二次函数学案
26.1.1二次函数
【学习目标】
1、能类比得出并理解掌握二次函数的概念,能判断一个给定的函数是否为二次函数。 2、根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式,体会函数的模型思想,会用待定系数法求简单的二次函数的解析式。
3、经历二次函数概念的建立过程,体会“特殊——一般——特殊”的数学思想。
【学习重点】理解掌握二次例函数的概念。 【学习过程】:
[知识回顾]:1、一元二次方程的一般形式是。
2、正比例函数的一般形式是;一次函数的一般形式是。 [合作学习,探究新知]先独立完成,然后与同桌(组)同学交流解法。
问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x ,表面积为y ,那么y 与x 的关系可表示为 。
问题2: n 边形的对角线数d 与边数n 之间有怎样的关系为 。
问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定,y 与x 之间的关系为 。
问题思考:观察上述三个函数的特点,类比一次函数的定义,你能给形如上述三种函数下一个定义吗?类比一元二次方程的一般形式,你认为这类函数的一般形式应是怎样的?各部分的名称及要求是怎样的?它主要有哪几种呈现形式? [巩固练习]
1.下列函数中,哪些是二次函数? 如果是,请说出各部分名称,如果不是,说明理由。 (1)y=3x -1; (2)y=3x+2; (3)y=3x+2x; (4)y=2x-2x+1; (5)y=2x+ x-x(1+x); (6)y=x-2+x.
2.根据下列问题中的条件确定二次例函数的解析式
(1)正方形边长为x (cm ),写出它的面积y (cm )与边长x (cm )之间的关系式。
(2)矩形的长是4厘米,宽是3厘米,如果将其长增加x 厘米,宽增加2x 厘米, 则面积增加到y 平方厘米,试写出y 与x 的关系式.
(3)一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S 与半径r 之间的关系式。
(4)n 支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛。写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式。
3.在一定条件下,若物体运动的路段s (米)与时间t (秒)之间的关系为s =5t 2+2t ,则当t =4秒时,该物体所经过的路程为 。 [问题探究] 先独立完成,然后与同学交流。
2
2
3
2
2
2
1、关于x 的函数y =(m +1) x m
2
-m
是二次函数, 求m 的值。
2、已知二次函数y =ax 2,当x =2时,y =-12,(1)求这个二次函数的解析式;(2)若x =-1,求y 的值;(3)当x 为何值时,y =-27?
[巩固练习]
1、若函数y =(m 2-1) x m
2、已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时, 函数值为4, 当x=2时, 函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.
[归纳总结]1、二次函数的定义及相关概念。2、如何根据:实际问题中的条件、定义、给定的对应值来确定二次函数的解析式?
[能力提升]:1、已知关于x 的二次函数, 当x=-1时, 函数值为10, 当x=1时, 函数值为4, 当x=2时, 函数值为7, 求这个二次函数的解析式.
2、某养鸡厂的矩形鸡舍长靠墙,与墙垂直的边长为x (米),与墙平行的边长为y (米),鸡舍面积为S (平方米)。
(1)现在有材料可以制作竹篱笆13米。求S 与x 的函数关系,并求出x 的取值范围。 (2)若欲围成20平方米的鸡舍,鸡舍的长和宽应是多少?
2
-m
为二次函数,求m 的值。
26.1.2二次函数y =ax 2的图象与性质
执笔人: 审核人:
【学习目标】
1.经历画二次函数y =ax 2的图象的过程,知道二次函数的图象是一条抛物线; 2.利用“形”的直观发现“数”的规律,探究二次函数y =ax 的性质;
2
3.掌握二次函数y =ax 的性质,并会灵活应用.
2
【学习重点】二次函数y =ax 2的图象和性质
【学习难点】探究二次函数y =ax 2的图象和性质。 【学习过程】
[知识回顾]:
1、我们在学习一次函数、反比例函数时,都是先根据函数的解析式 ,进而研究函数的性质,这是研究函数的一般方法。
2、画函数图象的方法是 、 、 ;每个步骤中应注意的问题是什么?
[
2观察图象并结合所列函数对应值表,可得二次函数y =x 的性质:
1.自变量x 的取值范围是___. 2.二次函数y =x 是一条曲线,把这条曲线叫做_______. 3.二次函数y =x 2中,二次项系
2
数a =_______,抛物线y =x 的图象开口__________.
4.观察列表和图象发现:当两点的横坐标互为相反数时,函数y 值 ,所描出的各对应点关于________对称,从而图象关于___________对称.
5.抛物线y =x 2与它的对称轴的交点坐标是 ,叫做抛物线y =x 2的顶点.
6.抛物线y =x 2有______点(填“最高”或“最低”) .
2
2
1
活动2:在同一坐标系下,画出y x 2,y =2x 2的图象.
1
归纳:抛物线y = x 2,y =x 2,y =2x 2的二次项系数a____0;顶点都是__________;
2 对称轴是_________;顶点是抛物线的最_________点(填“高”或“低”)。 1
活动3:请在上面的直角坐标系中画出函数y =-x 2,y x 2, y =-2x 2的图象.
21222
归纳:抛物线y =-x ,y =- x , y =-2x 的二次项系数a____0,顶点都是________,
2 对称轴是___________,顶点是抛物线的最________点(填“高”或“低”)。 活动4:知识梳理 1.抛物线y =ax 的性质
2.抛物线y =ax 2与y =-ax 2关于_______对称,开口大小_________.
