集列的上下极限定义的等价刻画及其应用
集列的上下极限定义的等价刻画及其应用
摘要：通过和数列极限的比较, 给出集列极限定义的两个等价刻画, 并列举出集列极限运算在几个重要定理及其证明中的应用
关键词：子集列；确界；集列上极限; 集列下极限
一、. 序列的上下极限
定义1：设{x n }为一数列，λ，μ∈R ，若 （i ）对∀
ε＞0，x n 终＜μ+ε，即就是对∀ε＞0，∃N ＞0，当n ＞N 时，恒有x n ＜
μ+ε；
（ii ）对∀＞μ-ε；
则称μ为序列{x n }的上极限，记作lim x n 。
n →∞
ε＞0，x n 常 ＜μ-ε，即就是对∀ε＞0，∀N ＞0，∃n ＞N 时，使得x n
相应地，我们也可以定义下极限，若 （i ）对∀
ε＞0，x n 终＜λ-ε，即就是对∀ε＞0，∃N ＞0，当n ＞N 时，恒有x n ＜
λ-ε；
（ii ）对∀＞λ+ε；
则称μ为序列{x n }的下极限，记作x n 。
n →∞
ε＞0，x n 常 ＜λ+ε，即就是对∀ε＞0，∀N ＞0，∃n ＞N 时，使得x n
注：当且仅当x n 上无界时，规定lim x n =+∞；当且仅当lim x n =+∞时，规定
n →∞
n →∞
lim x n =x n =+∞；当且仅当x n 下无界时，规定x n =-∞；当且仅当
n →∞
n →∞
n →∞
lim x n =-∞时，规定lim x n =x n =-∞。
n →∞
n →∞
n →∞
由定义1我们不难看出{x n }上极限μ的任意领域 (μ, ε) 中有{x n }的无穷多点,{x n }下极限λ的任意领域 (λ, ε) 中有{x n }的无穷多个点。
定义2：任一有界数列，存在收敛子列，任何的序列都有广义的收敛子序列（广义收敛， 意指极限可以无穷大） 设μ=lim x n ，则μ满足
n →∞
（i ）存在子序列{x n k }使得lim x n k =μ
k →∞
（ii ）对∀{x n k }⊂{x n }，若{x n k }收敛，则恒有lim x n k ≤μ
k →∞
同样，设λ=lim x n ，则λ满足
n →∞
（i ）存在子序列{x n k }使得lim x n k =λ
k →∞
（ii ）对∀{x n k }⊂{x n }，若{x n k }收敛，则恒有lim x n k ≥λ
k →∞
定义3：lim x n =limsup x k =inf sup x k
n →∞
n →∞k ≥n
n
k ≥n
x n =lim inf x k =supinf x k
n →∞
n →∞k ≥n
n
k ≥n
二、对集列上下极限作相应的等价刻画
1. 定义4：设{A n }是任一集列，其{A n }的上确界为lim A n ，下确界为lim A n ，则
n →∞
n →∞
lim A n ={x ︱存在无穷多个A n ，使得x ∈A n }
n →∞
={x ︱对∀N ，∃n ，当n >N 时，有x ∈A n }
A n ={x ︱当n 充分大以后就有x A n ∈}
n →∞
= {x ︱∃N ，当n >N 时，有x ∈A n } ={x ︱只有有限个n 使得x ∉A n } 2. 通过上下确界来刻画 （1）lim A n =limsup A n =
n →∞
n
A
n =1k =n ∞
∞
∞∞
k
（2）lim A n =lim inf A n =
n →∞
n
A
n =1k =n
k
⇒) 对∀x ∈limsup A n ，证明：（1）存在无穷多个n ，因此对∀m ，∍x ∈A n ，∃ i ≥1
n
∍ x ∈A m +i ，因而x ∈
A
i
i =m
∞
由m 的任意性有x ∈
∞
∞
A
n =1k =n
∞∞
k
∞
⇐) 对∀x ∈ A k ，则对∀m ，有x ∈ A i ，所以必存在i ≥m ，∍x ∈A i
n =1k =n
i =m
这说明存在无穷多个A n ，使得x ∈A n
因而x ∈x ∈limsup A n
n
（2）只有有限个n ，所以存在m ，使得对∀n >m ⇒) 对∀x ∈A n ，∍x ∉A n ，
n →∞
有x ∈
A n ，从而x ∈ A i
i =m ∞
∞
于是x ∈
A
i
m =1i =m ∞
∞
∞
∞
⇐) 对∀x ∈ A i ，∃m ，∍x ∈ A i ，即对∀n ≥m 有x ∈A n ，可见最
m =1i =m
i =m
多有m -1个n 使得x ∉A n 因而x ∈lim inf A n
n
3. 通过收敛子列刻画
(1)上极限：（i ）∃{A n k }⊂{A n }，若{A n k }收敛，lim A n k =lim A n
k →∞
n →∞
