汽车结构有限元分析02_有限元基础理论

第二讲

有限元基础理论

及平面问题有限元方法

讲述以下问题-----1.有限元与力学关系 2.回顾---材料力学研究对象与研究方法 3.强度问题 、刚度问题、稳定性问题 4.点的应力状态---空间问题 5.广义Hooke定律 6.弹性力学的基本方程 7.弹性力学问题分类 8.三大方程、三类问题、三种解法 9.平面问题 10.平面问题的有限元方法

1.有限元与力学关系

9 弹性力学与理论力学区别：理论力学研究对象是质点、质

点系与刚体（质点系力学与刚体力学）。

9 材料力学与弹性力学研究变形体。 9 力学分支众多：材料力学、结构力学、弹性力学、板壳力

学、塑性力学、断裂力学、损伤力学、复合材料力学、结 构稳定性理论、振动理论、流体力学、结构动力学等; 有限元方法是以力学理论为基础，是一种现代数值计算方 法，是一种解决工程实际问题的数值计算工具，是现代设 计与分析方法的支柱！

2.回顾----材料力学研究对象与研究方法

研究各种工程结构：常见的如下结构元件（构件）: （1）杆、杆系、梁、柱，（长＞＞宽和高）--材料力学 （2）板(中厚板)、壳，（厚＜＜长与宽）---扳壳力学 （3）三维体，---弹性力学

截面法是处理固体力学问题的最基本的方法： 通过外力（作用力和约束力）与内力（应力）平衡求构件的响 应， 通过本构（物理）关系求变形（位移与应变）， 最重要的是材料力学中的平截面法，其中尤以梁的平截面假设最 为重要。-----简化计算！

平截面假设 初始与梁的中性轴垂直的平面,在变形后仍垂直于 轴线, 并且在垂直轴线方向上无变形； 梁的基本方程：

M d 2w = 2 EI dx

d 2w dx

2

M y σ= I

Q h2 2 τ = ( − ya ) 2I 4

2

≅

1

ρ

σ max =

6M bh

τ max

3Q = 2bh

τ max

σ max

弹性力学研究对象与任务

研究弹性固体在载荷作用下的力学行为（主要包括A（x,y,z）点的位移、应 变和应力等）。

基本假设 1) 连续性 2) 匀质性 3) 各向同性 4) 小变形 5) 线弹性

3.研究工程结构在使用状态下的安 全性、可靠性、使用性等，实现 结构的功能与性能。 强度问题(应力值不超过许用 值) ； 刚度问题(变形不太大)； 稳定性问题（不失稳）； 振动问题（量值在限制范围）； 碰撞问题（安全生存空间）； ……

4 .点的应力状态---空间问题

σz τ zy τ zx τ yx τ xz τ yz σx

z

τ yz τ yx τ zx σy

τ xy

y

x

弹性问题 应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关。 九个应力分量，九个应变分量（独立变量各六个）。 单元体研究方法。

⎡ ⎢ε x ⎢ ⎢1 γ ⎢ 2 yx ⎢ ⎢1 γ zx ⎢ 2 ⎣ 1 γ xy 2 εy 1 γ zy 2 1 ⎤ γ xz ⎥ 2 ⎥ 1 γ yz ⎥ ⎥ 2 ⎥ εz ⎥ ⎥ ⎦

⎡σ x τ xy τ xz ⎤ ⎥ ⎢ ⎢ τ yx

σ y τ yz ⎥ ⎥ ⎢ τ τ σ z ⎦ ⎣ zx zy

⇒

6.弹性力学的基本方程---三大方程 • 平衡方程

∂σ x ∂τ yx ∂τ zx +X =0 + + ∂z ∂x ∂y

• 几何方程

∂u εx = ∂x

γ xy =

γ yz =

∂u ∂v + ∂y ∂x

∂v ∂w + ∂z ∂y

∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + + +Y = 0 ∂x ∂y ∂z

εy =

∂v ∂y

∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + +Z =0 ∂x ∂y ∂z

∂w εz = ∂z

∂w ∂u γ zx = + ∂x ∂z

物理方程 σx=2Gεx +λθ τxy = Gγxy σy=2Gεy +λθ σz=2Gεz +λθ τyz = Gγyz τzx = Gγzx

6.弹性力学的基本方程---三大方程

⎧ ⎪ 1 ⎪ ⎪ μ ⎪1 − μ ⎧σ x ⎫ ⎪ ⎪σ ⎪ ⎪ μ ⎪ y⎪ ⎪ ⎪σ z ⎪ ⎪ E (1 − μ ) ⎪1 − μ ⎪ ⎨ ⎬= ⎨ τ μ μ + − (1 )(1 2 ) xy ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪τ yz ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ τ ⎪ zx ⎭ ⎪ ⎪ 0 ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎩

