1从梯子的倾斜度说起
§1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）
一、学习目标
1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程. 理解正切的意义和与现实生活的联系.
2. 能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.
二、重点难点
重点：1. 从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系
难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比
三、学法指导
指导学生自学、合作探究例题、指导学生独立完成课堂检测、并做好总结。
四、学导过程
（一）自主学习
1、独立自学
生活中的数学问题:
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
2、生活问题数学化：
⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？
⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？
2、合作探究
1. 直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）
⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB2C 2有什么关系
?
⑵B 1C 1B 2C 2和有什么关系？ AC 1AC 2
⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3) 呢?
⑷由此你得出什么结论?
2. 正切的定义
由于直角三角形中的锐角A 确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义：在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么 叫做∠A 的正切(tangent)，记作tanA ，即tanA=
（二）自觉听讲
1、讲解教材
例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?
例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA 和tanB 的值.
2、补充讲解
a 在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1∶2∶3，求. b
（三）自我演练
1、教材练习
1、如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗?
BC AC
2、如图，某人从山脚下的点A 走了200m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为55m ，求山的坡度.(结果精确到0.001)
2、补充练习
3、若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置
升高________米.
4、菱形的两条对角线分别是16和12. 较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则
tan θ＝______.
5、如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)
（四）自我提升
1、课堂小结
（1）、本节课共学习了多少内容？
（2）、你掌握多少？还有哪些不会? 如何解决？
2、考场检验
1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.
2、在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.
3、在△ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.
4、在Rt △ABC 中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a 、b 、c, 且a=24,c= 25,求tanA 、tanB 的值.
5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.
6、如图, 在菱形ABCD 中,AE⊥BC于E,EC=1,tanB=
边形AECD 的周长.
7、已知:如图, 斜坡AB 的倾斜角a, 且tan α=5, 求菱形的边长和四12A D 3, 现有一小球从坡底A 处以20cm/s 4
的速度向坡顶B 处移动, 则小球以多大的速度向上升高? B
A
8、探究:
⑴、a 克糖水中有b 克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c 克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后, 糖水会更甜, 请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.
⑵、我们知道山坡的坡角越大, 则坡越陡, 联想到课本中的结论:tanA的值越大, 则坡越陡, 我们会得到一个锐角逐渐变大时, 它的正切值随着这个角的变化而变化的规律, 请你写出这个规律:_____________.
⑶、如图, 在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA 、BC, 使AE=CD=c, 直线CA 、DE 交于点F, 请运用
(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.
D
C E B