罗尔中值定理的一些新证法

ｔｈ ａｔ

ｆ（ ｚ ） ＜ｆ （ ｔ ： ） ． Ｓｉ ｎ ｃ ｅ ｆ（ｘ ）ｉｓ

ｃｏｎｔｉ ｎｕｏｕｓ

Ｌｅ ｔ

ｏｎ［口，６］，ｔｈｅｒｅ ｉｓ艿 （工 ）＞ ｏ， ｓｕｃｈ

厂（ｙ）＜， （屯 ）

ｔｈ ａｔ ｆｏｒ ａｌｌ

ｙ∈ （ ｘ－ － ８（ ｘ） ， ｘ ＋艿 （ｚ ）） ｎ

ａ，６］．

（１ ）

ｔｈｅｎ爿ｆｃｏｖｅｒｓ［口，６］ａｎｄ

ｓｕ ｃ ｈ

Ｈｅ ｉ ｎ ｅ Ｂｏ ｒｅ ｌ

Ｔｈ ｅｏ ｒｅ ｍ

．纷｛（ｚ一艿（ｚ），ｚ＋艿（ｚ）），ｚ∈ａ，６］），

Ｃｏ ｖ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ

ａ

ｉｍ ｐｌ ｉｅ ｓ

ｆｉｎｉｔｅ

ｉｓ粥 ＝｛（ ｚｉ－－８（ ｚｆ）， ｚ ｉ＋艿 （ｚ。 ））

Ｉｉ＝１，２，…，ｎ｝Ｃｇ

ｔｈａｔ 粥 ｉｓ

ｃｏ ｖ ｅ ｒｉ ｎ ｇ

ｏｆ［ｎ，６］．Ｌｅｔ

ｗｈ ｅｒ ｅ

ｔ：“ｉｎ

ａ，６］．Ｉｔ

ｆｏ ｌ ｌ ｏ ｗ ｓ ｔｈ ａｔ ｔｈ ｅ ｒ ｅ ｅｘ ｉｓ ｔｓ

ｔｈ ａｔ

Ｍ＝ｍａｘ｛ｆ（ｔ‘）Ｉｉ一１，２，…，，２）一，（￡，ｉ），１≤ｉｏ≤，２，

ｔ‘ ∈ （ ｚ ， 一 ８ （ ｘ 』 ） ， ｚ Ｊ＋ ｄ （ ｚ ， ） ） ， ａｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ｇ ｔｏ（ １） ｗｅ ｈａ ｖ ｅ