μ

1− μ 1

μ

1− μ

0 0 0 1 − 2μ 2(1 − μ ) 0 0

0 0 0 0 1 − 2μ 2(1 − μ ) 0

μ

1− μ 1 0 0 0

μ

1− μ 0 0 0

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎧ε ⎫ ⎪⎪ x ⎪ ⎪ ε 0 ⎪⎪ y ⎪ ⎪ εz ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬⎨ ⎬ γ 0 ⎪ ⎪ xy ⎪ ⎪ ⎪γ yz ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪γ zx ⎪ ⎭ 0 ⎪⎩ ⎪ ⎪ 1 − 2μ ⎪ 2(1 − μ ) ⎪ ⎭ 0

{σ }6×1 = [ D]{ε }

[D]称为弹性矩阵，它由弹性常数E和μ确定。

5.各向同性弹性体

广义Hooke定律

σ x ν (σ y + σ z ) εx = − E E

γ xy

2(1 + ν ) = τ xy E

2(1 + ν ) = τ yz E

2(1 + ν ) τ zx E

σ z ν (σ x + σ y ) εz = − E E

ν (σ z + σ x ) εy = − E E σy

γ yz

γ zx =

弹性力学有15个基本方程： 3个平衡方程； 6个几何方程； 6个本构方程； 15个基本未知量： 3个位移分量； 6个应力分量； 6个应变分量； * 加适当边界条件。

弹性力学问题——偏微分方程的边值问题 弹性力学方法只能对非常简单的几何形 状、边界条件及载荷得到解答(解析解或 半解析解)。对于复杂几何形状、边界条 件及载荷的固体，弹性力学无法求解。

弹性力学问题解法---三种解法（位移法、应力法、混合法）

应力

变形(位移与应变) • 变形协调方程(或位移单值连续) • 位移边界条件

Š 平衡微分方程 Š 静力边界条件

物理方程

以位移作为未知数

位移解法

几何方程求应变 物理方程求应力

联立求解

弹性力学问题分类---三类边界问题

Sσ(X,Y,Z)

静力边界问题 位移边界问题 混合边界问题

Su

(X,Y,Z)

由位移表示的平衡微分方程

G∇ 2 u + ( λ + G ) ∂θ +X =0 ∂x ∂θ G∇ 2 v + (λ + G ) + Y = 0 ∂y ∂θ G∇ 2 w + ( λ + G ) + Z = 0 ∂z

其中

∂2 ∂2 ∂2 ∇ = 2+ 2+ 2 ∂x ∂y ∂z

2

是Laplace算子

静力边界条件使用位移表示 位移边界条件

9. 平面问题

z

平面应变

ƒ ƒ

物体是一柱体，轴向方向很长 所有外力（体积力和面力）都平行 于横截面作用，且沿轴线大小不变

y

x

平面应力

x

ƒ沿z方向的厚度t均匀且很小 ƒ所有外力

均作用在板的周边和板内，

t/2

t/2 z

平行于板面作用，且沿厚度不变

y

y

ƒ 平面应力特点

（1）位移

u=u(x,y) v=v(x,y) w ≠0

（2）应力 在面外： 在面内： （3）应变

σz=τzx =τzy =0 σx、σy、τxy ≠0 εz=……?

