一种化简二次曲面方程的新方法(论文)

·

2009年10月第13卷第5期

·

宁波职业技术学院学报Journal of Ningbo Polytechnic Oct ，2009Vol．13No．5

一种化简二次曲面方程的新方法

李

玲

400065）

（重庆邮电大学数理学院，重庆

摘要：利用平面上的坐标轴旋转变换消去两坐标变量的混乘项，再用空间中的移轴变换化简二次曲面方

程，得到了化简二次曲面方程的一种新方法，依此方法易见曲面在给定坐标系中的位置。

关键词：二次曲面；变换；标准形中图分类号：O 182．2

文献标识码：A

文章编号：1671－2153（2009）05－0037－03

1问题提出

一般地，三元二次方程

定理任意二次曲面方程至多经三次平面上

的坐标轴旋转变换和一次空间坐标轴平移变换总能化为二次曲面的标准方程。

（1）

在证明上述定理之前，给出二次曲面标准形的定义：

a 11x ＋a 22y ＋a 33z ＋2a 12xy ＋2a 13xz ＋2a 23yz ＋

2a 1x ＋2a 2y ＋2a 3z ＋a 0＝0

a 12，a 13，a 23不能全为0。

如果能把方程（1）化为标准形式，那么很容易判断方程（1）所表示曲面的类型，从而便于讨论曲面的性质，并容易画出该曲面的图形。在空间解析几何中，将一般三元二次方程化为标准形的常见方法是确定二次曲面的对称面，使对称面为新坐标系的坐标面或利用二次曲面的不变量来化方程（1）为标准形式，而这些方法或者运算复杂，或者无法确定图形的具体位置，更何况用这些方法化简方程（1）还需要用到较多的理论知识，但在教学中，教学时数是有限的。本文给出了一种化简二次曲面方程的新方法。

[1]

222

所表示的曲面叫二次曲面，这里系数a 11，a 22，a 33，

定义称满足如下3个条件的三元二次方程

（1）为二次曲面的标准形方程。

（1）没有坐标x ，y ，z 的混乘xy ，xz ，yz 项；（2）如有某坐标的二次项，就没有该坐标的一次项；

（3）如有某个坐标的一次项，就没有其他坐标的一次项，并且此时方程中不再有常数项。由定义可知，二次曲面方程的标准形有以下5种情形：

（Ⅰ）a 11x 2＋a 22y 2＋a 33z 2＋a 0＝0，a 11a 22a 33≠0；（Ⅱ）a 11x 2＋a 22y 2＋a 3z ＝0，（Ⅲ）a 11x 2＋a 22y 2＋a 0＝0，（Ⅳ）a 11x 2＋a 2y ＝0，（Ⅴ）a 11x 2＋a 0＝0，现在证明上面的定理。

a 11a 22a 3≠0；a 11a 22≠0；a 11a 2≠0；a 11≠0。

2定理及证明

本文给出方法的基本思想是：利用平面上的

坐标轴旋转变换消去两坐标变量的混乘项，再用空间中的移轴变换把式（1）化为标准方程。

收稿日期：2009－03－13

基金项目：重庆邮电大学数理学院教改项目（2008sljg03）

证明：1）若方程（1）中不含形如xy ，xz ，yz 的项，即式（1）为

（2）a 11x 2＋a 22y 2＋a 33z 2＋2a 1x ＋2a 2y ＋2a 3z ＋a 0＝0。

作者简介：李玲（1964－），女，重庆人，讲师，硕士，研究方向为偏微分方程理论和大学数学教学与研究。

2009年第5期

宁波职业技术学院学报

则仅需对方程（2）进行配方，通过移轴变换就可将二次方程（2）化为标准形方程。

y′2＋2x′z′－9＝0。

′

（6）

′

2）若方程（1）含有形如xy ，xz ，yz 中的一项或

多项，则可通过两坐标轴的旋转变换消去这些混乘项，使式（1）化为式（2）的形式，在通过移轴变换将二次方程化为标准方程。

因方程（6）中a ′13＝1≠0，从而由cot2ψ＝11′33＝

2a 13

A．若式（1）中a 12≠0，则由cot2θ＝a －a 选取

12

x＝x′cos θ－y′sin θ≠≠

θ，作变换≠y＝x′sin θ＋y′cos θ，消去xy 项，得

≠z＝z′≠′′′′′a 11x′2＋a 22y′2＋a 33z′2＋2a 13x′z′＋2a 23y′z′＋

（3）2a 1′x ＋2a 2′y′＋2a 3′z′＋a 0′＝0。

′′

B．若式（3）中a ′13≠0，则由cot2φ＝a 11－a 22选取

13

x′＝x″cos φ－z″sin φ姨≠

，消去xz 项，得φ，作变换≠y′＝y″

≠

z′＝x″sin φ＋z″cos φ≠″″″″a 11x″2＋a 22y″2＋a 33z″2＋2a 23y″z″＋2a 1″x″＋

（4）2a 2″y″＋2a 3″z″＋a 0″＝0。

″″

C．若式（4）中a ″23≠0，则由cot2ψ＝a 22－a 33选取

23

x″＝x苁姨≠

ψ，作变换≠y″＝x苁cos ψ－z 苁sin ψ，消去yz 项，便得形

≠

z″＝x苁sin ψ＋z 苁cos ψ≠

如式（2）的方程。

上述定理的证明过程实际上给出了化简二次曲面方程的一种新方法。其一般步骤是先通过平面上坐标轴的旋转变换消去两坐标变量的混乘项，再对方程进行配方，通过移轴变换便可得二次曲面的标准形方程。