3.当a >0时,a 越大,抛物线的开口越___________; 当a <0时,|a | 越大,抛物线的开口越_________;因此,|a | 越大,抛物线的开口越________,反之,|a | 越小,抛物线的开口越________.
[巩固练习] 活动5:(1)二次函数y =(m-1)x 2的图象开口向下,则m____________. (2)二次函数y =mx
m 2
2
2
有最低点,则m =___________.
3
(3)函数y x 2(y =-2x 2)的图象开口向_______,顶点是__________,对称轴
7是________,当x =___________时,有最_________值是_________.
[反思归纳]你会从哪些角度,如何描述二次函数y =ax 2的图象和性质?说给同学听。 能力提升:你能结合图象来描述一下二次函数y =ax 2的增减性吗?试着说一下。
26.1.3二次函数y =ax 2+k的图象与性质
执笔人: 审核人:
【学习目标】
1.经历画二次函数y =ax 2+k的图象的过程,知道抛物线y =ax 2+k与y =ax 2的关系; 2.利用“形”的直观发现“数”的规律,探究二次函数y =ax +k的性质;
2
3.掌握二次函数y =ax +k的性质,并会灵活应用.
2
【学习重点】二次函数y =ax 2+k 的图象和性质
【学习难点】探究二次函数y =ax 2+k 的图象和性质。 【学习过程】
[知识回顾]:二次函数y =ax 2的图象和性质。
[探究新知] 活动1:在同一直角坐标系中,画二次函数y =x 2 ,y =x 2+1,y =x 2-1的图象.
解:先列表
观察图象并结合所列函数对应值表,归纳:1.填表
2.可以发现,把抛物线y =x 向______平移______个单位,就得到抛物线y =x +1;把
22
抛物线y =x 向_______平移______个单位,就得到抛物线y =x -1. 3.抛物线y =x 2,y =x 2-1与y =x 2+1的形状_____________. 4. 拓展延伸:
22
5.抛物线y =2x 向上平移3个单位,就得到抛物线__________________;
2
抛物线y =2x 向下平移4个单位,就得到抛物线__________________.
因此,把抛物线y =ax 2向上平移k (k >0)个单位,就得到抛物线_______________; 把抛物线y =ax 2向下平移m (m >0)个单位,就得到抛物线_______________.
6.抛物线y =-3x 2与y =-3x 2+1是通过平移得到的,从而它们的形状__________,由此可得二次函数y =ax 2与y =ax 2+k 的形状__________________. 巩固练习:
1.请你从图象、开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性等几个角度来描述下列二次函数:y =5x 2、y =-4x 2+1、y =3x 2-5。
11
2.抛物线y =-2-2可由抛物线y 2+3向___________平移_________个单位
33得到.
3.抛物线y =-x +h 的顶点坐标为(0,2),则h =_______________.
4.抛物线y =4x 2-1与y 轴的交点坐标为_____________,与x 轴的交点坐标为_________. 5.写出一个顶点坐标为(0,-3),开口方向与抛物线y =-x 2的方向相反,形状相同的抛物线解析式____________________________.
6.抛物线y =4x 2+1关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________. 反思归纳:
1、你会从哪些角度,如何描述二次函数y =ax 2+k ? 2、抛物线y =ax 2+k 沿铅直方向平移有何规律?
2
26.1.4二次函数y =a(x-h)2的图象与性质
执笔人: 审核人:
【学习目标】
1.经历画二次函数y =a(x-h) 2图象的过程,知道抛物线y =(x-h) 2与y =ax 2的关系; 2.利用“形”的直观发现“数”的规律,探究二次函数y =a(x-h) 的性质;
2
3.掌握二次函数y =a(x-h) 的性质,并会灵活应用.
2
【学习重点】二次函数的图象和性质
【学习难点】探究二次函数y =a(x-h) 2的图象和性质。 【学习过程】
1212
[知识回顾]:先描述二次函数y =--2的图象和性质,然后再说明抛物线y x
331
与y =- x2-2的关系。
3
11
[探究新知] 活动1:在同一直角坐标系中,画二次函数y x 2 ,y =-(x+1) 2,y=
22
1
- (x-1) 2的图象. 2
观察图象并结合所列函数对应值表,归纳:1、填表
2、抛物线间的关系:
111
①抛物线y =-+1) 2 ,y x2,y =- (x-1) 2的形状大小____________.
22211
②把抛物线y =- x2向左平移_______个单位,就得到抛物线y =-+1) 2 ;
2211
把抛物线y =-2向右平移_______个单位,就得到抛物线y +1) 2 .
22
反之, 。 [活动2]知识归纳:
数:y =-3 (x+2) 2、y =4 (x-1) 2。
2.把抛物线y =3x 2向右平2个单位后,得到的抛物线的表达式为___________________.把
抛物线y =-3x 2向左平移5个单位后,得到的抛物线的表达式为____________________. 3.若将抛物线y =2x 2+1向下平移2个单位后,得到的抛物线解析式为_______________.
22
4. 抛物线y =m(x+n) 向左平移2个单位后,得到的函数关系式是y =-2(x-3) ,则 m=__________,n =___________.
5. 若抛物线y =m(x+1) 2过点(1,-4),则m =_______________.
6.抛物线y =4 (x-2) 与y 轴的交点坐标是___________,与x 轴的交点坐标为________. 12
7. 将抛物线y =- (x-1) 向右平移2个单位后,得到的抛物线解析式为____________.
