圆锥曲线一个性质定理的推广
2009年第11期
中学数学研究
参考文献
[1]张留杰.圆锥曲线中一组平行弦的性质[-,].中学数
学,2007,10.
1c2=sinz2a:-c2:e2.得证.a‘sin?口
a‘
业业业业业誊逝坐坐业誓业螺螺k囊业坐囊坐坐赡誊坐坐业坐誊坐童簟坐掌簟簟峰坐生坐坐业生
圆锥曲线一个性质定理的推广
宁夏银川市第十五中学(750001)王俊霞
《数学通讯)2007年第8期宋卫成老师在《圆锥曲线的一个性质定理及其推论》一文(以
下简称“原文”)中给出如下一个性质:
命题
如图1,F是圆锥曲线的焦点,Z是
其相应的准线,过焦点F作直线交圆锥曲线于
率为‰=皇L弓,直线BN的斜率为志BN=
Xl一=-m
差棚㈦一¨磊焉+
z—i
A,B两点,M是准线l上的任意一点,则直线MA,MF,MB的斜率成等差数列.
本文将上述命题进行推广得到如下几个结论:
定理1如图2,设M(m,0)(m>0)是椭
1
^
一y2-n
|驰j
m
a2,eqn2-a2=s制+裂
m
.
砂l十m一。,扎
一竺[兰!丝21羔!±!!二!丝翌!!!!±羔22二呈!翌3
一t2仇2YlY2+stm(yl+Y2)+s2
圆≤+y.2,=l(a>b>o)长轴上一定点,z:z=>>o)长轴上一定点,z:z=圆与+,2=
D一
a’
2
互是定直线,过定点M作直线交椭圆于A,B7咒
两点,N是定直线l上的任意一点,则直线AN,MN,BN的斜率成等差数列.
y—
~‘
kMN-=・≯L=旦=一半,即忌+忌厂2a—2-—m22一了’剐惫AN¨BN
芴一m
一一2—mn(b2t2m—2-a2
一
优[2tm・孑{专每一(s一切研)‘孑2研b2tm一2研]
广m2.卅b2再s一咖鬻Ⅳ
s-b2t2s):一—2ra—n爱
s(b2t2m2一口2s—bEt2s)
s∥、
V(y,竹)
\幻B。
o
救1
图3
=2志俐,所以直线AN,MN,BN的斜率成等
差数列.
一2
图l
图2
定理2设M(m,0)(优>0)是双曲线--。_2
一生:实轴上一定点,£:工=芷是定直线,过2定点tM1作直线交双曲线于A,B两点,N是定直线l上的任意一点,则直线AN,MN,BN的斜率成等差数列.
证明类似于定理1,此处略.
证:设A(xl,y1),B(z2,Y2),直线AB的
方程为x=ty+m,与≤a+薹o
2
1联立并消去
z得(n2+b2t2)y2+2b2tmy+bE(m2一a2)=
o,由韦达定理得:y。+y:=一主年专事,y。y:=
蝴.设点N(笔川测直线AN的斜
・
定理3如图3,设M(m,0)(m>0)是抛
物线Y2=2舡(P>0)对称轴上的定点,l:z=
一研是定直线,过定点M作直线,4/3与抛物
线相交于A,B两点,N是定直线l上的任意一
18・
中学数学研究
点,则直线AN,MN,BN的斜率成等差数列.
证:设A(zl,Y1),B(52,Y2),直线AB的方程为z=ty+,7l,与Y2=2px联立并消去z得:Y2—2pry一2pm=0,由韦达定理得Y1・Y2=一2pm.设点N(一优,,z),则直线AN的斜
y;Y一2--y。ryl:)=2p・羔型&尘Y二ly§一yly2
‘
率为kAN=鬻,直线BN的斜率为‰=
丝—2"t—-m’AN十意BN卫,+惫
‘五n(而yl-Y2)=2p‘盎22p‘上-2pm=一mn.又是0=氅=一刍,所以‰+
‘
Y二2§笔掣Yz
Lyl一
2009年第11期
,
=2p
‘
忌BN=2足删,即直线AN,MN,BN的斜率成等
差数列.
读者也可得到和“原文”三个推论类似的若
干结论.此处略.
榴+裂=2p、(了y}一l-了。n五十
安徽省五河县刘集中学
圆锥曲线是新课标高中选修教材的重要内容,直线和圆锥曲线位置关系问题经常是高考的压轴题,而且常考常新,也是一个难点.本文力求从求经过圆锥曲线上一点的切线方程入手,对圆锥曲线的切线问题作进一步探究,以期与各位同仁商榷.
为了研究问题的方便,我们先给出如下的定理:
定理1
棼荔
与圆锥曲线切线有关的几个结论及其应用
(233333)
刘瑞美
证明:如图1,设A(z1,了1),B(z2,Y2),则直线/1B的方程为Y—Yl=
一L
1,,田任丝警(z一1)(1),由性
z—z,L
‘‘。。
X2一Z1’
.yo)
质1可知:切线PA的方程
为争+学=1;切线PB
a‘
图1
的方程为号+可YY2=1,又点P(sO,Y0)在直线
b‘
设P(zo,Yo)是椭圆茅+薹=1
(a>b>0)上的一点,则椭圆在点P(zo,Yo)处
艄、刚二,所以丁XOXl+可yoYi=1(2);等十
的切线方程为孑+矿YY0=1.
方程挚+了YY0=1除了可以表示在点P
(zo,Yo)处的切线方程外,还可以表示哪些直线呢?通过研究我们又发现了如下的性质.
性质1
可YOY2=1(3);(3)一(2)并整理蒋嚣=一
即直线AB的方程为亨+了YYO=1.
箬蠹(4),将(4)代入(1)并整理得y—y。=一
舞(z飞)辛争+了YYO=了X1.zO+了YlYo=1,
不难看出,若点P(Xo,YO)在曲线享+菩
=1外,直线等+百YYO=1就不是曲线的切线,
a‘
扫。
过椭圆茅+篆=1(口>6>o)外
一点P(xo,yo)分别作椭圆的切线PA、PB,切
点分别为A、B,则直线AB的方程为等+西YY0
=1
・19・‘
圆锥曲线一个性质定理的推广
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):被引用次数:
王俊霞
宁夏银川市第十五中学,750001
中学数学研究
STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG2009,""(11)0次
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