八年级数学竞赛讲座二次根式的化简求值附答案
第八讲 二次根式的化简求值
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式，有理式和无理式统称代数式，整式和分式统称有理式．
有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点．这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形，有时需把待求式化简或变形，有时需把已知条件和待求式同时变形．
例题求解
【例l 】已知x +1
x =2，那么x x 2+3x +1-x
x 2+9x +1的值等于 ．
(河北省初中数学创新与知识应用竞赛题)
思路点拨 通过平方或分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用x +1的代数式表示． x
【例2】 满足等式x y +y x -2003x -y +2003xy =2003的正整数对(x，y) 的个数是( )
A．1 B．2 C． 3 D． 4
(全国初中数学联赛题)
思路点拨 对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解．
【例3】已知a 、b 是实数，且(+a 2+a )(+b 2+b ) =1，问a 、b 之间有怎样的关系? 请推导． (第20届俄罗斯数学奥林匹克竞赛题改编)
思路点拨 由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．
x 2+x -6x +3x -2+x 2-4x 【例4】 已知：x =a + (0
(四川省中考题)
思路点拨 视x -2, x 2-4x 为整体，把x =a +
0
【例5】 (1)设a 、b 、c 、d 为正实数，aad，有一个三角形的三边长分别为a 2+c 2b 2+d 2，(b -a ) 2+(d -c ) 2，求此三角形的面积； 1平方，移项用含a 代数式表示x -2, x 2-4x ，注意
( “五羊杯”竞赛题)
（2）已知a ，b 均为正数，且a+b=2，求U=a 2+4+b 2+1的最小值．
(北京市竞赛题)
思路点拨 (1)显然不能用面积公式求三角形面积(为什么?) ，a 2+c 2的几何意义是以a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决；(2)用代数的方法求U 的最小值较繁，运用对称分析，借助图形求U 的最小值．
学力训练
1．已知x =+2(x +y ) 2
3-2，y =-2
3+2，那么代数式xy + ． xy -(x +y ) 2值为2．若a +1
a =4(0
．
3．已知x +31x -3
x +2=3+2+1，则2x -4÷(5
x -2-x -2) 的值．
(2武汉市中考题)
4．已知a 是4-3的小数部分，那么代数式(a 2+a -2a
a 2+4a +4+a 2+2a ) ⋅(a -4
a ) 的值为 ．
(黄石市中考题)
5．若x =3+1，则x 3-(2+3) x 2+(1+23) x -3+5的值是( )
A．2 B．4 C．6 D．8 (河南省竞赛题)
6．已知实数a 满足2000-a +a -2001=a ，那么a -20002的值是( )
A．1999 B．2000 C ．2001 D．2002
7．设a =+，a =+ ,c =2，则a 、b 、c 之间的大小关系是( )
A．a8．设x =1a -a ，则4x +x 2的值为( )
A．a -111
a B．a -a C．a +a D ．不能确定
9．若a>0，b>0， 且a (a +b ) =3(a +5) ，求2a +3b +ab
a -b +的值．
10．已知-(x -1) 2=x ，化简x 2+1
4-x +x 2+1
4+x ．
11．已知x =1+3，那么1
x +2+11
x 2-4-x -2= ．
( “信利杯”全国初中数学竞赛题)