38.写出一个顶点是(5,0),形状、开口方向与抛物线y =-2x 都相同的二次函数解析式 . 反思归纳:
1、你会从哪些角度,如何描述二次函数y =a(x-h) ? 2、抛物线y =a(x-h) 2沿水平方向平移有何规律?
2
2
2
26.1.5二次函数y =a(x-h) 2+k 的图象与性质
【学习目标】
1.经历画二次函数y =a(x-h) 2+k图象的过程,知道抛物线y =(x-h) 2+k与y =ax 2、y =(x-h) 2、y =ax 2+k 的关系;
2.利用“形”的直观发现“数”的规律,探究二次函数y =a(x-h) +k的性质;
2
3.掌握二次函数y =a(x-h) +k的性质,并会灵活应用.
2
【学习重点】二次函数的图象和性质
【学习难点】探究二次函数y =a(x-h) 2+k的图象和性质。 【学习过程】
1212
[知识回顾]:先描述二次函数y =- x-2、y (x+3)的图象和性质,然后再说明
33111
抛物线y =-2与y 2-2、 y =-2的关系。
333
11
[探究新知] 活动1:在同一直角坐标系中,画二次函数y =- x 2 ,y =-(x-1) 2,
221212
y =-x +1,y=-(x-1) +1的图象.
22
观察图象并结合所列函数对应值表,归纳:1.
1
2.把抛物线y x 2向_______平移______个单位,再向_______平移_______个单
2
11
位,就得到抛物线y =-(x+1) 2-1;抛物线y =-(x-1) 2向_______平移______个单
2211
位,就得到抛物线y =-(x+1) 2-1;抛物线y x 2+1向_______平移______个单位,
2212
就得到抛物线y =- (x+1) -1.
2活动2:知识点梳理,1.填表
2.抛物线y =a (x-h) +k 与y =ax 、y =ax +k 、y =a (x-h) 形状___________,位置关系怎样?.
巩固练习:
22
1.请你描述二次函数y =-(x+5) -4、y =(x-4) +5的图象及相关性质。
12
2.顶点坐标为(-2,3),开口方向和大小与抛物线y =x 相同的解析式为( )
21
A .y =(x-2) 2+3
21
C .y = (x+2) 2+3
2
1
B .y =(x+2) 2-3
21
D .y =- (x+2) 2+3
2
3.将抛物线y =5(x-1) 2+3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线的解析式为_______________________.
4.抛物线y =-3 (x+4) 2+1中,当x =______时,y 有最______值是________. 5.y =6x 2+3与y =6 (x-1) 2+10_____________相同,而____________不同. 6.若抛物线y =a (x-1) 2+k 上有一点A (3,5),则点A 关于对称轴对称点A ’的坐标为__________________.
7.一条抛物线的对称轴是x =1,且与x 轴有唯一的公共点,并且开口方向向下,则这条抛物线的解析式为____________________________.(任写一个)
8.若抛物线y =ax 2+k 的顶点在直线y =-2上,且x =1时,y =-3,求a 、k 的值. 例题:要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高,高度为3m ,水柱落地处离池中心3m ,水管应多长?
解题思考:问题中出现了抛物线,因此必须通过直角坐标系来建立数学模型解决问题。
解建立如图所示的平面直角坐标系,(请你叙述一下建立此坐标系的过程:坐标原点、两坐标轴各是怎样的?)此时抛物线的顶点坐标是 ,因此可设这段抛物线对应的函数的解析式是 ,自变量x 的取值范围是 。
已知这段抛物线经过的点是 ,将此点的坐标
代入到解析式中,可得 ,从而求出待定系数为 。 因此得到这段抛物线的解析式为 。 求水管的长度实际上就是求抛物线与 轴的交点的 坐标为 。 所以,水管的长度为 。
想一想,你还可以建立怎样的坐标系来解决这个问题?
巩固练习:一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。该运动员的身高1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手,球出手时,他跳离地面的高度是多少?
由此可知,在解决关于涉及函数图象(如喷水、不倒翁、投篮、桥拱等)的实际问题时,经常需要通过 建立数学模型来解决。 反思归纳:
1、你会从哪些角度,如何描述二次函数y =a(x-h) ?
2、抛物线y =a(x-h) 2沿水平方向平移有何规律?
3、在画抛物线y =a (x-1) 2+k 的图象时,取值列表有什么技巧?
2
26.1.6二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与性质
【学习目标】
1.配方法求二次函数一般式y =ax 2+bx +c 的顶点坐标、对称轴; 2.熟记二次函数y =ax 2+bx +c 的顶点坐标公式; 3.会画二次函数一般式y =ax +bx +c 的图象.
2
【学习重点】二次函数的图象和性质
【学习难点】探究二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质。 【学习过程】
[知识回顾]:1、请你描述y =-x 、y =-x -4、y =-(x+5) 、y =-(x+5) -4的图象及性质,并说明它们之间的关系。 2、用配方法解一元二次方程3、阅读:把二次三项式解:
12
12
12
2
2
2
2
x 2-6x+21=0
x 2-6x+21化成a(x+h)2+k的形式.
12
x 2-6x+21=
12
(x2-12x+42)= (x2-12x+62-62+42)=
12
[(x-6)2+6]=
12
(x-6)2+3
比较:用配方法解一元二次方程和用配方法进行二次三项式的恒等变形时的异同点. [探究新知]活动1:画函数y=
12
x -6x+21的图象:(抛物线的对称轴是 ,顶点坐
2
标为 ,如何列表?)