γxz=γyz=0

ƒ 平面应力特点

平衡方程 几何方程 物理方程

∂σ x ∂τ yx + + X =0 ∂x ∂y

∂τ xy ∂x

+

∂σ y ∂y

+Y = 0

∂u εx = ∂x

εy =

∂v ∂y

0

γ xy =

∂u ∂v + ∂y ∂x

⎡ ⎧σ x ⎫ ⎢1 μ ⎪ ⎪ E ⎢ μ 1 ⎨σ y ⎬ = 2 ⎢ 1 − μ ⎪ ⎪ ⎢ τ xy ⎩ ⎭ ⎢0 0 ⎣

0 1− μ 2

⎤ ⎥ ⎧ε x ⎫ ⎥⎪ ⎪ ⎥ ⎨ε y ⎬ ⎥ ⎪γ ⎪ ⎥ ⎩ xy ⎭ ⎦

ƒ 平面应变特点

（1）位移

u=u(x,y) v=v(x,y) w = 0

（2）应变 平面内， εx、εy、γxy ≠0，均为x、y的函数； 平面外，εz=γxz=γyz =0； （3）应力

τ zx = τ zy = 0

σz=……?

ƒ 平面应变特点

（1）平衡方程

⎧ ∂σ x ∂τ xy + +X =0 ⎪ ∂y ⎪ ∂x ⎨ ⎪ ∂τ xy + ∂σ y + Y = 0 ⎪ ∂y ⎩ ∂x

（2）几何方程

⎡∂ ⎤ 0 ⎥ ⎢ ⎧ε x ⎫ ⎢ ∂x ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ ∂ ⎥ ⎧u ⎫ ⎨ε y ⎬ = ⎢0 ⎥ ⎨v ⎬ y ∂ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎩ ⎭ γ ⎩ xy ⎭ ⎢ ∂ ∂ ⎥ ⎢ ⎥ y x ∂ ∂ ⎣ ⎦

ƒ 平面应变特点

（3）物理方程

{σ } = [ D ]{ε }

⎡ μ 1 ⎢ 1− μ ⎢ E (1 − μ ) ⎢ μ 1 其中 [ D] = ⎢ (1 + μ )(1 − 2 μ ) ⎢1 − μ ⎢ 0 ⎢0 ⎣

事实上，将平面应力问题物理方程中的 E 改为

0 0 1 − 2μ 2(1 − μ )

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

E μ μ , 改为 1− μ 2 1− μ

9. 平面问题

1）仅为(x, y)的函数； 2）平衡方程、几何方程完全相同，物理方程形式相同； 3）求解方法完全相同。 ----------通称弹性力学平面问题（二维固体问题）。

q l

平面应力

平面应变

l → +∞

l → 0+

q

q l l

10. 平面问题的有限元法

有 限 元 • 把整个求解区域分成许多个有限小区域，这些小区域称之为单元。 方 法 • 在每个单元上构造近似位移函数，即进行所谓的分片插值。 概 • 在每一个单元上求势能。 念

• 将所有单元上的势能加起来得弹性体的总势能。 • 最后应用最小势能原理求解单元节点位移。

• 用弹性力学经典解法解决实际问题的主要困难在于求解偏微分方程 的复杂性，而有限元方法则将原来连续的弹性体离散化，其中最简 单的就是采用三角形单元对弹性体进行划分。

有限元模型

有限元网格划分

载荷处理——等效节点载荷

边界约束条件处理

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

单元分析

作业

试证明：

整体分析

整体分析

整体分析

整体分析

整体分析

整体

分析

整体分析

整体分析

整体分析

整体分析

整体分析

例题1

例题1

例题1

例题1

例题1

例题1

例题1

例题1

例题2

例题2

例题2

例题2

例题2

作业

边界约束条件的处理

(1) 零位移约束

边界约束条件的处理

边界约束条件的处理

边界约束条件的处理

(2) 非零位移约束

结构刚度方程的求解

结构刚度方程的求解

非结点载荷的移置

非结点载荷的移置

非结点载荷的移置

非结点载荷的移置

非结点载荷的移置

计算结果的整理

计算结果的整理

平面四结点矩形单元

平面四结点矩形单元

单元位移模式

平面四结点矩形单元

平面四结点矩形单元

平面四结点矩形单元

单元应变和应力

平面四结点矩形单元

平面四结点矩形单元

单元刚度方程

平面六结点三角形单元

平面六结点三角形单元

平面八结点矩形单元

平面八结点矩形单元