（ii ）对∀∃{A n k }⊂{A n }，若{A n k }收敛，则恒有lim A n k ⊂lim A n
k →∞
n →∞
(2)下极限：（i ）∃{A n k }⊂{A n }，若{A n k }收敛，lim A n k =A n
k →∞
n →∞
（ii ）对∀∃{A n k }⊂{A n }，若{A n k }收敛，则恒有lim A n k ⊃ A n
k →∞
n →∞
证明：(1) （i ）设 lim A n =A，则
n →∞
对∀x ∈A ，对∀N ，∃n >N ，使得x ∈A 任取N 1，∃n 1>N 1，使得x ∈A 任取N 2>n 1，∃n 2>N 2，使得x ∈A 任取N 3>n 2，∃n 3>N 3，使得x ∈A … …
任取N k >n k -1，∃n k >N k ，使得x ∈A … …
如此无穷次进行下去，可得到一集列{A n k } 下证 lim A n k = A
k →∞
首先，由{A n k } 的构造可知，A 是A n k 的上极限，即就是
lim A n k =A
k →∞
其次，对∀K ，∀k >K ，有x ∈A ，从而A 是 {A n k }的下极限，就
是lim A n k =A
k →∞
由lim A n k =lim A n k =A 有{A n k }收敛，并且lim A n k =A
k →∞
k →∞
k →∞
（ii ）设A n k → A 且{A n k }⊂{A n } {A n k }⊂{A n }
lim A n k = lim A n k ⊂lim A n
k →∞
k →∞n →∞
（2）设lim A n =A
n →∞
则对∀x ∈A ，∃N ，对∀n >N ，有x ∈A
取N 1>N ，对∀n >N 1，有x ∈A 取N 2>N 1，对∀n >N 2，有x ∈A 取N 3>N 2，对∀n >N 3，有x ∈A … …
取N k >N k -1，对∀n >N k ，有x ∈A … …
这样无穷次进行下去，可得到一集列{A n k } 下证: lim A n k =A
k →∞
首先，由{A n k } 的构造可知，A 是A n k 的下极限，即就是
A n k =A
k →∞
其次，对∀x ∈A ，对∀K ，有n k >n K ，使得x ∈A ，从而A 是 {A n k }的上极限，即就是lim A n k =A
k →∞
由lim A n k =lim A n k =A 有{A n k }收敛，并且lim A n k =A
k →∞
k →∞
k →∞
（ii ）设A n k →A ，且{A n k }⊂{A n }
设A n =B
n →∞
则对∀x ∈B ，∃N ，当n >N 时有x ∈A n ∃K ，当K >N 时有n k >n K >N 有x ∈A n k ，即x ∈lim A n k =A
k →∞
A n ⊂A n k =A ∴n →∞
k →∞
三、单调集列的极限
（1）对∀{A n }，若A n 单调递增，即A 1⊂A 2⊂ …⊂A n ⊂… 则lim A n =
n →∞
A
n =1
∞
n
（2）对∀{A n }，若A n 单调递减，即A 1⊃A 2⊃…⊃A n ⊃… 则lim A n =
n →∞
A
n =1
∞
n
∞
∞
∞
∞
∞
证明：（1）对∀n ≥1，
∞
A = A
k k =n
n =1∞
∞
n
。于是lim A n =
n →∞
A = A
k
n =1k =n
n =1
n
对上述n ，
A
k =n n →∞
k
=A n ，故A n =
n →∞
A = A
k
n =1k =n ∞
n =1
∞
n
从而，lim A n =lim A n =A n =
n →∞
n →∞
A
n =1
n
∞
∞
∞
（2）对∀n ≥1，
A
k =n
n
∞
k
=A n ，于是lim A n =
n →∞
A = A
k
n =1k =n
∞
n =1
n
对上述n ，
A
k =n
∞
k
=
A
n =1
∞
，故lim A n =
n →∞
A
n =1k =n n
∞∞
k
=
A
n =1
n
从而，lim A n =lim A n =A n =
n →∞
n →∞
n →∞
A
n =1
∞
四. 集列的极限运算在实变函数中的应用
例1：设{E n ︱n =1，2…}是一列可测集，而且有一个自然数k 0，使得
n =k 0
∑m (E )
n
∞
那么m (limE n ) =0
n →∞
证明：由于lim E n =
n →∞
E
k =1n =k
∞∞
n
，所以对∀k ∈N ，有lim E n ⊂
n →∞
+
E
n =k
∞
n
因此，由侧度的单调性和次可数可加性，得到
