导数测试题
南雄中学高二年级数学周测试题(12-17班)
班级: 姓名: 分数:
一、选择题(本大题共10小题,共50分,只有一个答案正确) 1.函数f (x ) =(2πx )2
的导数是( )
(A) f '(x ) =4πx (B) f '(x ) =4π2x (C) f '(x ) =8π2
x (D) f '(x ) =16πx 2.函数f (x ) =x ⋅e -x 的一个单调递增区间是( ) (A)[-1, 0] (B) [2, 8] (C) [1, 2] (D) [0, 2]
3.已知对任意实数x ,有f (-
x ) =-f (x ) ,g (-x ) =g (x ) ,且x >0时,f '(x ) >0,g '(x ) >0,
则x 0,g '(x ) >0 B .f '(x ) >0,g '(x ) 0
D .f '(x )
4.若函数f (x ) =x 3
-3bx +3b 在(0, 1)内有极小值,则( )
(A ) 00 (D ) b
2
5.若曲线y =x 4
的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直,则l 的方程为( )
A .4x -y -3=0 B.x +4y -5=0 C.4x -y +3=0 D.x +4y +3=0 6.曲线y =e x
在点(2,e 2
) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.92
2
4
e
B.2e
C.e 2
D.e 2
2
7.设f '(x ) 是函数f (x ) 的导函数,将y =f (x ) 和y =f '(x ) 的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )
8.已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c 的导数为f '(x ) ,f '(0)>0,对于任意实数x 都有
f (x ) ≥0,则
f (1)
f '(0)
的最小值为( ) A .3 B .52 C .2 D .32
9.设p :f (x ) e =n l x +x 2+x
m +x 2
1+
在(0,+∞) 内单调递增,q :m ≥-5,则p 是q 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
10. 函数f (x ) 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( ) (A )0
(3)
(B ) 0
(2) (C )0
(2)
(3) O 1 2 3 4 x 二、填空题(本大题共4小题,共20分)
11.函数f (x ) =x ln x (x >0) 的单调递增区间是____.
12.已知函数f (x ) =x 3
-12x +8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M , m ,则M -m =
_____.
2
13.点P 在曲线y =x -x +上移动,设在点P 处的切线的倾斜角为为α,则α的取值范围
3
316、(15分)已知函数f (x ) =2x 3-3x 2+3.
(1)求曲线y =f (x ) 在点x =2处的切线方程;
(2)若关于x 的方程f (x )+m =0有三个不同的实根,求实数m 的取值范围.
是 14.已知函数y =
13
x +x 2+ax -5 3
(1)若函数在(-∞, +∞)总是单调函数,则a 的取值范围是 . (2)若函数在[1, +∞) 上总是单调函数,则a 的取值范围.
(3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数a 的取值范围是 . 三、解答题:(本大题共4小题,共30分) 15、(15分)设函数f (x ) =2x 3+3ax 2+3bx +8c 在x =1及x =2时取得极值.
(1)求a 、b 的值;
3],都有f (x )
测试解答】 一、选择题
1.f (x ) =(2πx )2=4π2x 2, ∴f '(x ) =2⋅4π2x =f '(x ) =8π2x ; 2.f (x ) =x ⋅e -x =x 1⋅e x -x ⋅e x
(1-x )⋅e x e x . ∴f '(x ) =e x 2=,
e x 2>0, ∴x
4.A 由f '(x ) =3x 2-3b =3(x 2-b )
, 依题意,首先要求b>0, 所以f '(x ) =3(x +)(x -b )
由单调性分析,x =有极小值,由x =b ∈(0, 1)得.
5.解:与直线x +4y -8=0垂直的直线l 为4x -y +m =0,即y =x 4在某一点的导数为4,而y '=4x 3,所以y =x 4在(1,1) 处导数为4,此点的切线为4x -y -3=0,故选A 6.(D ) 7.(D ) 8.(C ) 9.(B )
10.B 设x=2,x=3时曲线上的点为AB, 点A 处的切线为AT 点B 处的切线为BQ ,
T
f (3) -f (2) =
f (3) -f (2)
3-2
=k AB
f '(3) =k BQ , f '(2) =k AT , 如图所示,切线BQ 的倾斜角小于
直线AB 的倾斜角小于 切线AT 的倾斜角 ∴k BQ
12.32
13.⎡⎢
π⎫⎡3π⎫⎣0, 2⎪⎭
⋃⎢⎣4
, π⎪⎭
14. (1)a ≥1; (2) a ≥-3; (3) a ≤-3.
三、解答题
15. 解:(1)f '(x ) =6x 2+6ax +3b ,
因为函数f (x ) 在x =1及x =2取得极值,则有f '(1)=0,f '(2)=0.
即⎨
⎧6+6a +3b =0,
⎩24+12a +3b =0.
解得a =-3,b =4.
(2)由(Ⅰ)可知,f (x ) =2x 3-9x 2+12x +8c ,
f '(x ) =6x 2-18x +12=6(x -1)(x -2) .
当x ∈(0,
1) 时,f '(x ) >0; 当x ∈(1
,2) 时,f '(x )
3) 时,f '(x ) >0. 所以,当x =1时,f (x ) 取得极大值f (1)=5+8c ,又f (0)=8c ,f (3)=9+8c .则当x ∈[0,3]时,f (x ) 的最大值为f (3)=9+8c . 因为对于任意的x ∈[0,3],有f (x )
恒成立,
所以 9+8c
,
解得 c 9,
因此c 的取值范围为(-∞,
-1) (9,+∞) .
16.解(1)f '(x ) =6x 2-6x , f '(2)=12, f (2)=7, ………………………2分
∴曲线y =f (x ) 在x =2处的切线方程为y -7=12(x -2) ,即12x -y -17=0;……4分 (2)记g (x ) =2x 3-3x 2+m +3, g '(x ) =6x 2-6x =6x (x -1)
令g '(x ) =0, x =0或1. …………………………………………………………6分 则x , g '(x ), g (x ) 的变化情况如下表
………………………10分
⎧g (0)>0
由g (x ) 的简图知,当且仅当⎨,
⎩g (1)
⎧m +3>0即⎨, -3
m +2
函数g (x ) 有三个不同零点,过点A 可作三条不同切线.
所以若过点A 可作曲线y =f (x ) 的三条不同切线,m 的范围是(-3, -2) . …………14分