ｆ（ｔ‘ ）＜， （Ｌ． ）≤ Ｍ—ｆ （ｔ‘ ）．

Ｉｔ ｉｓ ｃｏｎ ｔｒ ａｄ ｉｃ ｔｉ ｏｎ ． Ｔ ｏ ｔｅｓ ｔｉ ｆｙ Ｒｏ ｌｌ ｅ’ ｓ

ａｓ

ｆｏｌｌ ｏｗｓ ：

Ｔｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ

ｂｙ

ｔｈ ｅ Ｌ ｅ ｍ ｍ ａ

２ ｆｒｏｍ

ａｎｏｔｈｅｒ

ａｎｇｌｅ． ｗｅ

ｓｈａ ｌｌ ｆｉｒｓｔ ｓ ｈ ｏ ｗ

ａ

ｐｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ

Ｐｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏｎ

ｍｏ ｎｏ ｔ ｏｎ ｅ

Ｌｅｔ ， （ｚ） ｉｓ

ａ

ｆｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｄｉ ｆｆ ｅ ｒｅ ｎ ｔｉ ａ ｂｌ ｅ

ｏｎ（口， ６）ａｎｄ／（ｚ）≠ｏ， ｔｈｅｎ，（ｚ）ｉｓ

ｓｔｒ ｉｃｔ ｌｙ

Ｐｒｏｏｆ

Ｌｅ ｔ ｏｎ （ｎ ， ６ ）．

ｔ１

ｈａｖｅ

ｔ２

ｂｅ

ａｎｙ

ｔｗｏ

ｐｏ ｉ ｎ ｔ ｓ ｉｎ ｔｈ ｅ

ｏｐ ｅｎ

ｉｎｔｅｒｖａｌ（口 ， ６）ｗｉｔｈ

ｔｌ ＜ｔ ２， ｔ ｈｅ ｎ

ｆｏｒ

ｅｖｅｒｙ

ｌｉｍ￡Ｑ掣一ｆ７（ｚ） ≠ｏ，ｓｏ

ｔｈ ｅ ｒ ｅ

ｚ∈［ｚｌ，￡２］，ｗｅ

ｅｘ ｉｓ ｔｓ 占 （ｚ ）＞ ｏ ｓｕ ｃ ｈ

ｔｈ ａ ｔ

ｙ∈ ｕ 。 （ ｚ ； 艿 （ ｚ ） ）

万方数据

第 ４期

ｎ［口，６］ｉｍｐｌｉｅｓ

Ｙ Ａ Ｏ

Ｊ ｉｎ ｇ — ｓ ｕ ｎ ： Ｓ ｏ ｍ ｅ

Ｎｅ ｗ

Ｗａ ｙ ｓ

ｔｏ

Ｐｒｏｖｅ Ｒｏ ｌｌ ｅ’ ｓ Ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ １３ ３

Ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｔ ｈ ａ ｔ 艿 （ ｚ ） ｉ ｓ

ａ

』！羔！二』！兰２＞ｏ。

』型二』！型＜ｏ。

Ｙ一．ｚ

＇一 正 ｆｕ ｎｃ ｔｉ ｏｎ

ｏ ｎ

ｉｆ厂 （ｚ ）＞ｏ ，

ｉｆ ｆ７（ｚ ）＜Ｏ 。 Ｌｅｍｍａ ２

ｔｈａｔ

ｔｈ ｅｒ ｅ

ｉｓ ａ ＆ ｆ ｉ ｎ ｅ （２ ）

（３ ）

Ｉｔｌ，ｔ２］．Ｔｈｅ

ｉｍ ｐｌ ｉｅ ｓ ｔａ ｇ ｇ ｅ ｄ

ｐｏｓｉｔ ｉｖｅ

ｅａ ｃ ｈ ｍｕ ｓｔ

ａ

ａｓ

ｗｅ ｌｌ

ｗｅ ｆｏｒ ａｌｌ ｚ ｒ ｅａ ｃ ｈ ａｌ ｓｏ

ｔｈ ａｔ ｆｏｒ ｌｏ ｓｓ ｏｆ ｔｈ ａｔ ｉ ｔｈ ｅｒ

ｏ ｎ

ａｓ ｗｅ ｔｈ ｅ ｓ ａ ｍ ｅ ｎｏ ｔ ， ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｗｅ ａ ｓ ｓ ｕ ｍ ｅ ｔｈ ａｔ ｆｏ

ｈａ ｖ ｅ ｔｈ ｅ ｃｏ ｎ ｄ ｉｔ ｉ ｏ ｎ

ｅ

ｍｅａｎ

ｖａｌｕ ｅ

ｃｏｎｔｉ ｎｕｏｕｓ ｔｈ ａ ｔ Ｒｏ ｌｌ ｅ’ ｓ Ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｈｏｌｄｓ．

Ｍ

ｐａｒｔｉｔｉｏｎ｛（ｃｉ，［ｚ卜１，ｚｉ］），ｉ—ｌ，２，…，ｎ）ｔｈａｔ ｉｓ，ｔ１一ｚｏ ＜ｚ１ ＜…＜ｚ。 ＝ｔ２，ｃｆ∈ ［ｚ卜１，ｚ ｉ］ａｎｄ［ｚ， 一１，ｚ，］

ｍｉ ｇ ｈ ｔ

ｓｕ ｐ ｐ ｏ ｓ ｅ

ｃ１＜ｃ ｚ＜… ＜ｃ。 ．

（４ ）

Ｊ： １≤ ｊ≤ 押一 １ ｃＪ≤ｚＪ≤ｃＪ＋１，

ｃｊ — ｃ ｊ＋ １ ． Ｉ ｔ

ｃ， 一 刁 一 ｃ ｊ＋ １ ｂ ｙ

ｔ ａ ｇ ｇ ｅ ｄ ｐａ ｒｔ ｉｔ ｉｏ ｎ ｏｆ［￡ｌ，ｔ２］ｓａ ｔｉｓｆｙｉｎｇ（４）ｓｏ ｌｏ ｎｇ ｍｅｒｇ ｅ［≈ 一 １，ｘ ｊ］ｗ ｉｔｈ

［乃，ｚＪ＋１ ］）．Ｔｈｅｎ

ｍ ｕ ｓ ｔ ｂｅ ｉ ｓａ ｔｉ ｓ ｆｙ ｉｎ ｇ ｌ≤ ｉ≤ 行一 １ ｓｕ ｃ ｈ ｇ ｈ ｔ ａ ｓ ｗｅ ｌｌ ｓ ｕ ｐ ｐ ｏ ｓ ｅ ｔｈａｔ／（ｆ．）＞ｏ ｔｈ ａｔ

