高一集合.简易逻辑与函数
集合、简易逻辑与函数
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．设集合P ＝{3，4，5}，Q ＝{4，5，6，7}，定义P ※Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q}，则P ※Q 中元素的个
数为（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．12 2．设A 、B 是两个集合，定义A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B}，若M ＝{x ||x ＋1|≤2}，N ＝{x |x ＝|sinα|，α∈R}，则M －N ＝（ ）
A ．[－3，1] B ．[－3，0]
C ．[0，1]
D ．[－3，0]
3．映射f ：A→B，如果满足集合B 中的任意一个元素在Ａ中都有原象，则称为“满射”．已知集合A
中有4个元素，集合B 中有3个元素，那么从A 到B 的不同满射的个数为（ ） A ．24
B ．6
C ． 36
D ．72
4．若lg a ＋lg b ＝0(其中a ≠1，b ≠1)，则函数f (x ) ＝a x 与g (x ) ＝b x 的图象（ ）
A ．关于直线y ＝x 对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于原点对称
x 1＋x 2f (x 1) ＋f (x 2)
5．若任取x 1、x 2∈[a ，b ]，且x 1≠x 2，都有f () ＞成立，则称f (x ) 是[a ，b ]上的凸函数．试
22
问：在下列图像中，是凸函数图像的为（ ）
6．若函数f (x ) ＝x － ＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数p 的取值范围是（ ）
x 2
A ．[－1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．(－∞，1] 7．设函数f (x ) ＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列四个命题： ①c ＝0时，f (x ) 是奇函数 ②b ＝0，c >0时，方程f (x ) ＝0只有一个实根 ③f (x ) 的图象关于(0，c ) 对称 ④方程f (x ) ＝0至多两个实根。 其中正确的命题是（ ） A ．①④ B ．①③ C ．①②③ D ．①②④
e x ＋1
8．函数y ＝，x ∈(0，＋∞) 的反函数是（ ）
e －1
p p
A ．y ＝x －1
x ∈(－∞，1) x ＋1x ＋1
B ．y ＝ln x ∈(－∞，1)
x －1x ＋1
D ．y ＝x ∈(1，＋∞)
x －1
x －1
C ．y ＝ln x ∈(1，＋∞)
x ＋1
9．如果命题P ：∅∈{∅}，命题Q ：∅⊂{∅}，那么下列结论不正确的是（ ） A ．“P或Q”为真
B ．“P且Q”为假
C ．“非P”为假 D ．“非Q”为假
10．函数y ＝x 2－2x 在区间[a ，b ]上的值域是[－1，3]，则点(a ，b ) 的 轨迹是图中的（ ）
A ．线段AB 和线段AD B ．线段AB 和线段CD C ．线段AD 和线段BC D ．线段AC 和线段BD
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共11．已知函数f (x ) 是定义在(－3，3) 图象如图所示，则不等式f (x )cos x
⎧x 2, x ≤0,
13．已知函数f (x ) ＝f (x ) =⎨若f (f (x 0)) =2, 则x 0＝ ．
⎩2cos x , 0
14．若对于任意a ∈[－1，1]，函数f (x ) ＝x 2＋(a －4) x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围
是 ．
15．如果函数f (x ) 的定义域为R ，对于m ，n ∈R ，恒有f (m ＋n ) ＝f (m ) ＋f (n ) －6，且f (－1) 是不大于5的正整数，当x >－1时，f (x )>0．那么具有这种性质的函数f (x ) ＝ ．(注：填上你认为正确的一个函数即可)
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）二次函数f (x ) 满足f (x ＋1) －f (x ) ＝2x 且f (0)＝1．
⑴求f (x ) 的解析式； ⑵在区间[－1，1]上，y ＝f (x ) 的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的范围．
17．（本小题满分13分）已知集合A ＝{x |(x -2)[x -(3a +1)]
⑴当a ＝2时，求A B ； ⑵求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．
x -2a
x -(a 2+1)
22
18．（本小题满分13分）已知命题p ：方程a x +ax -2=0在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个
实数x 满足不等式x +2ax +2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围． 2
19．（本小题满分12分）设函数f (x ) =2x +a ⋅2-x -1(a 为实数) ．
⑴若a
⑵若a ＝0，y =g (x ) 的图象与y =f (x ) 的图象关于直线y ＝x 对称，求函数y =g (x ) 式．
20．（本小题满分12分）函数f (x ) =2x -
a