列表:
归纳:抛物线y=y=
12
12
x -6x+21的开口方向 ,怎样由平移抛物线y=
12
2
12
x 得到抛物线
2
x 2-6x+21?二次函数y=x 2-6x+21的增减性是怎样的?
活动2:用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x+h)2+k的形式,并得出抛物线y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标,叙述二次函数y=ax+bx+c的增减性和最值情况。
巩固练习:1、先选择你认为适当的方法求出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标, 然后叙述这几个二次函数的增减性及最值.
(1)y=3x+2x (2)y=-x-2x (3)y=-2x+8x-8 (4)y=
2
2、二次函数y =2x +bx +c 的顶点坐标是(1,-2),则b =________,c =_________. 3、二次函数y =-x 2+mx 中,当x =3时,函数值最大,求其最大值.
4、求抛物线y =2x 2-7x -15与x 轴交点坐标__________,与y 轴的交点坐标为_______. 5、抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴一定相交吗,为什么?如果相交,交点是 ,一定与x 轴有公共点吗?请你说明理由。
6、如果抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (-2,5)、B (4,5)两点,则此抛物线的对称轴是直线 。 [反思归纳]
二次函数y =ax +bx +c 的图象及性质,怎样画它的图象?
2
2
2
2
2
2
12
x -4x+3
2
二次函数y =ax 2+bx +c 解析式求法*
【学习目标】
会求二次函数的解析式
【学习重点】求二次函数的解析式
【学习难点】会根据已知条件确定二次函数的解析式。 【学习过程】
[知识回顾]
1.二次函数的一般形式为 。
2.已知二次函数y =x +x +m 的图象过点(1,2),则m 的值为________________. 3.已知点A (2,5),B (4,5)是抛物线y =4x 2+bx +c 上的两点,则这条抛物线的对称轴为_____________________. 1
4.抛物线的形状、开口方向都与抛物线y =-x 2相同,顶点在(1,-2),则抛物
2线的解析式为________________________________. [探究新知]
活动1:1、若y =(m -1) x m 2、若抛物线y =(3n +2) x n 解析式。
思考:如何根据二次函数的定义求解析式?
活动2:例1 已知抛物线顶点为(1,-4),且又过点(2,-3).求抛物线的解析式.
例2 已知抛物线与x 轴的两交点为(-1,0)和(3,0),且过点(2,-3). 求抛物线的解析式.
例3 已知抛物线经过点A (-1,0),B (4,5),C (0,-3),求抛物线的解析式.
2
2
+1
是二次函数,则此二次函数的解析式为 +(1-4n ) x -5与y =-x 开口方向相同,求此抛物线的
2
2
-n
思考:如何用待定系数法,依据给定的抛物线上的点确定二次函数的解析式?
活动3:如图,在△ABC 中,∠B =90°,AB =12mm ,BC =24mm ,动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s的速度移动,动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s的速度移动,如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,那么△PBQ 的面积S 随出发时间t 如何变化?写出函数关系式及t 的取值范围.
六、课堂训练
1.已知二次函数的图象过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点,求这个二次函数的关系式.
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为(-2,-3),且图像过点(-3,-2),求这个二次函数的解析式.
3.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图像与x 轴交于A (1,0),B (3,0)两点,与 y轴交于点C (0,3),求二次函数的顶点坐标.
4、已知二次函数y =-2x +bx +c 的图像经过A (-1,0),B (1,-6)两点,求这个二次函数的解析式。
2
A P
C
5、某种商品的价格是2元,准备进行两次降价。如果每次降价的百分率都是x ,经过两次降价后的价格y (元)随每次降价的百分率x 的变化而变化的关系式是怎样的?
[反思归纳]1、如何利用二次函数的定义确定它的解析式? 2、如何利用待定系数法确定二次函数的解析式?有哪几种类型?
3、如何利用数学和现实生活中的数量之间的相依关系确定二次函数的解析式?
26.2 用函数观点看一元二次方程
【学习目标】
1.了解一元二次方程的根的几何意义(抛物线与x 轴的公共点的横坐标); 2.知道抛物线与x 轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况; 3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【学习重点】抛物线与x 轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况
【学习难点】探究抛物线与x 轴的三种位置关系对应的一元二次方程的根的三种情况。 【学习过程】
[知识回顾]:1、不解方程判定一元二次方程的根的情况:
①2x 2-3x+1=0 ②4x 2+4x+1=0 ③x 2-x+2=0
2、对于一次函数y=-2x+4,①当x 为何值时,函数值为6;②求它的图象与x 轴的交点。 [新知探究]
活动1.如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h (单位:m )与飞行时间t (单位:s )之间具有关系h =20t -5t 2. 考虑以下问题:
(1)球的飞行高度能否达到15m ?如能,需要多少飞行时间? (2)球的飞行高度能否达到20m ?如能,需要多少飞行时间? (3)球的飞行高度能否达到20.5m ?为什么? (4)球从飞出到落地要用多少时间?
以上几个问题都可归结为:从函数解析式看,就是已知函数值求自变量的值;从函数图象看,就是求直线y=h(15、20、20.5、0)与抛物线的公共点的横坐标。
活动2:下列函数图象与x 轴有公共点吗?如果有,公共点的坐标是什么?当x 取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此,你能得出相应的一元二次方程的根吗? (1)y=x2+x-2 (2)y=x-6x+9
2
(3)y=x-x+1
从活动1、2解决问题的过程可以看出,二次函数与一元二次方程有着密切的关系: 1.已知二次函数y =-x 2+4x 的函数值为3,求自变量x 的值,可以看作解一元二次方程 ;反之,解一元二次方程-x 2+4x =3又可以看作已知二次函数 的函数值为3的自变量x 的值.
