定积分的简单应用(19)

1.7.1定积分的简单应用(2)

一、【教学目标】

重点:微积分中的以不变代变的思想的运用，应用定积分求变速直线运动物体的路程. 难点：对变力做功问题求解过程的理解．

知识点：应用定积分求变速直线运动物体的路程和变力做功.

能力点：如何探寻运用定积分解决一些物理学中时刻变化的问题.

教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：如何运用定积分解决一些简单的实际应用问题.

考试点：变速直线运动的路程与位移计算以及变力做功问题.

易错易混点：在求变速直线运动的路程和位移时，学生一般在“符号”上容易出错.

二、【引入新课】

上节课，我们利用定积分的几何意义同曲边梯形面积之间的联系学习了如何用定积分来表示和求解比较复杂的曲边梯形面积．在引入定积分的定义时，除了使用曲边梯形的面积，我们还利用了已知汽车做变速运动时，如何求解行驶的路程，那么大家一起回顾一下：

问题1：如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度是v(t)t22（t的单位：h，v的单位：km/h），那么它在0t1的这段时间内行驶的路程s（单位：km）是多少？这个问题最初我们是如何分析的？

这个问题在初次介绍时，类比求曲边梯形的原理，采用四步曲“分割，近似代替，求和，取极限”的方式求解的.

即 slim

n

nv

i

i1

n

1

问题2：采取的方法与定积分的概念有什么关系?

四步曲与定积分的概念完全一致，表达式也与定积分的概念类似.

即



b

a

f(x)dxlim

ba

fi( )

nni1

n

问题3：那么，我们能不能把以上题为例，把变速直线运动的路程用定积分表达出来？ （学生自己探究表达，教师检查纠正，并板书答案）

513

即 sv(t)dtt2dtt2t

00

303

1

1

2

1

我们发现用定积分可以表示作变速直线运动的物体在某时段内的路程，利用微积分基本定理可以求

定积分的值，这样大大简化了我们在最初对变速直线运动的分析和计算量，因此，运用定积分可以解决物理中变速直线运动的路程计算问题. 那么除了解决这类问题，定积分在物理学中还有别的应用吗？今天，

我们就带着问题一起探究：定积分在物理的应用．

【设计意图】首选让学生回顾前面所学知识，做到温故而知新，同时结合新学的知识点，从另外的角度出发解决同一个问题，进而加深理解，不桎梏学生的思维方式. 开篇点题让学生明确本节课的教学内容，同时学生带着老师的问题去学习目标性更强.

三、【探究新知】

探究一、变速直线运动的路程

根据上述问题的分析，我们知道，若一物体做变速直线运动，其速度函数vv(t),(v(t)0)，则在时间atb的范围内，物体所行驶的路程s为其速度函数vv(t)在时间区间[a,b]上的定积分，

即 s



b

a

v(t)dt.

例1:一辆汽车的速度一时间曲线如图所示．求汽车在这1min内行驶的路程． （教师引导学生分析图形及题意，明确解题思路）

思考1：根据已学过的物理运动学知识观察汽车的速度一时间图象，你来分析一下汽车在不同的时间段各自做的是什么运动？

根据汽车的速度一时间图象，可以知道，在0t10，汽车做的是匀加速直线运动，在10t40，汽车做的是匀速直线运动，在40t60，汽车做的是匀减速直线运动. 思考2：那么，解决这辆汽车的运动路程问题，你有几种方法？ 两种方法：（1）按照刚才的总结，利用定积分来表示运动的路程；

（2）根据物理学中速度一时间图象的意义，速度图象与时间t轴所围成的面积即为路程. 解法一：解：由速度一时间曲线可知：

3t,0t10,

v(t)30,10t40

1.5t90,40t60.

因此汽车在这1min行驶的路程是：

s3tdt[30dt(1.5t90)dt

10

40

104060

33240t2|1030t|(t90t)|60010401350(m) 24

答：汽车在这1min行驶的路程是1350m .