ｆ’（ｆ ，）・ ｆ’（ ｃｍ）＜ｏ ．Ｗｅ

ｍｉ

ａｎｄ／ （ｏ＋１）＜ｏ． Ｂｙ（２）ａｎｄ（３）， ｗｅ

（ｙ ） ＞ 厂 （Ｇ ＋ １ ） ｉｆ Ｙ∈ （ ｆ ｊ ， ｃ， ＋ ３ （ ｃ ｉ ） ）

ｈａ ｖ ｅ ｔｈ ａ ｔ 厂 （ ｙ ） ＞ ｆ（ ｃ ｊ ） ａｎ ｄ ，

ｎ（ｃｉ＋１－－８（ｃｉ＋１），ｃ卜｝１）Ｎ ａ，６］．Ｆｏｒ

Ｙｏ

ｔｈｉｓ ｒｅ ａ ｓ ｏ ｎ ， ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ

ｅｘ ｉ ｓｔ ｓ

ｉｎ（ｆｉ， ｃｆ＋１ ）ｓｕｃｈ ｖａ ｌ ｕ ｅ ｏｆ ｆ

ｔｈａ ｔ厂 （Ｙ ｏ） ｉｓ

ｏ ｎ

ｔｈ ｅ ｂｅ ｚ ｅ

ｍａｘｉ ｍｕｍ ｒｏ， ｗｈｉｃｈ

ｃ，，ｃｍ］，ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ厂，（帅）ｍｕｓｔ

ｃｏ ｎ ｔ ｒ ａｄ ｉ ｃ ｔ ｓ ｔｈ ｅ ｃｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔｈ ａｔ

／ （ｚ ）４ ＝０ ｚ一 ＜ ｚ。 ｂ ｙ （２ ） ｗ ｅ ｆ （ ｘ Ｈ ） ＜ 厂 （ ｏ ） ≤ ｆ （ ｘ ｉ ） ｏ ｒ ｆ（ｘ卜 １ ）≤ ｆ（ｃ ｊ）＜厂 （ｚ， ）， ｔｈｅｎ ｆ （ ｘ Ｈ ） ＜ ， （

ｚｉ） ｆｏｒ

ｆ（ｔ１）＜厂（￡２）．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｆ

ｉｓ ｓｔｒ ｉｃｔ ｌｙ ｍ ｏ ｎ ｏ ｔ ｏ ｎ ｅ ｏｎ（口 ，６ ）． ｏｎ （ ａ

Ｉｆ Ｒｏ ｌｌ ｅ’ ｓ Ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｉｓ ｆａｕｌｔｙ， ， （ｚ）ｉｓ ｓｔｒ ｉｃｔ ｌｙ ｍ ｏ ｎ ｏ ｔ ｏ ｎ ｅ ， ６ ） ｂ ｙ ｐｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｂ ｏ ｖ ｅ ． Ｔ ｈ ｕ ｓ

， （ｚ）ｉｓ

ｓｔｒ ｉｃｔ ｌｙ

ａ， ６］ ｂ ｙ

ｆ（ａ）一 厂 （６ ）． Ｔｈ ｉｓ

ｔｈ ａ ｔ 厂 （ ｚ ） ｉｓ

［Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ］

［１ ］ Ｔｕ ｃ ｋ ｅｒ Ｔ Ｗ． Ｒ ｅｔ ｈ ｉ ｎｋ ｉ ｎ ｇ ｎｉｇｏ ｒ ｉｎ ｃａｌｃｕ ｌｕｓ： ｔｈｅ ｅｏｒｅｍ［Ｊ］．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｍｏｎｔｈｌｙ， １９９７，

１０４ （３ ）： ２ ３１— ２ ４０ ． Ｒｏ ｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍ ｅ ａ ｎ ｖａｌｕ ｅ

