非线性微分方程组的仿真应用

　　[摘 要]分析了混沌系统的特性，运用分岔图、Lyapunov指数谱和庞加截面图分析了五模类Lorenz系统通过分岔过渡到混沌所展现的复杂的随机行为。提出一种延迟反馈法控制混沌的方案，使系统的混沌运动控制到稳定的周期轨道，计算机仿真结果表明该算法具有可行性。 　　[关键词]混沌；Lorenz；Rung-Kutta；数值仿真 　　中图分类号：V216.7 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2015）46-0258-01 　　[Abstract]Some program used for analyzing characteristic of chaotic system has been worked out， the system exhibited a stochastic behavior are further explored by calculating its bifurcation diagrams and Lyapunov exponents speetrum and Poincare section. The control with time-delayed feedback method was proposed， the chaotic motions of the system can be converted to the stable periodic. The computer simulation results show that the proposed image secure communication scheme is effective. 　　[Key words]chaos； Lorenz； Rung-Kutta； numerical simulation 　　1.1五模类Lorenz系统非线性动力学行为仿真 　　文献[3]对平面正方形区域上不可压缩的Navier-Stokes方程进行傅里叶展开并截取其中的有限项，得到五模非线性微分方程组如下： 　　这里是谱展开系数，雷诺数。 　　1.2 分岔图和最大Lyapunov指数谱图算法 　　1） 分岔算法 　　①建立五模方程（如上所示）的函数文件fun.m。定义系统函数fun（t，x）及分岔参数Re。 　　② 第一次求解方程以确定第二次积分的初值[1]。将变量Re放入参数列表，采用4阶Runge-Kutta方法求解方程，命令如：[t，x] = ode45（@fun，tspan，x0，options），将生成的x矩阵截取3000行处的五个数据，作为一组新的初值，这里认为前3000个点为迭代过程中的瞬态响应[2]。 　　③ 第二次求解方程对结果进行判断绘制分岔图。调用初值为下的主函数fun.m，对方程进行第二次求解，选取第一列数据的迭代解 xt（n）=x（n，1），在其中正半轴的所有点里保留最大点，绘制分岔图 。 　　2） 最大Lyapunov指数算法 　　①建立五模方程（3.5）的函数文件fun.m。 　　②定义初始化参数。设定x初始值 x=[1；0；0；0；0；Re]和加入极小扰动d0的初始值x1=[1；d0；0；0；0；Re]，给出指数初始值le=0，和的初始值sum=0，用一个空数组RE=[ ]来 　　存储Re的值，数组Z=[ ]存储得出的迭代解[4]。 　　③计算方法。确定分岔参数Re区间存入参数表中，选取循环迭代次数k=1：1000。采用4阶Runge-Kutta方法调用主函数fun.m，求初始值为x和x1下方程的解。定义不同初值下的两组轨线在欧氏空间中的距离，选择基准轨线x1=x+（d0/d1）*（x1-x），求迭代的后500个点的特征值和sum=sum+log（d1/d0）。 　　④取点画图。求平均值得到指数值le=sum/（k-500），用 Z=[Z，le]存储最后一个点 k==1000的指数值，并存储Re值以对应指数RE=[RE，Re]。绘制最大Lyapunov指数谱图 plot（RE，Z）。 　　3） 庞加莱截面算法[5] 　　①建立五模方程的函数文件fun.m。定义系统函数fun（t，x）以及参数 Re。 　　②定义初始化参数及数组Z=[]。采用4阶Runge-Kutta方法求解，取N个点绘制庞加莱截面图，如果满足abs（Y（k，1））　　1.3 实验结果与讨论 　　利用四阶Rung-Kutta方法对系统进行数值仿真[6]。 　　图1.1（a，b，c，d）为系统在不同参数下的相轨迹在平面上的投影，其中取参数，分别对应系统二周期、四周期、八周期状态。 　　图1.2（a）为局部放大分岔图。（b，c）在不同下的庞加莱截面如图。 　　图1.2（a）类Lorenz系统（3.5）雷诺数下的局部分岔图；（b，c）庞加莱截面图 　　参考文献 　　[1] 褚衍东， 李险峰. 一类新自治混沌系统的计算机仿真与电路模拟. 四川大学学报， 2007， 44（3）： 550-556 　　[2] 王贺元， 鞠春贤. 四模Lorenz系统的动力学行为及其数值模拟. 高校计算数学学报， 2010 　　[3] 王贺元. Navier-stocks方程五模类Lorenz方程组的动力学行为及数值仿真. 应用数学与计算数 学学报， 2010， 24（2）： 13-22 　　[4] Wang H Y. A New Seven-modes Truncation of the Plane Incompressible Navier-Stokes Equations. Chin. Quart. J. Of Math. 2012， 27（1）： 11-17 　　[5] 冯久超. 一个新的超混沌系统. 物理学报， 2009， 58（7）： 4457-4462 　　[6] 王兴元， 王明军. 超混沌Lorenz系统. 物理学报， 2007， 56（9）： 5136-5141 　　[7] Bao Bocheng， Liu Zhong. New Chaotic System and Its Hyperchaos Generation. Journal of Systems Engineering and Electronics， 2009， 20（6）： 1179-1187