解法二：根据物理学中速度一时间图象的意义，当v(t)0速度图象与时间t轴所围成的面积即为路程. 在本题中所围成的图形为梯形OABC，故路程

1

3060301350 sSOABC(m) 2

答：汽车在这1min行驶的路程是1350m .

【设计意图】本题从细节入手，分析细致，让学生通过图象读懂过程，整体难度较低，过程比较简单，由速度图像就可以很容易分析出汽车的运动状态，同时由于定积分的知识是在高二学期，在这之前，学生在物理学科中已经学过了简单的变速直线运动的处理方式，所以，这个问题通过物理意义一样能够处理，发散学生思维，同时加强数学在其他学科中的应用，让学生体会数学的神秘之处. 思考3：我们曾在物理学中接触过多个变速直线运动公式. （学生举例，教师说明关系）

在匀加速直线运动中： 加速度为a，速度v(t)v0at，路程sv0t我们会发现： 速度vt

12at. 2



t

adtat0at，

t

t

t

若初速度为v0 ，则v(t)v0at，

1212

路程sv(t)dtv0atdtv0tatv0tat .

00220

t

【设计意图】通过数学的角度解释物理学公式，让学生体会数学的无穷力量，同时加强对于定积分求解变

速直线运动路程的应用.

【变式练习1】A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t(s)后到达途中C点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以匀速行驶，从D

点开始刹

车，经t(s)后，速度为(241.2t)m/s，在B点恰好停车，

试求：（1）A、C间的距离；

（2）B、D间的距离；

（3）电车从A站到B站所需的时间.

思考一：如何用直线来表示汽车由A到B的整个行驶过程？

C A B D 匀加速 匀减速

匀速24m/s

思考二：作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数vv(t),(v(t)0)在时间区间[a,b]上的定积分,即S＝v(t)dt.结合相关的物理知识，在对应的时间段内选择正确的速度函数定积分计算.

a



b

解：（1）设A到C的时间为t1，则1.2t124,t120(s),

于是AC



20

20

1.2tdt0.6t2|0240(m)；

（2）设D到B的时间为t2，则241.2t20,t220(s),

于是DB

220（24－1.2t）dt0.6t|0240(m)； 020

(3) 由于AB间距为7.2km，则CD720022406720(m)，

于是从C到D的时间为672024280(s),

因此则所求时间为2028020320(s).

【设计意图】该变式是考查学生对变速直线运动的运动过程的理解，通过对物体各时间段运动过程的分析，得出个时间段的运动路程和时间.

探究二：变力作功

1、恒力问题：由物理学知识可知，一物体在恒力F（单位：N）的作用下作直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s（单位：m），则力F所做的功为：

WFs

2、变力问题：如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb，(ab)，那么如何计算变力F(x)所作的功W呢？

与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．

（以图形展示，建议学生自己分析，教师适当指导）

x

x

（1）分割：n 等分区间a,b，每个小区间的长度x



ba

； n

（2）近似代替：WiF(xi)gxF(xi)n

n

ba

； n

ba

WF(x)ii

ni1i1

nbba

（4）取极限：WlimF(xi)F(x)dx

anni1

（3）求和：Wn可以得到：W



b

a

F(x)dx.

因此：如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到

xb，(ab)，那么变力F(x)所作的功W：

WF(x)dx

a

b

例2:如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l(m) 处，求克

服弹力所作的功．

思考一：根据物理学中的胡克定律，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F(x)与弹簧拉伸（或压缩）的长度x有什么关系？

在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F(x

)与弹簧拉伸（或压缩）

的长度x成正比，即F(x)kx, 其中常数k是比例系数．

解：由胡克定律，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F(x)与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比，即F(x)kx, 其中常数k是比例系数．

由变力作功公式，得:

12l12

kx|0kl(J)

022

12

答：克服弹力所作的功为kl(J).