一般地:已知二次函数y =ax 2+bx +c 的函数值为m ,求自变量x 的值,可以看作解一元二次方程 ;反之,解一元二次方程ax +bx +c =m 又可以看作已知二次函数 的值为m 的自变量x 的值.
2、从二次函数的图象可知,(1)如果抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴有公共点,公共点的横坐标为x 0,那么当x=x0时,函数值是 ,因此x=x0就是方程 的一个根。 (2)二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴的位置有 种,分别对应着一元二次方程的根的情况又是怎样的?请你与同学交流后总结出来写在下面:
[巩固练习]
1.二次函数y =x 2-3x +2,当x =1时,y =________;当y =0时,x =_______. 2.二次函数y =x 2-4x +6,当x =________时,y =3. 3.如图,一元二次方程ax 2+bx +c =0 的解为________________ 4.如图,一元二次方程ax 2+bx +c =3的解为_________________
y=3 图4
图
3
2
2
5.同桌之间任意写出几个二次函数,判定它的图象与x 轴的公共点的情况,如果有公共点,求出公共点的坐标。
6.已知抛物线y =kx 2+2x -1与坐标轴有三个交点,则k 的取值范围___________. 活动3:阅读课本P18-19页内容。 [反思归纳]
1、一元二次方程的根的几何意义
22
2、抛物线y =ax +bx +c 与x 轴的位置与一元二次方程ax +bx +c=0的根之间的关系。 [能力提升]
1、利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
(1)方程ax +bx +c =0的根为___________; (2)方程ax 2+bx +c =-3的根为__________; (3)方程ax 2+bx +c =-4的根为__________; (4)不等式ax +bx +c >0的解集为________; (5)不等式ax 2+bx +c <0的解集为________;
22
( 6)不等式-4<ax 2+bx +c <0的解集为________.
2、根据图象填空: (1)a_____0;(2)b_____0;(3)c______0; (4)△=b 2-4ac_____0;(5)a +b +c_____0; (6)a -b +c_____0;(7)2a +b_____0; (8)方程ax 2+bx +c =0的根为__________; (9)当y >0时,x 的范围为___________; (10)当y <0时,x 的范围为___________;
26.3.1实际问题与二次函数
【学习目标】
1.能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数的图象和性质求出实际问题的答案。
2.通过探索“计算机中的二次函数问题”过程,体会“建立二次函数模型”是解决实际问题中的最优化问题的数学模型,并获得解决问题的经验。
3.在活动与交流中体会小组合作共有利于探究数学知识,能熟练利用二次函数知识求解计算机中磁盘的最大存储量等问题。
【学习重点】几何关系的分析,体会二次函数这一模型的意义。
【学习难点】如何建二次函数模型,利用它解决实际问题。
【学习过程】
[知识回顾]:1、就下列二次函数回答问题:(1)y=-2x-3x+5;(2)y=3x+2x-1;
(3)y=-2(x-1)2+4;(4)y=3(x+2)2-5
抛物线的开口方向,增减性,对称轴,抛物线的顶点是最高(低)点?当x 取何值时函数有最值为多少?
2、用总长为60m 的篱笆围成矩形场地,矩形面积S 随矩形一边长x 的变化而变化. 当x 是多少时,场地的面积S 最大?
思考:(1)应转化为怎样的数学问题来解决,怎样转化?(2)S 随x 变化而变化的对应关系是怎样的,x 的取值范围是怎样的?(3)如何用你学过的数学知识来解决这个问题?归纳:1、一般地,因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是它的最低(高) 点,所以当x=-
二次函数y=ax2+bx+c有最 值为 .
2、除利用一次函数(结合自变量的取值范围)可解决最值问题外,当两个变量之间存在二次函数关系时,可利用二次函数的顶点来解决最值的问题.
[新知探究]
活动1.计算机把数据存储在磁盘上,磁盘是带有磁性物质的圆盘,磁盘上有一些同心圆轨道,叫做磁道. (观察实物)现有一张半径为45mm 的磁盘.
(1)磁盘最内磁道的半径为rmm ,其上每0.015mm 的弧长为1个存储单元,这条磁道有多少个存储单元?
(2)磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm ,磁盘的外圆周不是磁道,这张磁盘最多有多少条磁道?
(3)如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同,最内磁道的半径r 是多少时,磁盘的存储量最大?
问题分析:(1)磁盘最内磁道的周长为 ,它上面的存储单元的个数不超过 . (理由: ) .
(2)由于磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3 mm,所以这张磁盘最多有 条磁道.(理由: )
(3)当各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时,磁盘每面存储量=每条磁道的存储单b 2a 22时,
元数× .设磁盘每面存储量为y ,则y 与r 的函数关系为 . 根据y 与r 的函数关系式,请你得出当r 为何值时磁盘的存储量最大,最大值是多少?
归纳:此问题实质是一个几何问题,周长与弧长间,圆周的个数与半径之间的关系. 最后才利用二次函数求其最大值问题.
【应用迁移训练巩固】
1、某建筑的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形。制造窗框的材料
总长为15 m(图中所有线条长度之和) ,当x 等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)? 此时,窗户的面积是多少?
