微积分在行列式计算中的应用
2000年3月第17卷第1期广西师范学报(自然科学版)
Journal of G uangxi T eachers College (N atural Science Edition) Mar. 2000V ol. 17, No. 1
文章编号:1002-8743(2000) 01-0061-04
微积分在行列式计算中的应用
欧 伯 群
(钦州师范高等专科学校数学系, 摘 要:关键词:; ; :A
在《高等代数》中, 利用代数知识计算行列式的方法很多, 本文从微积分的有关知识出发, 介绍利用微
积分计算行列式的两种方法; 从而把《高等代数》与《微积分》两大古典数学的分支更加紧密联系起来。
1 利用导数计算行列式:
主要思路:根据所求行列式的特点, 构造一个较易求值的行列式函数, 使得行列式函数在某点的导数值与所求行列式相等, 从而把计算行列式的问题转化为行列式求导数的计算。利用行列式求导的计算方法:逐行或逐列求导数之和, 以及行列式的性质, 可计算一类行列式的值。
此法适用于:
(1) 构造的行列式函数较易求值。
(2) 行列式函数求导后在某点的导数值刚好是所求行列式与较易求值行列式之和。
例1 求n 阶行列式的值。
1α1 D n =
…
1
α2…
…
……
1
αn …
n -2n -2αα12…αn n -2
n n αα…αn 12n
注:这道题用《高等代数》的方法也能解决。本题是北京大学数学力学系编的《高等代数》习题。这里介绍用微积分进行计算。
解:先构造一个n 阶行列式函数:
e
αx 1
e
α2x
………
e
αn x
αx α1e 1αx
α2e 2αn x
αn e
Dn (x ) =………
n -2αx n -2αx αe 1αe 212n -1αx n -1αx αe 1αe 212
αn x
…αn n -2e αn x
…αn n -1e
收稿日期:19990308
广西师院学报(自然科学版) 第17卷・62・
11
α1
每行提公因子e (α1+α2+…+αn ) x
…
α2…
…
……
1
αn …
=e
(α+α+…+α) x 12n
1Φj
∏
(α-α)
i
j
n -2n -2
αα12n -1n -1αα12
…αn n -2…αn n -1
从而行列式函数:
D n (x ) =e
(α+α+…+α) x
12n
1Φj
∏(α-α)
i
j
两边对x 求导数:()
e
αx 1
e
αx 2
………α
e
αn x
αx
α1e 1αx
α2e αn x
d x
1
α1
α2
n -2x n -2αn x
n e
(e (α1+α2+…+αn ) x (αi -αj ) ) d x 1Φj
∏
…
n -1αx n -1αx
αe 1αe 212αn x
…αn n -1e
αx α1e 1αx α1e 1
αx
α2e 2αx α2e 2
………
αn x
αn e αn x αn e
e
αx 1
e
αx 2
e
αn x
2αx α1e 12αx
α2e 22αx α2e 2
2αn x
…αn e 2αn x …αn e
∴………
+
2αx
α1e 1
n -2αx n -2αx
αe 1αe 212n -1αx n -1αx αe 1αe 212
αn x
…αn n -2e αn x
…αn n -1e
…
αn x
………
n -1αx n -1αx αe 1αe 212αn x
…αn n -1e
e
αx 1
e
αx 2
………
e
αx α1e 1αx
α2e 2αn x
αn e
+……+
………
(α+α+…+α)
2n =(α1+α2+…+αn ) e 1
x
n -2αx n -2αx
αe 1αe 212αn x
…αn n -2e
1Φj
∏
(αi -αj )
αx n αx n αx
αα…αn 1e 12e 2n e n
等式左边的前n -1个行列式全为0, 因为有相邻两行的元素相同。
e
α1x
e
αx 2
…………1
e
αn x
αx
α1e 1αx
α2e 2αn x
αn e
∴…
n αx α1e 1
…
n αx
α2e 2
…
αx
αn n e n
(α+α+…+α)
2n =(α1+α2+…+αn ) e 1
x
n -2αx n -2αx
αe 1αe 212αn x
…αn n -2e
1Φj
∏
(αi -αj )
令x =0得:1
1
α1…
n
α1
α2…
n
α2
…
………
αn …αn n
=(α1+α2+…+αn )
1Φj
n -2n -2
αα12…αn n -2
∏
(αi -αj )