姨x′＝1x″－1z″≠姨姨≠0－0取ψ＝π，再作变换y′＝y″，方≠

≠1

≠z′＝x″＋1z ″≠姨姨程（6）化为x″2＋y″2－z″2－9＝0。

上述表明：只要将x 轴、y 轴绕z 轴逆时针转θ角，再将x 轴、z 轴绕y 轴逆时针转ψ角得新坐标系O －x 觹y 觹z 觹，在新坐标系O －x 觹y 觹z 觹中，所给曲面的方程是

x″2＋y″2－z″2＝1。333232

这是单叶旋转双曲面的标准方程。

（2）讨论曲面4x 2＋y 2－8z 2＋4xy ＋8yz －4zx －8x －4y ＋

4z ＋4＝0的形状。

由cot2θ＝a 11－a 22＝4－1，取tan θ＝1且θ为锐

12姨x＝2x′－1y′≠姨≠姨角，作变换≠1y＝x′＋2y′，所给曲面方程化

≠姨≠姨z＝z′≠

为5x′2－8z′2－4姨y′z′－4姨x′＋4z′＋4＝0，由

′′

a 22－a 33

cot2ψ＝＝0－（－8），取tan ψ＝姨且ψ为锐23－4姨x′＝x″姨

≠1≠y′＝y″－z″

角，作变换≠姨，上述方程化为姨≠≠y″＋1z ″z′＝≠姨姨5x″2－10y″2＋2z ″2－4姨x″＋4y″＋4z″＋4＝0。

姨姨姨x″＝x觹＋2≠姨≠

y″＝y觹＋1，所给方程化为5x 觹2－作移轴变换≠

姨≠

≠z″＝z觹－1≠姨10y 觹2＋2z 觹2＝0。

＋2姨zx －27＝0

（5）

是由cot2θ＝a 11－a 22＝

12

θ为锐角，作变换（5）化为上述表明：只要作坐标变换

姨x＝2x 觹－1y 觹＋1z 觹＋1

≠姨姨姨≠≠y＝x 觹＋y 觹－z 觹＋，≠30姨姨≠姨≠≠z＝5x 觹＋1z 觹≠姨姨

··

李玲：一种化简二次曲面方程的新方法

即将x 轴和y 轴绕z 轴逆时针转θ角，再将y 轴和z 轴绕x 轴逆时针转ψ角，后将原点移至（，，

上述表明：将x 轴和z 轴绕y 轴逆时针转φ角，再将原点O 移至（，0，）得新坐标系O′－

530875875

0）得新坐标系O 觹－x 觹y 觹z 觹，在新坐标系O 觹－x 觹y 觹z 觹中，曲

面方程为5x 觹2－10y 觹2＋2z 觹2＝0，这是锥面的标准方程。

（3）在右手直角坐标系中，曲面S ：9x 2－25y 2＋

x 觹y 觹z 觹，在新坐标系O′－x 觹y 觹z 觹中，曲面方程为y 觹2－z 觹2＝28x 觹，这是双曲抛物面的标准方程。16z 2－24xz ＋80x －60z ＝0是什么曲面？

事实上，由cot2φ＝a －a ＝9－16，取tan φ＝3

4结束语

从前面的分析可以发现，先通过平面上坐标

2a 13－244

! x＝4x′－3y′

5##5

且φ为锐角，于是作旋转变换" ，曲面y＝y′

##z＝3x′＋4z ′

$方程化为25z′2－25y′2＋28x′－96z′＝0；再作移轴变换! x′＝x觹＋175##

，所给曲面方程化为y 觹2－z 觹2＝28x 觹。y′＝y觹"

#觹48

#z′＝z－

$

轴的旋转变换消去两坐标变量的混乘项，然后对方程进行配方，再通过移轴变换便可得二次曲面的标准形方程。显然，该方法比过去常用的化简二次曲面方程的方法简单得多。

参考文献：

[1]吕林根．解析几何[M]．第4版．北京：高等教育出版

社，2006．

[2]丘维声．解析几何[M]．第2版．北京：北京大学出版

社，1996．

New method for simplifying quadric surface equations

LI Ling

（College of Mathematics and Physics ，Chongqing University of Posts and

Telecommunications ，Chongqing 400065，China ）

Abstract ：Using 2-dimensional rotation transformations to cancel mixed terms of the product of two variables ，and making use of translation transformations to simplify quadric surface equations ，a new method for simplifying quadric surface equations has been obtained．coordinate by using this method．

Key words ：Quadric Surface ；transformation ；standard type

It is easy to localize the position of quadric surface in the

2009年第5期