浅谈悬链线

【摘要】神奇的數e出現了，就寫在蜘蛛絲上面。在薄霧的清晨，讓我們觀察昨夜織成的蜘蛛網，具黏性的絲，負載著小水珠的重量，彎曲成一條條的懸鏈線，水珠沿著曲線排成美麗的項鍊。當晨曦穿透霧氣，照射在蜘蛛網上，閃耀著彩虹色的亮光，就像一盤奪目的珍珠，榮耀歸功於e。──法布爾

法布爾（Fabre,1823~1915）是法國著名的昆蟲學家，他說：「在昆蟲的世界裡，可以激發我所有的思想與靈感。」這份「熱情」（passions）推動著他研究昆蟲的生活與行為，並且寫出《昆蟲記》之不朽名著，因而被後人尊稱為「昆蟲詩人」或「昆蟲學界的荷馬（Homer）」。

他觀察到的蜘蛛網項鍊（圖一），就是上述那段話的由來。

問題的提出

固定項鍊的兩端，在重力場中讓它自然垂下（圖二），問項鍊的曲線方程式是什麼？

這就是著名的「懸鏈線問題」(the hanging chain problem)。在1690年由賈可比‧貝努利（Jakob Bernoulli, 1654～1705）公開提出來，向數學界挑戰，徵求答案。在微積分初創時期，它正好可用來考驗微積分的威力。這是一段有趣而又極具啟發性的歷史，值得我們重溫一遍，細細品味。

在大自然中，除了懸垂的項鍊與蜘蛛網的水珠項鍊外，我們還可以觀察到吊橋上方的懸垂鋼索（圖三），以及兩根電線桿之間所架設的電線（圖四），這些都是懸鏈線（catenary）。

由大自然引導出來的數學，讓我們覺得「有土、有根」，並且沾染、散發著「就在身邊的親切感」。

亞里斯多德與伽利略的錯誤

大家都看過海豚躍水的表演（圖五），以及石頭（或砲彈）飛過天際的現象，並且知道它們的軌跡都是拋物線（parabola），這是超乎歐氏幾何的曲線。基本上，歐氏幾何只研究由直線與圓所交織出來的圖形世界。

亞里斯多德的錯誤

然而古希臘偉大哲學家（百科全書般的人物）亞里斯多德（Aristotle,384～322 B.C.），他卻認為石頭飛過天空的軌道應如圖六所示，因為根據他的「有機目的觀」的物理學與哲學，地面上的「自然運動」（natural motion）是直線，所以石頭飛出去是直線，掉下來也是直線並且垂直地面。

這個錯誤兩千年後才由伽利略（Galileo, 1564～1643）加以修正，並且得到軌跡的正確方程式為二次函數 y=ax2+bx+c，這不必用到微積分就可以求出來。事實上，伽利略不懂微積分，那時微積分還未真正誕生。

伽利略的錯誤

伽利略比貝努利更早注意到懸鏈線，但是「螳螂捕蟬，黃雀在後」，他也犯了錯誤：他猜測懸鏈線為拋物線。從外表看起來（圖二），懸鏈線的確很像拋物線，然而實際上並不是！惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（當時17歲），經由物理的論證，得知伽利略的猜測不對，但正確的答案這個時候他也求不出來。這是大自然的一個深刻秘密，只有微積分可以揭開它。

兩點啟示

首先是，檢驗錯誤易，建立真理難，即「理未易明，善未易察」。其次是，偉大的人物可能犯偉大的錯誤。因此，我們要時時警覺到費因曼（Feynman, 1918～

1988）所說的「科學就是懷疑專家會有錯誤」，更進一步要如笛卡兒 （Descartes, 1596～1650）之持「系統地、方法地懷疑」的態度。

科學哲學

這些啟示正好就是，在現代科學哲學中，波柏（K. Popper, 1902～1995）所提倡的「否證論」（Falsification theory）之出發點。否證論的要旨是：無論我們觀察了多少隻的白色天鵝，都沒有證明「凡是天鵝都是白色的」這個「理論」，但只要出現一隻黑天鵝，就否證了該理論。換言之，我們雖然無法證明一個科學理論是對的，但是我們可以透過批判討論（critical discussions）找出理論的錯誤所在，逼使胡說八道現原形，甚至否證、推翻它，將科學理論不斷地推陳出新。科學的進展是，成功踏著錯誤前進。