结论:只要构造的行列式原函数较易求值, 则可利用导数计算行列式。
2 利用积分计算行列式
主要思路:将所求行列式的某行或某列相等地改为定积分, 然后把定积分计算与行列式计算交换次序, 从而把行列式的求值问题转化为被积函数中行列式的计算问题。只要被积函数中的行列式比所求行列
第1期 欧伯群:微积分在行列式计算中的应用 ・63・
式计算简单, 此法就有用场; 最后归结为定积分的计算。此法适用范围:
把行列式的某行或某列改写为定积分, 交换积分计算与行列式计算次序后, 所得行列式比所求行列式简单。
例2 求n +1阶行列式的值(n 为偶数) 。
12
D n +1=
1222
…………
1n 2n
1n +12n +1
…
n …
n
22
…
n
n n
…
n
n +12+2
解:
k
n k x =(k =1, 2, …, n +1) n 0k +1
从而把行列式D n +1看作是另一个n +1阶行列式函数的定积分:
12
1222
……
……
2
1n 2n
1n +12n +1
即 D n +1=
1
=
…
n n
…
n
2
…
n
n n
…
n
n +1
n
x d x
n
n
x d x …
n
n
x d
n
n
x n +1d x
1222
…1n …2n …
……n n
1n +12n +1
n
…
n
2
n x
…
n 2x 2
…d x
n n +1
…x n x n +1
11…1n -1
1n 2n
每行提公因子
n
…
n
11111
2
n x
…2n -1
……n n -1…x n -11…2
………x d x
n
n
x n
1
n
1
x
行列互换(n -1) !
1…
n
…2n -12n
…
…
…
x
…x d x
n -1n
n -1
…n n -1
…n n
被积函数可看作一个n +1阶凡德蒙行列式
1
1
1n
x
利用
α1…
α2…
…
……
1
αn …
=
1Φj
∏
(αi -αj )
n -1n -2
αα12…αn n -1
广西师院学报(自然科学版) 第17卷・64・
11
12
∴
…1n -11n
…2n -12n
…
……
1
n
1
x
…
x
…
n -1
=c (x -1) (x -2) …(x -n )
…n n -1
n
…n n x
这里常数C 是X 无关的整数。
∴D n +1=(n -1) !
cx (x -1) (x -2) …(x -∫
=c (n -1) ! x (x -1) (x -2) (∫
n
n
n ) d x 0
利用换元积分法作变换:
X =t (, n
2
)
∴D n +1
x (x -1) (x -2) …(x -n ) d x (t +) (t +=c (n -1) ! -1) …(t +1) t (t -1) …(t -22c (-1) !
02
-
2
2
) d t
=c (n -1) !
2
-
2
22222t (t -1) (-2) …[t -(
2
) 2]d t
=0 (因奇函数在对称区间上的积分为0)
12
1222
……
……
1n 2n
1n +12n +1
∴所求行列式:D n +1=
…
n …
n
22
…
n
n n
…
n
n +1n +1
=0
…
23n +1n +2
结论:只要把行列式的其中一行(或一列) 表为定积分后交换积分与行列式的计算次序, 如果计算简
便, 则便可利用积分计算行列式。
参考文献
[1] 北京大学数学力学系编1高等代数1北京:人民教育出版社,1983. [2] 王向东, 周士藩编1高等代数常用方法1北京:科学出版社,1989. [3] 华东师范大学数学系编1数学分析1北京:高等教育出版社,1991.
[4] P ・M 菲赫金哥尔茨著1叶彦谦等译1微积分学教程1(第一卷) 1北京:人民教育出版社,1978.
APPL ICA TION OF INFIN ITESIMAL
CALCUL US TO THE DETERMINAN T CALCULA TION
Ou Bo Qun
(Qinzhou Teachers College ,Qinzhou , Guangxi ,535000)
Abstract Two ways of how to apply some knowledge about differential and integral to the determinant calculation are given and explained in details in this paper.
K ey w ords derivative ;integral ;determinant.