E n ≤) m ( m (l i m
n →∞
E ) ≤∑m (E ) （＊）
n
n
n =k
n =k
∞∞
又因为性有
n =k 0
∑m (E )
n
n
n =k
∞∞
m (limE n ) =0
n →∞
例2：叶果洛夫定理的证明
叶果洛夫定理：设m (E ) 0，存在可测集E δ⊂E ，使得m (E /E n )
第一，对任何自然数n 和k ，记
E n , k ={x ︱x ∈E ，︱f m (x ) -f (x ) ︱≤
1
，m ≥n } k
显然，有E 1, k ⊂E 2, k ⊂…⊂E n , k ⊂…。因此，lim E n , k =
n →∞
E
n =1
∞
n , k
，而且
m (limE n , k ) =lim m (E n , k ) （1）
n →∞
n →∞
容易知道，如果x ∈E ，且lim f n (x ) =f (x ) ，则对充分大的n ，必有x ∈E n , k ，从而
n →∞
x ∈lim E n , k 。也就是说，使得{f n (x ) }收敛的x 全体组成的集是lim E n , k 的子集。由假
n →∞
n →∞
设，{f n }在E 上几乎处处收敛于f ，所以
m (E /lim E n , k ) =0 （2）
n →∞
由（1），（2）即得
m (E ) =lim m (E n , k ) （3）
n →∞
第二，任取一列自然数n 1
F =
E
k =1
∞
n , k
（4）
{f n }在F 上必然一致收敛于f 。实际上，任给ε>0，取自然数K ，使得K >是，当n >n k 时，对x ∈F ⊂E n k , k 都有 ︱f n (x ) -f (x ) ︱≤
1
ε
。于
1
所以当给定了任意一个δ>0之后，如果能适当的选取{n k }，使得（4）式的F 满足m (E ＼F )
第三，因为m (E ) 0，可以取充分大的n k ，使得 m (E ) -m (E n k , k )
δ
2
k
不妨设这列{n k }是递增的，以这列{n k }按照（4）作F ，便有 m (E ＼F ) =m (
(E ＼E n k , k ) ) ≤∑m (E ＼E n k , k ) ≤∑
k =1
k =1
∞∞∞
δ
k
k =12
=δ
例3：黎斯（F. Riesz）定理的证明
黎斯（F. Riesz）定理:设可测函数列{f n }在E 上依测度收敛于f , 则存在子列{f n v }在E 上几乎处处收敛于f .
11δ=, , 则必有自然数n v , 使得当n ≥n v 时, 2v 2v
111
m (E (︱f n -f ︱>v )) v ) , 就有
222
1
m (E v )
2
证明:因为f n ⇒f , 取ε=
不防在逐个取n v 时把它取得充分大, 使得n 1
记F =E ＼lim E v . 根据集合的运算和E v 的定义可得
v →∞
F =E ＼lim E v =E ＼E v ) =E (∣f n v -f ∣≤
v →∞
v →∞
n →∞
1) . v 2
1
) ，2v
由下极限的定义，对任何x ∈F ，存在v 0，当v ≥v 0时，x ∈E (︱f n v -f ︱≤即
︱f n v (x ) -f (x ) ︱≤
1
，从而lim f n v (x ) =f (x ) 。这就是说，在集合F 上，{f n v }收v v →∞2
敛于f .
为了证明定理的结论, 只要证明lim E v 是零集就可以了. 由lim E v =
v →∞
v →∞
E
k =1v =k
∞∞
v
有, 对
∀k ∈N , lim E v ⊂ E v . 另一方面, 由E v 得取法
+
∞
v →∞
v =k
∑m (E v ) ≤∑
v =1
∞
1=1 v
v =12
∞
从而利用测度的单调性及次可加性得到 m (limE v ) ≤m (
v →∞
E ) ≤∑m (E ) →0,
v
v
v =k
v =k
∞∞
即有m (E \F ) =m (limE v ) =0. 因此,{ f n v }在E 上几乎处处收敛于f .
v →∞
例4:截面定理的证明
截面定理：设E ⊂R
p
p +q
是可测集，则
q
（i ）对R 中几乎所有的x ，E x 是R 中的可测集；
（ii ）m (E x ) 作为x 的函数，它在R 上几乎处处有定义，且是可测函数； （iii ）m (E ) =
p
⎰
R p
m (E x ) dx .
证明：因为无界可测集总可以表示为可列个互不相交的有界可测集的并，所以我们只要对有界可测集的情况加以证明。
以下设E 为有界可测集，证明分成六步. （a ）E 为区间的情况.