变式训练:小明的家门前有一块空地,空地外有一面长10米的围墙,为了美化生活环 境,小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃 的围栏,为了浇花和赏花的方便,准备在花圃的中间再围出一条宽为l 米的通道及在左 右花圃各放一个l 米宽的门(如图所示) .花圃
的宽AD 究竟应为多少米才能使
花圃的面积最大?
2、如图,从一张矩形纸较短的边上找一点E ,过E
点剪下两个正方形,它们的边长分别
是AE ,DE .要使剪下的两个正方形的面积和最小,点E 应选在何处? 为什么?
【反思归纳】本节课所学的知识是通过对计算机的磁盘等不同实例的探讨,依据几何关系得到二次函数,再利用二次函数图象与性质进行解题,即用函数的思想与方法.
几何问题用函数的思想方法来解决,需注意什么?
①自变量的取值范围,保证几何图形有 .②充分利用几何关系,构造出函数 关系.
【检测反馈】
1.已知一矩形的周长为20 cm,求此矩形面积的最大值.
2.有一长为7.2米的木料,做成如图所示的“日”字形的窗框,窗的高和宽各取多少米时,这个窗的面积最大(不考虑木料加工时的损耗和木框本身所占的面积)?
26.3.2实际问题与二次函数
【学习目标】
1、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数求出实际问题中的最大(小)值,发展学生解决问题的能力。
2、经历探索商品销售中最大利润问题的过程,增强数学应用能力。
3、提高学生解决问题的能力,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值。
【学习重点】让学生通过解决问题,掌握如何应用二次函数来解决经济中最大(小)值问题.
【学习难点】如何分析现实问题中数量关系,从中构建出二次函数模型,达到解决实际问题的目的.
【学习过程】
[新知探究]某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映;如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
问题分析: 1、在涨价的情况下,最大利润是多少?若每件涨价x 元,由此商品得: ①每件的利润为 元;②每星期的销售量为 件;③所获利润是 元.
若设所获得利润为y 元,则有y= ,即y= . ④自变量x 的取什范围是 (如何确定? )
⑤如何求最大值?
在涨价的情况下,最大利润是多少?
问题解决:
归纳:利用二次函数求最大利润问题时,需注意些什么问题?
①分类讨论;(涨价与降价)②分清每件的 与 量,理清价格与它们之间的关系;③自变量的取值范围的确定,保证实际问题有 ;④一般是利用二次函数的 坐标求最大值,但有时顶点坐标不在 内,注意画图像分析.
【巩固训练】
1、某商店经营一种小商品,进价为2.5元,据市场调查,销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件,而销售单价每降低1元,平均每天就可以多售出100件.
(1)假设每件商品降低x 元,商店每天销售这种小商品的利润是y 元,请你写出y 与x 的之间的函数关系式,并注明x 的取值范围;
(2)每件小商品销售价是多少元时,商店每天销售这种小商品的利润最大?最大利润是多少?(注:销售利润=销售收入-购进成本)
2、儿童商场购进一批M 型服装,销售时标价为75元/件,按8折销售仍可获利50%。商场现决定对M 型服装开展促销活动,每件在8折的基础上再降价x 元销售,已知每天销售数量y (件)与降价x (元)之间的函数关系式为y =20+4x (x >0)。
(1)求M 型服装的进价;
(2)求促销期间每天销售M 型服装所获得的利润W 的最大值。
3、某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空间.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定介增加x 元,求:
(1)房间每天入住量y (间)关于x (元)的函数关系式;
(2)该宾馆每天的房间收费z (元)关于x (元)的函数关系式;
(3)该宾馆客房部每天的利润w (元)关于x (元)的函数关系式,当每个房间的定价为多少元时,w 有最大值?最大值是多少?
【反思归纳】在利用二次函数解决有关“最大利润”问题时,需理清哪些量之间的关系,需注意什么问题?
【能力提升】1、某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品,规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件。经试销调查,发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似地看作一次函数y=kx+b的关系(如图26-3-1所示)。
(1)根据图象,求出一次函数y=kx+b的表达式;
(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-
成本总价)为S 元。
①试用销售单价x 表示毛利润S ;
②试问:销售单价定为多少时,该公司可获
得最大利润,最大利润是多少?此时的销售量是
多少?
2、某果品批发公司为指导今年的樱桃销售,对往年的市场销售情况进行了调查统计,得到如下数据:
(1)在直角坐标系中,作出各组有序数对(x,y )所对应的各点,连结各点并观察所得的图形,判断y 与x 之间的函数关系,并求出y 与x 之间的函数关系式。
(2)若樱桃进价为13元/千克,试求销售利润P (元)与销售价x (元/千克)之间的函数关系式,并求出当x 取何值时,P 值最大?最大值是多少?
26.3.3实际问题与二次函数
【学习目标】
1.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数的知识解决实际问题
2.经历探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程,获得利用数学方法解决实际问题的经验.
3.体会二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。
【学习重点】通过对实际问题的分析,使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模型.
【学习难点】利用二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便.
【学习过程】
[新知探究]如图中的抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水面下降1米,水面宽度增加多少?
问题分析:题中给出的是抛物线形拱桥,与我们
前面学习的赵州桥(弧形)不同,不能用几何知
识来解决,而抛物线是二次函数的图象,可用二
次函数的相关知识来求解.因此我们需要建立适
当的直角坐标系.
以抛物线的顶点为坐标原点,以抛物线的对称轴
为y 轴建立直角坐标系.
此时,可设抛物线的解析式为 ,(为什么?)
其中有 个待定的系数,抛物线上有 已知点,能
确定抛物线的解析式吗?水面下降1米时,水面的纵坐
标是 ,求此时水面的宽度就是求 ,水
面的宽度增加就是求哪两者的差?