x
的定义域为(0，1]（a 为实数）． ⑴当a =-1时，求函数y =f (x ) 的值域；
⑵若函数y =f (x ) 在定义域上是减函数，求a 的取值范围；
的解析
⑶求函数y =f (x ) 在x ∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值．
2
21．（本小题满分12分）对于函数f (x ) =ax +(b +1) x +b -2(a ≠0) ，若存在实数x 0，使f (x 0) =x 0成立，则称x 0为f (x ) 的不动点．
⑴当a ＝2，b ＝－2时，求f (x ) 的不动点；
⑵若对于任何实数b ，函数f (x ) 恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；
⑶在⑵的条件下，若y =f (x ) 的图象上A 、B 两点的横坐标是函数f (x ) 的不动点，且直线
y =kx +
12a 2+1
是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．
集合与简易逻辑参考答案
一、选择题（每小题5分，共50分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题次
D B C C D A C D B A 答案
二、填空题（每小题4分，共20分）
ππ3π11．⎛，－1⎫∪(0，1) ∪⎛3⎫；12．3800；13． ；14． (－∞‚1) ∪(3，＋∞) ；15．x ＋6或2x
4⎝2⎭⎝2⎭
＋6或3x ＋6或4x ＋6或5x ＋6 三、解答题（共80分）
16．解： (1)设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，由f （0）＝1得c ＝1，故f （x ）＝ax 2＋bx ＋1．
∵f(x＋1) －f(x)＝2x ，∴a(x＋1) 2＋b(x＋1) ＋1－(ax2＋bx ＋1) ＝2x ． 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎨
(2)由题意得x 2－x ＋1>2x＋m 在[－1，1]上恒成立．即x 2－3x ＋1－m>0在[－1，1]上恒成立．
3
设g(x)＝ x 2－3x ＋1－m ，其图象的对称轴为直线x ＝，所以g(x) 在[－1，1]上递减．
2
2
故只需g(1)>0，即1－3×1＋1－m>0，解得m
⎧2a =2⎧a =1
，∴f(x)＝x 2－x ＋1． , ∴⎨
⎩a +b =0⎩b =-1
1
时，A ＝（3a ＋1，2） 3
⎧2a ≥3a +1
要使B ⊆A ，必须⎨2，此时a ＝－1；
⎩a +1≤2
1
当a ＝时，A ＝Φ，使B ⊆A 的a 不存在；
31
当a ＞时，A ＝（2，3a ＋1）
3
⎧2a ≥2
要使B ⊆A ，必须⎨2，此时1≤a ≤3．
⎩a +1≤3a +1
当a ＜
综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[1，3]∪{－1} 18．
解:由a 2x 2+ax -2=0，得(ax +2)(ax -1) =0，
21
显然a ≠0∴x =-或x =
a a 21
x ∈⎡⎣-1,1], 故|a |≤1或|a |≤1, ∴|a |≥1 “只有一个实数满足x 2+2ax +2a ≤0”. 即抛物线y =x 2+2ax +2a 与x 轴只有一个交点，∴∆=4a 2-8a =0. ∴a =0或2, ∴命题" p 或q 为真命题"时"|a |≥1或a =0" 命题" P 或Q " 为假命题
∴a 的取值范围为{a |-1
19．解： (1)设任意实数x 1
＝(2-2) +a (2
x 1
x 2
-x 1
x
-x 1
-1) -(2x 2+a ⋅2-x 2-1)
-2
-x 2
2x 1+x 2-a
) ＝(2-2) ⋅x 1+x 2
2
x 1
x 2
x 1
x +x
x x x x
x +x 2
-a >0．
又212>0，∴f(x1) － f(x2)
y =f (x ) 在定义域上是减函数，则任取x 1, x 2∈(0. 1]且x 1f (x 2)
a
成立， 即(x 1-x 2)(2+x x ) >0
12
只要a
由x 1, x 2∈(0. 1]，故-2x 1x 2∈(-2, 0) ，所以a ≤-2， 故a 的取值范围是(-∞, -2]；
（3）当a ≥0时，函数y =f (x ) 在(0. 1]上单调增，无最小值， 当x =1时取得最大值2-a ；
由（2）得当a ≤-2时，函数y =f (x ) 在(0. 1]上单调减，无最大值， 当x ＝1时取得最小值2－a ；
2a
当-2
-2a
2
时取得最小值22a ．
21．解 f (x ) =ax 2+(b +1) x +b -2(a ≠0),
（1）当a ＝2，b ＝－2时， f (x ) =2x 2-x -4. 设x 为其不动点，即2x -x -4=x .
则2x -2x -4=0. ∴x 1=-1, x 2=2. 即f (x ) 的不动点是－1，2． （2）由f (x ) =x 得：ax +bx +b -2=0． 由已知，此方程有相异二实根，
2
2
2
∆x >0恒成立，即b 2-4a (b -2) >0. 即b 2-4ab +8a >0对任意b ∈R 恒成立．
∴∆b 1
直线y =kx +是线段AB 的垂直平分线， ∴k =-1 2
2a +1
b , 记AB 的中点M (x 0, x 0). 由（2）知x 0=- 2a
1b b 1
M 在y =kx +2上, ∴-=+2.
2a 2a 2a +12a +1
化简得：b =-
a 2a 2+1
=-
12a +
1a
≥-
122a ⋅
1a
=-
22
时，等号成立）． (当a =
42
即b ≥-
2
. 4