2Wkxdx

l

【设计意图】弹簧的压缩与拉伸是典型的变力作功问题，通过本例让学生理解对于变力所作的功的计算方法.

【变式练习2】在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F与缩短的距离x按胡克定律F(x)kx计算，今有一弹簧原长90cm，每压缩1cm需0.049N的压缩力，若把这根弹簧从80cm压缩至60cm（在弹性限度内），问外力克服弹簧的弹力做了多少功？

解：根据胡克定律F(x)kx可知0.049k0.01，解得 k4.9.

由于弹簧的原长为90cm，因此当弹簧从80cm压缩至60cm时，压缩的长度变化为10cm到30cm， 因此所做的功为：

WF(x)dx

a

b

10.03

4.9xdx4.9x20.196J 0.0120.01

0.03

【设计意图】例3原理性较强，但由于缺乏数字，计算的体现不是很强，因此在变式练习中，加入数字的

计算，使学生明确变力做功的计算特点.

四、【理解新知】

1、变速直线运动的路程：

若一物体做变速直线运动，其速度函数vv(t),(v(t)0)，则在时间atb的范围内，物体所行驶的路程s为其速度函数vv(t)在时间区间[a,b]上的定积分，

即 s



b

a

v(t)dt.

2、变力做功：

如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb，

(ab)，那么变力F(x)所作的功W：

WF(x)dx

a

b

四、【运用新知】

例3： 一点在直线上从时刻t0(s)开始以速度vt24t3(m/s)运动,求:(1)在t4s运动的位移；

(2)在t4s运动的路程. （教师引导学生分析思考）

思考一：根据速度—时间函数图象，分析一下质点的速度在0t4这段时间内是如何变化的？

当t0,1时，速度v由3递减至0，速度为正，即正向行驶； 当t1,3时，速度v一直为负，即反向行驶；

当t3,4时，速度v由0递增，速度为正，即又正向行驶；

思考二：物理学中，位移和路程有何不同？与行驶的方向有何关系？

位置是从初始位置指向末位置的有向线段，既有大小又有方向，可正可负可为0，当速度方向与位移方向相同时，则位移在增加，当速度方向与位移方向相反时，则位移在减少.

路程只有大小没有方向，是一个非负的量，无论速度是什么方向，所行驶过距离都要记录在路程中. 思考三：那么，在这个问题中，我们应该如何选择定积分的格式来表示位移与路程呢？ （教师通过板书解题过程来解释选择的方法）

解：（1）由速度函数图像可知在[0,1]秒内位移为正直，在[1,3]秒内位移为负值，在[3,4]秒内位移为正直.因此在t4s运动的位移为：





s(t24t3)dt

4

4

m 3

（2）由速度函数图像可知在[0,1]秒内质点前进，在[1,3]秒内质点后退，在[3,4]秒内质点又前进.因此质点在t4s运动的路程为：

st24t3(t24t3)dt[(t24t3)]dt(t24t3)dt

1

3

4134

444111

t32t23tt32t23tt32t23t4m30333333

34

.

【设计意图】本题利用定积分表达变速直线运动的路程，同时结合着物理学中的路程和位移的关系，路程

全是正值，而位移是矢量有正有负，体现了定积分在运动学中应用的灵活性.

2

【变式训练3】变速直线运动的物体的速度为v(t)1t，初始位置为x01，求它在前2秒内所走过的

路程及2秒末所在的位置． 解：当0t1时，v(t)0，

当1t2时，v(t)0. 所以前2秒钟内所走过的路程：

Sv(t)dt[v(t)]dt(1t)dt

1

121

2

2

1

11

(t1)dt(tt3)(t3t)2

3031

2

12

2秒末所处的位置：

811

x1x0v(t)dt11t2dt1tt312

003330

2

2

2

答：它在前2秒内所走的路程为2，2秒末所在的位置为x1

1

. 3

【设计意图】当速度函数取值为负值时，要注意路程与位移的关系.