问题解决:
如果以水面l 所在的直线为x 轴,抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系呢?请你试着解决这个问题。
图
1
任意建立直角坐标系都能解决此问题吗?
归纳:建立适当的直角坐标系,首先要能解决问题(即在建立的直角坐标系下的抛物线的已知点的个数能确保求出二次函数的解析式中的待定系数,也就是能确定二次函数的解析式);其次是使解决问题的过程简化。
【巩固训练】有一座抛物线拱桥,正常水位时桥下水面宽度为20米,拱顶距离水面4米.设正常水位时桥下的水深为2米,为保证过往船只顺利航
行,桥下水面的宽度不得小于18米。求水深超过多少米
时就会影响过往船只在桥下顺利航行.
某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的,
为牢固起见,每段护栏需按间距0.4m 加设不锈钢管(如图)
做成的立柱。为了计算所需不锈钢管立柱的总长度,设计人
员测得如图所示的数据.请你依据所给数据计算所需不锈钢
管的总长度.
【反思归纳】用函数的思想方法解决抛物线型拱桥问题应注
意什么? 有哪些技巧? 与同学们交流体会.
【能力提升】1、永和大桥(钢管混凝土拱桥) 是南宁市的一标志性建筑,其拱桥图形为抛物线的一部分(如图) ,在正常情况下,位于水面上的桥拱跨度为350 m,拱高为8.5m .
(1)在所给的直角坐标系中(如图) ,假设越物线的表达式为y=ax 2+b,
请你根据上述数据求出a,b 的值,并写出抛物线的表达式;(不要求写自变量的取值范 围。a,b 的值保留两个有效数字)
(2)七月份讯期将要来临,当邕江水位上涨后,位于水面上的桥拱跨度将会减小,当 水位上涨4 m时,位于水面上的桥拱跨度有多大?(结果保留整数)
2、如图,在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球,网球飞行路线是一条抛物线,在地面上落点为B .有人在直线AB 上点C (靠点B 一侧)竖直向上摆放无盖的圆柱形桶,试图让网球落入桶内.已知AB =4米,AC =3米,网球飞行最大高度OM =5米,圆柱形桶的直径为0.5米,高为0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计).
(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶时,网球能不能落入桶内?
(2)当竖直摆放圆柱形桶多少个时,网球可以落入桶内?
如图(1),某灌溉设备的喷头B 高出地面1.25m ,喷出的抛物线形水流在与喷头底部A 的距离为1m 处达到距地面最大高度2.25m ,试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线水流对应的二次函数关系式。
学生小龙在解答图(1)所示的问题时,具体解答如下:
①以水流的最高点为原点,过原点的水平线为横轴,过原点的铅垂线为纵轴,建立如图
(2)所示的平面直角坐标系;
②设抛物线水流对应的二次函数关系式为y=ax2;
③根据题意可得B 点与x 轴的距离为1m ,故B 点的坐标为(-1, 1);
2④代入y=ax得-1=a·1,所以a=-1;
⑤所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y=-x2.
数学老师看了小龙的解题过程说:“小龙的解答是错误的”。
(1)请指出小龙的解题从第______步开始出现错误,错误的原因是什么?
(2)请你写出完整的正确解答过程。
第26章 《二次函数》小结与复习(2课时)
【学习目标】
1.理解二次函数的概念,掌握二次函数y =ax 2的图象与性质;会用描点法画抛物线,能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向,能较熟练地由抛物线y =ax 2经过适当平移得到y =a(x-h) 2+k 的图象.
2. 会用待定系数法求二次函数的解析式,能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质.
3.使学生掌握二次函数模型的建立,并能运用二次函数的知识解决实际问题.
【重点难点】
重点:
1. 二次函数的图象及性质.
2. 用待定系数法求函数的解析式.
3. 利用二次函数的知识解决实际问题,并对解决问题的策略进行反思.
难点:
1. 二次函数图象的平移.
2. 会运用二次函数知识解决有关综合问题.
3. 将实际问题转化为函数问题,并利用函数的性质进行决策.
【学习过程】
1. 二次函数的概念,二次函数y =ax +bx +c(a≠0) 的图象性质. 2
例:已知函数y =(m +2) x m 2+m -4是关于x 的二次函数,求:(1)满足条件的m 值;
(2)m为何值时,抛物线有最低点? 求出这个最低点.这时当x 为何值时,y 随x 的增大而增大?(3)m为何值时,函数有最大值? 最大值是什么? 这时当x 为何值时,y 随x 的增大而减小?
巩固练习:
已知函数y =(m +1) x m +m +mx+m+5是二次函数,其图象开口方向向下,则m =_____,抛物线与x 轴的交点为 ,与y 轴的交点为 ,顶点为_____,当x_____时,y 随x 的增大而增大,当x_____时,y 随x 的增大而减小.
2. 求抛物线的顶点,对称轴;抛物线的画法,平移规律.
例:用配方法求出抛物线y =-3x 2-6x +8的顶点坐标、对称轴,并画出函数图象,说明通过怎样的平移,可得到抛物线y =-3x 2。
归纳:1. 求抛物线的顶点和对称轴的方法有配方法(顶点式) 和公式法(一般式), 一般式与
b 24ac -b 22顶点式的互化关系:y =ax +bx +c ————→y =a(x+) + 2a 4a
2.利用抛物线的 画二次函数的图象,先确定抛物线的 、对称轴,利用 列表、描点、连线.
