a2)a2,
3c24a2
,即
e243,所以e
。当ba
b,即b23a2,所以c2a2
3a2
,即
c24a2,即c2a,e2e2,即双曲线离心率的范围时2],选A.
x2y2
(2010四川理数)(9
)椭圆a2b
21(ab)的右焦点F,其右准线与x轴的交点
为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是
(A)
(B)11,1 (D)0,2 (C)
12,1
解析:由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,
即F点到P点与A点的距离相等
a2b2
而|FA|=ccc
)(
|PF|∈[a-c,a+c]
b2
于是∈[a-c,a+c]
c
即ac-c2≤b2≤ac+c2
222
accac∴2 22
acacc
c1a
cc11或a2a
又e∈(0,1) 故e∈,1 答案:D
1
2
x2y2
5.(2009重庆卷文)已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0),
ab
若椭圆上存在一点P使为 .
【答案】
ac
,则该椭圆的离心率的取值范围
sinPF1F2sinPF2F1
1,1
. 解法1,因为在PF1F2中,由正弦定理得
PF2PF1
sinPF1F2sinPF2F1
则由已知,得
ac
,即aPF1cPF2
PFPF1211
设点(x0,y0)由焦点半径公式,得P1Fa,0ex
2
PF则aex
a(aex0)c(aex0)
记得x0
a(ca)a(e1)a(e1)
a,由椭圆的几何性质知x0a则整理得
e(ca)e(e1)e(e1)
e22e10,解
得e1或e,又1e(0,,1)故椭圆的离心
率
e1,1)
解法2 由解析1知PF1
c
PF2由椭圆的定义知 a
c2a2
PF1PF22a则PF2PF22a即PF2,由椭圆的几何性质知
aca2a2
PF2ac,则ac,既c22ca20,所以e22e10,以下同解析1.
ca