ｔｈ

Ｅｚ ］ Ｓ ｗ ａ ｎ ｎ Ｈ ． Ｃ ｏ ｍ ｍ ｅ ｎ ｔ ａ ｒ ｙ ｏ ｎ ｒｅｔｈｉ ｎｋｉｎｇ ａ ｎ ｖａｌｕ ｅ ｔｈｅｏｒｅｍ［Ｊ］． Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．

Ｍｏ ｎｔ ｈｌ ｙ ， １９ ９７ ， １ ０４ （３ ） ： ２４ １— ２４ ５．

ｒｉｇｏｒ ｉｎ

ｃａｌｃ ｕｌｕｓ ： ｔ ｈｅ

Ｒｏ ｌｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｍ ｅ

［３３ Ｔ ｏ ｎ ｇ ｔｈｅｏｒｅｍ［Ｊ］．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｍｏｎｔｈｌｙ。 １９９７， １０４（１２）：９３９—９４２． ［４］ Ｘ ｕ Ｊｉ— ｈｏｎ ｇ． Ａｎ ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅ ａｐ ｐｒ ｏａ ｃｈ ａｂ ｏｕ ｔ ｓｅｖｅｒａｌ ｔｈ ｅｏ ｒｅ ｍｓ ｉｎ ｃａｌｃｕｌｕｓ ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍａ ｔｈ ｅｍ ａ ｔｉ ｃａ ｌ Ｒｅ ｓｅ ａｒ ｃｈ ａｎ ｄ

Ｅｘｐ ｏｓ ｉｔ ｉｏ ｎ， ２ ００ ６， ２ ６（１ ）： ６ ３— ６ ６．

［５］

ｙｓｉｓ

Ｙ Ａ Ｏ

Ｊｉｎ ｇ— ｓｕｎ ．Ｔ ｈｅ ａｐｐｌｉｃａ ｔｉｏｎ ｏｆ ｆｕｌｌ

ｃｏ ｖｅ ｒ

ａｎ ｄ

ｔａｇｇ ｅｄ

ｐａｒｔｉｔｉｏｎ

ｉｎ ａｎａｌ

Ｉ－ｊ］．Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｍａｔ ｈｅ ｍａ ｔｉ ｃｓ ， ２０ ０６ ，

２２（ ４） ： １０ ９— １１ ２．

［６３ ａｔｈ． Ｍｏｎｔｈｌｙ， １９８７，

９４（ ５） ： ４５ ０— ４５ ２．

ｅｌ ｅｍ ｅｎ ｔａ ｒｙ

ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．Ａｍｅｒ．Ｍ

［７３ Ｒｕｓ ｓｅｌ ｌ ａ Ｇ ｏ ｒ ｄ ｏ ｎ ． Ｔ ｈ ｅ ｕ ｓ ｅ ｏｆ ｔａｇｇ ｅｄ ｓｉｓ［Ｊ］．Ａｍｅｒ． Ｍａｔｈ． Ｍｏｎｔｈｌｙ，１ ９９８，

１０５ （２ ）： １ ０７— １ １７ ．

．

ｐａｒｔｉｔｉｏｎｓ

ｉｎ ｅｌ ｅｍ ｅｎ ｔａ ｒｙ

ｒｅａｌ

ａｎａｌｙ

［摘

罗尔中 值定 理的一 些新 证法

姚静荪

（安 徽 师 范 大 学 数 学 计 算 机 科 学 学 院 ， 芜 湖 ２ ４ １ ０ ０ ０ ）

要 ］给 出 了 罗 尔 微 分 中 值 定 理 的 三 种 新 的 证 明 方 法 ， 其 中 第 二 种 很 简 便 的 方 法 仅 依 赖 于 大 家 熟 知 的 Ｈｅｉｎｅ－

Ｂｏ ｒ ｅ ｌ有 限 覆 盖 定 理 ． 由 此 可 见 罗 尔 微 分 中 值 定 理 可 以 是 实 数 的 完 备 性 的 直 接 推 论 ． ［关 键 词 ］ 罗 尔 中 值 定 理 ； 实 数 的 完 备 性 ； 完 全 覆 盖 ； 有 限 覆 盖 定 理 ； 争 精 细 加 标 分 割

万方数据