第六节 边际与弹性

第六节 边际与弹性

教学目的：掌握边际函数、弹性函数定义。

教学重点：经济学中常见边际函数及弹性函数。

教学难点：需求弹性的计算

教学内容：

一、边际概念

在经济学中，边际概念通常指经济问题的变化率，称函数f (x )的导数f '(x )为函数f (x )的边际函数．

在点x 0处，当x 改变∆x 时，相应的函数y =f (x )的改变量为∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) ．当∆x =1个单位时，∆y =f (x 0+1) -f (x 0) ，如果单位很小，则有 ∆y =f (x 0+1) -f (x 0) ≈dy x =x 0dx =1=f '(x 0) ．

这说明函数f '(x 0) 近似地等于在x 0处x 增加一个单位时，函数f (x ) 的增量∆y ．当x 有一个单位改变时，函数f (x ) 近似改变了f '(x 0) ．

二、经济学中常见边际函数

1．边际成本

总成本函数C (x ) 的导数C '(x ) 称为边际成本函数，简称边际成本．

边际成本的经济意义是，在一定产量x 的基础上，再增加生产一个单位产品时总成本增加的近似值．

在应用问题中解释边际函数值的具体意义时，常略去“近似”二字．

例1： 已知生产某产品x 件的总成本为C(x ) =9000+40x +0. 001x 2(元) ，

(1)求边际成本C '(x ) ，并对C '(1000) 的经济意义进行解释．

(2)产量为多少件时，平均成本最小？

解： (1)边际成本C '(x ) =40+0. 002x ．

C '(1000)=40+0.002⨯1000=42．

它表示当产量为1000件时，再生产1件产品则增加42元的成本；

(2)平均成本

(x ) =

C 9000=+40+0. 001x ， x x

1

9000+0. 001， x 2

18000>0，故当产量为3000件时平均令'(x ) =0，得 x = 3000(件) ．由于C ''(3000)=33000'(x ) =-

成本最小．

2．边际收入

总收入函数R (x ) 的导数R '(x ) 称为边际收入函数，简称边际收入．

边际收入的经济意义是，销售量为x 的基础上再多售出一个单位产品所增加的收入的近似值．

例2：设产品的需求函数为x =100-5p ，其中p 为价格，x 为需求量．求边际收入函数，及x =20, 50, 70时的边际收入，并解释所得结果的经济意义．

解： 根据x =100-5p 得p =100-x 5

100-x 1⋅x =(100x -x 2) 总收入函数R (x ) =px =55

1边际收入函数为R '(x ) =(100-2x ) 5

R '(20) =12，R '(50) =0，R '(70) =-8

即销售量为20个单位时，再多销售一个单位产品，总收入增加12个单位；当销售量为50个单位时，扩大销售，收入不会增加；当销售量为70个单位时，再多销售一个单位产品，总收入将减少8个单位．

3．边际利润

总利润函数L (x ) 的导数L '(x ) 称为边际利润函数，简称边际利润．

边际利润的经济意义是，在销售量为x 的基础上，再多销售一个单位产品所增加的利润． 由于L (x ) =R (x ) -C (x ) ，所以L '(x )=R '(x )-C '(x )．即边际利润等于边际收入与边际成本之差．

例3：某加工厂生产某种产品的总成本函数和总收入函数分别为

C (x ) =100+2x +0. 02x 2（元）与R (x ) =7x +0. 01x 2（元）

求边际利润函数及当日产量分别是200千克、250千克和300千克时的边际利润，并说明其经济意义．

解： 总利润函数L (x ) =R (x ) -C (x ) =-0. 01x +5x -100

边际利润函数为L '(x ) =-0. 02x +5

日产量为200千克、250千克和300千克时的边际利润分别是 2

L '(200) =1（元），L '(250) =0（元），L '(300) =-1（元）

2

其经济意义是，在日产量为200千克的基础上，再增加1千克产量，利润可增加1元；在日产量为250千克的基础上，再增加1千克产量，利润无增加；在日产量为300千克的基础上，再增加1千克产量，将亏损1元．

二、弹性概念

弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的灵敏程度．

例如，设有A 和B 两种商品，其单价分别为10元和100元．同时提价1元，显然改变量相同，但提价的百分数大不相同，分别为10%和1%．前者是后者的10倍，因此有必要研究函数的相对改变量以及相对变化率，这在经济学中称为弹性．它定量地反映了一个经济量(自变量) 变动时，另一个经济量(因变量) 随之变动的灵敏程度，即自变量变动百分之一时，因变量变动的百分数．

定义：设函数y =f (x ) 在点x 处可导．则函数的相对改变量

之比，当∆x →0时的极限： lim

的弹性，记作∆x ∆y 与自变量的相对改变量x y ∆y y x x =y '=f '(x ) 称为函数y =f (x ) 在点x 处∆x →0∆x x y f (x ) Ey Ef (x ) 或，即 Ex Ex

Ey x =f '(x ) ． Ex f (x )

∆x ∆y Ey =1%时，≈%．可见，函数y =f (x ) 的弹性具有下述意义：由定义知，当x y Ex

Ey 函数y =f (x ) 在点x 0处的弹性表示在点x 0处当x 改变1%时，函数y =f (x ) 在Ex x =x 0

f (x 0) 的水平上近似改变Ey %． Ex x =x 0

四、经济学中常见的弹性函数

1. 需求价格弹性

设某商品的需求量为Q ，价格为p ，需求函数Q =Q (p ) ，则该商品需求对价格的弹性（简称需求价格弹性）为：E d =p dQ ．

Q dp

3

设某商品的供给量为W ，价格为p ，供給函数W =W (p ) ，则该商品供給对价格的弹性（简称供給价格弹性）为：E s =

3．需求弹性与总收益的关系

总收益R =pQ (p ) ， p dW W dp

所以R '=Q (p ) +pQ '(p ) =Q (p )[1+Q '(p ) ⋅p ]=Q (p )[1-η]

Q (p )

，求（1）当P =3时的需求弹性； 2

(2)在P =3时，若价格上涨1%，其总收益是增加，还是减少？它将变化多少？

EQ P P P ⎛1⎫=Q '= -⎪⋅=解： (1)． P EP Q 2P -20⎝⎭10-2

当P =3时的需求弹性为

EQ 3≈-0. 18． =-P =3EP 17

P 2

(2)总收益R =PQ =10P -，总收益的价格弹性函数为 2

ER dR P P 2(10-P ) =⋅=(10-P ) ⋅=， 2P EP dP R 20-P 10P -2

在P =3时，总收益的价格弹性为

ER 2(10-P ) =≈0.82． EP P =320-P P =3

故在P =3时，若价格上涨1%，需求仅减少0. 180， 总收益将增加， 总收益约增加0. 82%． 例4：:某商品需求函数为Q =10-

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