在這個觀點之下，科學方法就是「嘗試改誤」（trial and error），從錯誤中學習。特別地，前人的錯誤經驗，對後人更具有啟發性與教育價值。可惜，這幾乎都被我們的教育忽略了，而只講授成功的典範。

微積分馴服懸鏈線

伽利略的錯誤與惠更斯的無能為力，真正的理由是缺乏微積分工具，要馴服懸鏈線就必須用到微積分！

我們知道，微積分經過兩千年的醞釀，到了十七世紀後半葉，才由牛頓（Newton, 1642～1727）與萊布尼慈（Leibniz, 1646～1716）兩人獨立地發明。牛頓在1660年代發明，但直到1711年才發表；萊布尼慈在1670年代發明，在1684年就發表，比牛頓還早公諸於世。

微積分基本上是要探求曲線的切線與曲線所圍成的面積這兩個問題。它們的解決都必須經過「無窮步驟」，才能得到答案，落實於取極限或無窮小的演算。換句話說，微積分是道道地地的「無窮之學」（the science of infinity），這是微積分之所以深刻、困難與迷人的理由。

牛頓與萊布尼慈的微積分，最主要的內涵是：建立微分法的系統演算規則並且看出微分與積分的互逆性。

微分法的正向演算（即由f(x)求出f'(x)），解決了求切線、求極值、求速度、加速度以及一切變化率的問題。

微分法的反向演算（即由f'(x)求出f(x)），解決了兩千年的求積分之難題以及運動現象的里程問題等等。

更要緊的是，面對大自然變化萬千的現象，利用「物之理」與微分法，我們可以將一條未知曲線（或一個未知函數），網在一個微分方程式之中，再利用「積分法」（即反微分法），解開網子，求得未知曲線（或未知函數）。這和我們在中學時代，利用代數方程式網住未知數x，再求解方程式的手法完全一樣。 微分法是人類苦練兩千餘年才得到的寶劍，削金斬鐵，銳利無比。當賈可比‧貝努利在1690年提出「懸鏈線問題」後，隔年（1691年）萊布尼慈、惠更斯（當時他已62歲）與約翰‧貝努利（Johann Bernoulli, 1667～1748，賈可比‧貝努利之弟）都利用這一把利器，求得正確的答案：

【】 （1）

其中e為神奇的數

【】

這就是法布爾所說的「榮耀歸功於e」之由來。

此地我們用了較後來才出現的現代數學術語與記號來表達，下面我們也要按此要領，先建立懸鏈線所滿足的微分方程，然後再求解之。

數學模型

考慮如圖七呈平衡靜止的懸鏈線。假設它的密度與粗細都是均勻的，令y軸通過它的最低點P0，並且s表示從P0到變動點P（x,y）的弧長，ｗ0表線密度（即單位長度的重量）。再令P0點與P點的張力分別為T0與T，它們都切於懸鏈線。作用於弧段s之力，除了T0與T之外，還有向下的ｗs，這是弧段的重量。 0

因為弧段s是靜止的，故作用力是平衡的，即x軸與y軸方向的合力都是0。因此

Tcosθ=T0，Tsinθ=ｗs （3）後式除以前式得到 0

tanθ=ｗs／T0（4）因為 dy／dx=tanθ，並且令αｗ=/T，所以 00

dy／dx=as（5）為了消去s，上式對x作微分，並利用曲線弧長公式，我們得到

【】 （6）

這是一個二階微分方程，我們還有兩個天然的初期條件

y(0)=y0, y'(0)=0（7）

上述（6）與（7）兩式就是懸鏈線y＝f(x)這個未知函數所滿足的方程式。 求解微分方程

我們求解（6）與（7）兩式。令P=dy／dx，則（6）式變成

【】 （8）分離變數後再積分，得到

【】為了求算左項之積分，作三角代換p＝tanψ，則dp=secψdψ且【】。於是

【】從而

【】由y'(0)＝0知，當x＝0時，p＝0，故c1=0。因此

【】

將p移至右邊，平方，化簡，得到

dy／dx=p=1/2(e－e)