设E =∆p ⨯∆q , 其中∆p , ∆q 分别是R 及R 中的区间. 则
p
q
∆q , x ∈∆p
x ∉∆p
q
∅,
所以E x 是R 中的可测集. 又
m (∆q ) ,
x ∈∆p
0 ,
x ∉∆p
所以m (E x ) 是R 上的简单函数, 从而可测. 最后, 由区间测度的定义, 和(1)式得
p
m (E ) =m (∆p ⨯∆q ) =m (∆p ) m (∆q ) =(b) E 为有限区间的并的情况. 设E =
⎰
R p
m (E x ) dx
I , 其中I 为一组区间. 容易知道, 此时E 总可以表示为有限个互不相交的
i
n
i
i =1
区间的并. 设
I = I ', 其中I '为R
i
j
n m
p +q
j
中一组互不相交的区间. 有(a)可知E x 可测, 且
i =1j =1
m (
I ')=∑m (I ') =∑⎰
j
j
m m m
j =1j =1j =1
R p
m (I 'j ) x dx
=
m
⎰∑m (I ') dx =⎰
R p
j x
j =1
m
R p
m ( I 'j ) x dx (2)
j =1
m
注意到E =(
I ') 时, E
j j =1
x
=( I 'j ) x ,(2)即就是
j =1
m
m (E ) =
⎰
R p
m (E x ) dx .
(c) E 为开集的情况. 设E 为R
p +q
中的开集, 则E 必可表示为可列个开区间的并. 设E =
∞
I , 其中I 为R
i
∞
p +q
i
i =1
中的开区间. 于是, E x =(
I )
i =1n
i x
. 由(a)可知, (I i ) x 均可测. 故而E x 是可测集.
又由m (E x ) =lim m (
n →∞
n
I )
i =1
i x
,
由(b), m (
I ) 可测, 所以m (E ) 是可测函数. 而且
i
x
i =1
m (E ) =m (
I ) =lim m ( I )
i i =1
n →∞
i i =1
∞n
=lim
∞
p
n →∞R
⎰
m ( I i ) x dx =⎰p lim m ( I i ) x dx
i =1
R n →∞
i =1
∞∞
=
⎰
R p
m ( I i ) x dx =⎰p m (E x ) dx
i =1
R
(d) E 为G δ型集的情况. 设E =
G , 其中G 是R
i
∞
p +q
i
中的开集. 不妨设有G 1⊃G 2⊃…, 否则, 用{
i =1
G
j =1
i
j
}
代替{G i }讨论即可. 因为E x =
(G )
i
i =1
∞
x , 由(c)可知各个(G i ) x 可测, 所以E x 是R 中的可测集.
q
又因为E 为有界集, 故可设m (G 1) x
n →∞
由(c)可知, m (G n ) x 在R 中可测, 所以m (E x ) 可测. 最后, 利用(c)可得
m (E ) =lim m (G n ) =lim
n →∞
p
n →∞R
p
⎰
m (G n ) x dx
R p
=
⎰
R p n →∞
lim m (G n ) x dx =
⎰
m (E x ) dx
(e) E 是零集的情况.
p +q p +q
设E 是R 中测度为零的集合, 则总存在R 中的G δ型集G ⊃E , 使得
m (G ) =m (E ) =0. 又由(d), m (G ) =⎰p m (G x ) dx , 所以
R
m (G x ) =0a . e 成立于R 又由E x ⊂G x , 所以
m (E x ) =0a . e 成立于R 并且, m (E ) =
p
p
⎰
R p
m (E x ) dx
(f) E 是一般的有界可测集.
p +q
由E =G \N , 其中G 和N 分别是R 中的G δ型集和零集. 由于E x =G x \N x ,
由(d), G x 是R 中的可测集, 又由(e),对几乎所有的x , N x 是R 中的可测集. 因此, 对几乎所有的x ∈R , E x 是R 中的可测集. 由于在R 中几乎处处成立着 m (E ) =m (G ) = =
p
q
p
q q
⎰
R p
m (G x ) dx
⎰
R p
m (E x ) dx .
参考文献：
[1]严绍宗，竟裕孙编. 实变函数论与泛函分析[M].北京：经济科学出版社,1992
[2]裴礼文编. 数学分析中的典型例题与方法[M]. 北京：高等教育出版社,2006
[3]程其襄, 张奠宙，魏国强，胡善文，王漱石编. 北京：实变函数与泛函分析[M].高等
教育出版社,2009
[4]周民强编，实变函数[M]，北京：北京大学出版社，1985