由递推公式求通项公式典型例题素材
如何由递推公式求通项公式
高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一,是一类考查思维能力的题型,要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式,重点是递推的思想:从一般到特殊,从特殊到一般;化归转换思想,通过适当的变形,转化成等差数列或等比数列,达到化陌生为熟悉的目的。
下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳,以供参考。
类型一:a n +1-a n =f (n ) 或 a n +1=g (n ) a n
分析:利用迭加或迭乘方法。即:a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) +……+(a 2-a 1) +a 1 或a n =a n a n -1a 2……a 1 a n -1a n -2a 1
11, a n +1=a n +2,求数列{a n }的通项公式。 2n +n
(n +1) a n (2)已知数列{a n }满足a 1=1, s n =,求数列{a n }的通项公式。 2例1.(1) 已知数列{a n }满足a 1=
解:(1)由题知:a n +1-a n =1111==- 2n +n n (n +1) n n +1
∴a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) +……+(a2-a 1) +a 1 =(1111111-) +(-) +……+(-) +n -1n n -2n -1122 =
(2)31- 2n 2s n =(n +1) a n
∴2s n -1=na n -1(n ≥2)
两式相减得:2a n =(n +1) a n -na n -1(n ≥2) a n n =(n ≥2) a n -1n -1
a n a n -1a 2⋅……⋅a 1 ∴a n =a n -1a n -2a 1
n n -12⋅……⋅1 =n -1n -21
=n 即:
类型二:a n +1=pa n +q (其中p , q 为常数,pq (p -1) ≠0)
分析:把原递推公式转为:a n +1-t =p (a n -t ), 其中t=
数列求解。 q ,再利用换元法转化为等比1-p
例2. 已知数列{a n }中,a 1=1, a n +1=2a n +3,求{a n }的通项公式。 解:由a n +1=2a n +3 可转化为:
a n +1+3=2(a n +3)
令b n =a n +3, 则b 1=a1+3=4且b n+1=2bn
∴{b n }是以b 1=4为首项,公比为q=2的等比数列
∴bn =4⋅2
即 a n =2n -1=2n +1 -3 n +1
类型三:a n +1=pa n +f (n )(其中p 为常数)
分析:在此只研究两种较为简单的情况,即f (x ) 是多项式或指数幂的形式。
(1)f (x ) 是多项式时转为a n +1+A (n +1) +B =p (a n +An +B ) ,再利用换元法转为等比数列
n +1(2)f (x ) 是指数幂:a n +1=pa n +rq (pqr ≠0)
若p =q 时则转化为a n +1a n =n +r ,再利用换元法转化为等差数列 n +1q q
qr p -q n +1n 若p ≠q 时则转化为a n +1+tq =p (a n +tq ), 其中t =
例3. (1)设数列{a n }中,a 1=1, a n +1=3a n +2n +1,求{a n }的通项公式。
(2)设数列{a n }中,a 1=1, a n +1=3a n +2,求{a n }的通项公式。 n
解:(1)设a n +1+A (n +1) +B =3(a n +An +B )
∴a n +1=3a n +2An +2B -A
与原式比较系数得:⎨⎧2A =2⎧A =1 ⇒⎨⎩2B -A =1⎩B =1
即a n +1+(n +1) +1=3(a n +n +1)
令b n =a n +n +1, 则b n+1=3bn 且b 1=a1+1+1=3
∴{b n }是b 1=3为首项,公比q=3的等比数列
∴b n =3⋅3n -1=3n
即:a n =3-n -1n
(2)设a n +1+t 2n +1=3(a n +t 2n )
展开后得:a n +1=3a n +2
对比得:t =1 n
∴a n +1+2n +1=3(a n +2n )
令b n =a n +2n , 则b n +1=3b n , 且b 1=a 1+21=3
∴{b n }是b 1=3为首项,公比q=3的等比数列
∴b n =3⋅3n -1=3n
即:a n =3-2
r n n 类型四:a n +1=pa n (p >0, a n >0)
分析:这种类型一般是等式两边取对数后得:lg a n +1=r lg a n +lg p ,再采用类型二进行求解。
例4. 设数列{a n }中,a 1=1, a n +1=
解:由a n +1=12⋅a n (a >0) ,求{a n }的通项公式。 a 12⋅a n ,两边取对数得: a
1 lg a n +1=2lg a n +lg a
设lg a n +1+t =2(lga n +t ) 展开后与上式对比得:t =lg 1 a
11=2(lga n +lg ) a a
11 令b n =(lga n +lg ) ,则b n +1=b n , 且b1=lg a a
1 ∴{b n }是b 1=lg为首项,公比q=2的等比数列 a ∴原式可转化为lg a n+1+lg
∴bn =2n -1111⋅lg ,即lg a n +lg =2n -1⋅lg a a a
n -1 也即a n =a 1-2 类型五:a n +1=f (n ) a n g (n ) a n +h (n )
分析:这种类型一般是等式两边取倒数后再换元可转化为类型二。
a n -1,求{a n }的通项公式。 3a n -1+1
13a n -1+11==3+ 解:原式两边取倒数得: a n a n -1a n -1
1 设b n =, 则b n -b n-1=3,且b 1=1 a n
1 ∴{b n }是b 1=为首项,公差d=2的等差数列 3 例5. 已知数列{a n }满足:a 1=1, a n =
∴bn =1+(n -1) ⋅3=3n -2
即a n =1 3n -2