3抛物线的平移规律. 2
1【巩固练习】1. 求抛物线y =x 2-4x +5的开口方向、对称轴及顶点坐标,再画出图象. 2
2. 抛物线y =x 2+bx +c 的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位,得抛物线y =x 2-2x +1,求:b 与c 的值。
3. 用待定系数法确定二次函数解析式.
例:根据下列条件,求出二次函数的解析式。
2 (1)抛物线y =ax +bx +c 经过点(0,1) ,(1,3) ,(-1,1) 三点。
(2)抛物线顶点P(-1,-8) ,且过点A(0,-6) 。
(3)已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过(3,0) ,(2,-3) 两点,并且以x =1为对称轴。
(4)已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过一次函数y =-3
2x +3的图象与x 轴、
y 轴的交点;且过(1,1) ,求这个二次函数解析式,并把它化为y =a(x-h) 2+k 的形式。
2 归纳:二次函数解析式常用的有三种形式: (1)一般式:y =ax +bx +c (a≠0)(2)
顶点式:y =a(x-h) 2+k (a≠0) (3)交点式:y =a(x-x 1)(x-x 2) (a≠0)
当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y =ax 2+bx +c 形式。
2 当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时,通常设为顶点式y =a(x-h) +k 形式。
当已知抛物线与x 轴的交点或交点横坐标时,通常设为交点式y =a(x-x 1)(x-x 2)
4.何时获得最大利润问题。
例:重庆市某区地理环境偏僻,严重制约经济发展,丰富的花木产品只能在本地销
1售,区政府对该花木产品每投资x 万元,所获利润为P= (x-30) 2+10万元,为了响50
应我国西部大开发的宏伟决策,区政府在制定经济发展的10年规划时,拟开发此花木产品,而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元,若开发该产品,在前5年中,必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路,且5年修通,公路修通后,花木产品除在本地销售外,还可运往外地销售,运往外地销售的花木产品,每投资x 万
491942元可获利润Q=--x) + (50-x) +308万元。 505
(1)若不进行开发,求10年所获利润最大值是多少?
(2)若按此规划开发,求10年所获利润的最大值是多少?
(3)根据(1)、(2)计算的结果,请你用一句话谈谈你的想法。
问题分析:
1(1)若不开发此产品,按原来的投资方式,由P=(x-30) 2+10知道,只需从5050
万元专款中拿出30万元投资,每年即可获最大利润10万元,则10年的最大利润为
M 1= 万元.
(2)若对该产品开发,在前5年中,当x=25时,每年最大利润是:
P =(万元)
则前5年的最大利润为M 2万元
设后5年中x 万元就是用于本地销售的投资.
49194(50-x) -x) +308知,将余下的(50-x) 万元全部用于外地销505
售的投资.才有可能获得最大利润; 则后5年的利润是: 则由Q =-
M 3=
当x = 时,M 3取得最大值为 万元.
∴10年的最大利润为M =M 2+M 3= 万元
(3)
巩固练习:
某公司试销一种成本单价为500元/件的新产
品,规定试销时的销售单价不低于成本单价,又
不高于800元/件,经试销调查,发现销售量y(件)
与销售单价x(元/件) 可近似看做—次函数y =kx +
b 的关系,如图所示.
(1)根据图象,求一次函数y =kx +b 的表达式;
(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价
-成本总价) 为S 元,①试用销售单价x 表示毛利
润S ;②试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大利润? 最大利润是多少? 此时的销售量是多少?
5.最大面积问题.
例:某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米1000元,设矩形的边长为x ,面积为S 平方米。
(1)求出S 与x 之间的函数关系式;
(2)请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个设计费用;
(3)为了使广告牌美观、大方,要求做成黄金矩形,请你按要求设计,并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元) (参与资料:①当矩形的长是宽与(长+宽) 的比例中项时,这样的矩形叫做黄金矩形,②≈2.236)
1.让学生反思本节教学过程,归纳本节课复习过的知识点及应用。
2。投影:完成下表:
6. 建立平面直角坐标系解决实际问题.
如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给小
明做了一个简易的秋千. 拴绳子的地方距地面高都是2.5米,
绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树
0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距
离为
米.
【反思归纳】1. 二次函数的图象及性质.
2. 二次函数三种解析式的实际应用.
3. 如何将实际问题转化为二次函数问题,从而利用二次函数的性质解决最大利润问题,最大面积问题;如何建立适当的坐标系来解决抛物线型建筑及抛物线型运动问题.
【巩固练习】
1.若二次函数y =(m+1)x 2+m 2-2m -3的图象经过原点,则m =______。
2.函数y =3x 2与直线y =kx +3的交点为(2,b) ,则k =______,b =______。
3.开口向上的抛物线y =a(x+2)(x-8) 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,若∠ACB =90°,则a =_____。
2 4.已知抛物线y =ax +bx +c 的对称轴为x =2,且过(3,0) ,则a +b +c =______。
5.某公司生产的A 种产品,它的成本是2元,售价为3元,年销售量为100万件,为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费
123是x(十万元) 时,产品的年销售量将是原销售量的y 倍,且y =-x +x +1,如果把利105
润看成是销售总额减去成本费和广告费。
(1)试写出年利润S(十万元) 与广告费x(十万元) 的函数关系式.
(2)如果投入广告费为10~30万元,问广告费在什么范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增次?
(3)在(2)中,投入的广告费为多少万元时,公司获得的年利润最大? 是多少?