初中函数知识点总结
(一)函数
1、判断Y 是否为X 的函数,只要看X 取值确定的时候,Y 是否有唯一确定的
值与之对应
2、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义
域。
3、求函数定义域的方法:
(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;
(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;
(3)关系式含有偶次根式时,被开方数大于等于零;
(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;(即零次幂底数不等于
零);
(5)关系式中含有对数式时,对数的底数不等于零且不等于1,对数的真数
大于零;
(6)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。
反比例函数知识点总结 反比例函数的定义 一般地,形如y =k (k 为常数,k ≠0)的函数称为反比例函数, x
反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第
二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量x ≠0,函数值
y ≠0,所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但
永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。
作反比例函数的图像时应注意以下几点:①列表时选取的数值宜对称选取;②列表时选
取的数值越多,图像越精确;③连线时,必须用光滑的曲线连接,切忌画成折线;④画图像
时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。
知识点3反比例函数的性质
关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况,如下表:
☆反比例函数y =k
x (k ≠0)中比例系数k 的绝对值k 的几何意义。
如图所示,过双曲线上任一点P (x ,y )分别作x 轴、y 轴的垂线,E 、F 分别为垂足, 则k =xy =x ⋅y =PF ⋅PE =S 矩形O EPF
☆ 反比例函数y =k k (k ≠0)中,k 越大,双曲线y =越远离坐标原点; x x
k k 越小,双曲线y =越靠近坐标原点。 x
☆ 双曲线是中心对称图形,对称中心是坐标原点;双曲线又是轴对称图形,对称轴是直线
y=x和直线y=-x 。
二次函数
1. 定义:一般地,如果y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数,a ≠0) ,那么y 叫做x 的二
次函数.
2. 二次函数y =ax 2的性质
(1)抛物线y =ax 2的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴.
(2)函数y =ax 2的图像与a 的符号关系.
①当a >0时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点;
②当a
(3)顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y =ax 2(a ≠0).
3. 抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. (抛物线y =ax 2+bx +c 中,a , b , c
的作用)
(1)a 的符号决定抛物线的开口方向:当a >0时,开口向上;当a
向下;
(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴
是直线
b b ,故:①b =0时,对称轴为y 轴;②>0(即a 、b 同号)时,2a a
b 对称轴在y 轴左侧;③
(3)c 的大小决定抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴交点的位置.
当x =0时,y =c ,∴抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴有且只有一个交点(0,: c )
①c =0,抛物线经过原点; ②c >0, 与y 轴交于正半轴;③c
交于负半轴.
4. 求抛物线的顶点、对称轴的方法:(公式法)
b 4ac -b 2b ⎫4ac -b 2⎛(-),∴顶点是,对称轴y =ax +bx +c =a x +⎪+2a 4a 2a ⎭4a ⎝22
是直线x =-b . 2a
5. 用待定系数法求二次函数的解析式(求二次函数的解析式时,要根据条件选择
不同的形式)
(1)一般式:y =ax 2+bx +c . 已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一
般式.
(2)顶点式:y =a (x -h )+k . 已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. 2
(3)交点式:已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2,通常选用交点式:
y =a (x -x 1)(x -x 2).
6. 二次函数的图像和性质
二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0) 的图像是一条抛物线,
对称轴的方程为 ,顶点坐标是( ) 。
(1)当a >0时,抛物线的开口 ,函数在 上递减,在 b 上递增,当x =-时,函数有最值为2a
(2)当a
注意:讨论二次函数的区间最值问题:①注意对称轴与区间的相对位置;②函
数在此区间上的单调性;
7. 抛物线与x 轴的交点
二次函数y =ax 2+bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2,是对应
一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情况可以由对
应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点⇔∆>0⇔抛物线与x 轴相交;
②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔∆=0⇔抛物线与x 轴相切;
③没有交点⇔∆
讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;②区间端
点的函数值的符号;③对称轴与区间的相对位置.
典型习题
1、函数f(x)=x2-2x+2的单调增区间是( )
(A )[1,+∞) , (B )(-∞,-1) (C)[-1,+∞) , (D)以上都不对
2、已知一个二次函数的顶点的坐标为(0,4),且过点(1,5),这个二次函数
的解析式为
3、二次函数y=x2-5x+6的零点是
4、已知方程x 2+2px+1=0有一个根大于1,有一个根小于1,则P 的取值
为 。
5、已知二次函数图像经过点(-1,0),(1,0),(2,3)三点,求解析式
6、设二次函数y=f(x)的最大值为13,且f(3)= f(-1)=5,则
7、已知二次函数f (x ) =x 2-4ax +2a +6(x ∈R ) 的值域为[0, ∞) , 则实数a
8、函数f (x )=2x 2-mx +3,当x ∈(-∝, -1]时,是减函数,则实数m 的取值范
围是 。
9、若函数f(x)=(x+a)(bx+2a) (常数a 、b ∈R ) 是偶函数,且他的值域为(-∞,4],
则f(x)=
10、函数f (x ) =4x 2-mx +5在区间[-2, +∞) 上是增函数,则f (1) 的取值范围是
11、函数f(x)=2x2-mx+3, 当x ∈[-2,+∞) 时是增函数,当x ∈(-∞,-2]时是减
函数,f(1)=
12、若函数f(x)=x2+(m-2)x+5的两个相异零点都大于0,则m 的取值范围是
13、若关于x 的方程ax 2+2x +1=0至少有一个负根,则a 的值为
14、已知关于x 的二次方程x 2+2mx+2m+1=0
(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m 的范围。(2)若方程两根均在(0,1)内,求m 的范围。
15、已知关于x 的方程mx 2+(m-3)x+1=0 ①若存在正根,求实数m 的取值范围 ②2个正根m 的取值范围 ③一正一负根m 的取值范围 ④2个负根的m 的取值范围