例4 把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为的地方，那么电场对它的作用力的大

q

k是常数），当这个单位正电荷在电场中在电场中从ra处沿r轴移动到rb处时，r2

计算电场力F 对它所作的功W．

小为Fk

解：取r 为积分变量，则ra,b， 由已知可得：



q

o

a



b

r

W

b

a

kq111drkqkq r2raab

b

【设计意图】这也是一道典型的变力做功问题，主要目的是开阔学生的眼界，接触更多的有关用定积分解决变力做功的问题，同时了解数学在物理学中解决问题的广泛性. 【变式训练4】一物体以速度vt2t

2

m/s 作直线运动,媒质的阻力FN与速度v(m/s)的关系为

F0.7v2，试求在时刻t0s到t2s这段时间内阻力做的功.

解:媒质的阻力为F0.7v0.72t

2





22

2.8t4，显然阻力是个随时间变化的量，属于变力做功问题.

取一段足够小的时间区间t,tt，这一小段时间内物体的位移为vt，进而阻力所做的功为



△WFv△t，因此在整个过程中物体所做的功为

WlimWlimFvtFvdt

n

i1

n

i1

nn

2

即 在时刻t0s到t2s这段时间内阻力做的功为

W

2

1

Fvdt2.8t2tdt5.6tdt5.6t7102.4J .

0070

2

4

2

2

6

2

答: 在时刻t0(s)到t2(s)这段时间内阻力做的功为102.4J.

【设计意图】本道题相对例题难度较大，从定积分的本质上理解其在物理学中变力做功问题的应用，建议

教师从基本概念入手，根据学生个人接受能力酌情讲解.

五、【课堂小结】

教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？

学生作答：1．知识：变速直线运动的路程问题和变力作功问题．

2．思想：分类讨论的思想、数形结合的思想、特殊与一般的思想．

教师总结: 定积分的计算用到了微积分基本定理，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容，“温故而知新”．在应用中增强对知识(如本节的两个公式)的理解，及时查缺补漏,从而更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．

【设计意图】 加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”．

六、【布置作业】

1．阅读教材P56—59； 2.书面作业

必做题：P60 习题1.7 A组 3、4、5、6

选做题：1．一物体以初速度v9.8t6.5(m/s)的速度自由下落，则下落后第二个4 s内经过的路程是________．

2．一物体在力F(x)

10,(0x2)

(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x0运动到

3x4,(x2)

x4（单位：m)，则力F(x)所做的功W＝________.

3．变速直线运动的物体的速度v(t)5t2，初始位置v(0)1，前2s所走过的路程为__________. 4. 课外思考：物体A以速度v3t1在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以v10t的速度与A同向运动，问两物体在何时相遇？相遇时A走过的路程是多少?

【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用本节课所介绍的公式，解决简单的物理学问题；课外思考的安排，是让学生理解公式之间的联系，从而让学生深刻地体会到定积分在物理学中的应用.

2

七、【教后反思】

1.本教案的亮点是变式训练，每道例题的后面均跟着变式练习，题型和相关知识点类似，但从本质上又有所升华和加深，比如在例3的教学中，让学生通过观察速度函数图像，发现速度是有正有负的，说明质点的运动是有前进有后退的，利用数学工具解决物理问题，却又不脱离物理实际背景．例2一题多变，既注重了与原问题的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力．同时本节内容涉及的学科间的联系 较多，从另外一个角度反映了数学的广泛应用性，提高学生对数学学习的兴趣.

2. 本节课的不足之处是想让学生了解的内容过多，有关定积分的计算量也较大，而对学生的估计不足,希望教师选择合适的内容酌情讲解.同时由于本节内容涉及的物理知识背景较多，与学生的物理学习能力相关，需要多从物理的角度解释实际问题.

八、【板书设计】