作積分，得到

y=1/(2a)(eax+e-ax)+c2

為了簡潔起見，我們調整坐標系，使得y(0)＝y0＝1/α，於是c2＝0，從而 y=1/(2a)(eax+e-ax) （9）

這就是懸鏈線的方程式，它是一個超越函數（transcendental function），而拋物線y＝ax2+bx+c只是一個代數函數（algebraic function），兩者的難易度、深淺度相差非常大（參見圖八）。

今日我們定義函數

coshx=1/2(ex+e-x)

sinhx=1/2(e－e)分別稱為雙曲餘弦函數與雙曲正弦函數。因此，（9）式可以改寫成

y=1/a cosh(ax) （10） x-xax-ax2

數學發現的狂喜

微積分發明後，在歐陸瑞士的貝努利家族，因為勤於跟德國的萊布尼慈通信，所以是第一批學會微積分的人。利用微積分工具，約翰解決了懸鏈線問題，反倒是提問題的哥哥賈可比沒有解出來。為此，約翰嘗到發現的狂喜，即使是經過27年後，勝利的甜蜜滋味仍舊躍然紙上。

事情是這樣的：因為約翰一直對外宣稱是他而不是賈可比求得答案，有一位同事提出質疑，所以約翰寫信說明這件事。他在1718年（此時賈可比已過世十三年）寫道：

你說我的哥哥賈可比提出（懸鏈線）問題，這是對的，但這並不意謂著他也求得答案，不是嗎？事實上，他根本沒有算出答案。當他在我的建議下，提出這個問題時（我是第一個想到此問題的人），我們兩人都不會求解。對於求解不出這件事，我們同感苦惱、絕望。直到萊布尼慈先生在1690年經由《萊比錫》（Leipzig）雜誌p.360，透露消息說，他已求得答案，但暫時不公布，預留時間給其他分析學家，也有發現的機會。這鼓舞了我們兄弟兩人，重新思考這個難題。

我哥哥的努力並沒有成功，而我比較幸運，因為我找到了求解此問題的技巧（這樣說並不是「老王賣瓜」，我何必隱藏或歪曲真相呢？）…第二天早晨，我的內心充滿著狂喜，急忙去找哥哥，發現他仍然在跟他的「戈登結」（Gordian knot)苦鬥，沒有勝利的跡象，因為他總是和伽利略犯同樣的錯誤，把懸鏈線想成是拋物線。我對他說：停！停！不要再折磨自己，不要嘗試去證明懸鏈線就是拋物線，因為這根本是錯誤的。

懸鏈線問題的解決，有苦有樂，並且標誌著新發明的微積分之偉大勝利，它比美於五年後在1696年約翰所提出著名的「最速下降線問題」（the

brachistochrone problem），這是另一個美麗的數學發現故事（以後有機會再

介紹）。關於數學的苦樂，現代法國布爾巴基（Bourbaki）學派的數學家魏爾（A. Weil）說得更明白，他說：

每位真正的數學家都曾經歷過一種清澄的狂喜，陣陣歡欣的情緒一波接著另一波，像奇蹟般地產生…，這種感覺可能延續幾小時，甚至幾天。一經體驗過這種飛揚的純喜，你就會熱切期待再次得到，但這無法隨心所欲，除非也許是你必須透過頑強的、辛苦的工作。

大自然按最小原理行事

貝努利兄弟對懸鏈線的求解，賈可比略居下風。然而，在1691年賈可比證明了：懸掛於兩個固定點之間的同一條項鍊，在所有可能的形狀中，要以懸鏈線的重心最低，並且因而具有最小位能。這件事使得賈可比扳回一局，兩兄弟扯平了。 這個發現深具意義，因為它首度啟示我們一個深刻的觀點：在某種神秘運作下，大自然的實際結構是按著最小位能的原理來佈局。

賈可比的證法已經查不到，不過，我們現在可以利用變分法（calculus of variation）加以證明。

如圖九，考慮通過A、B兩點的各種等長曲線。令曲線y＝f(x)的長度為L，重心坐標為（x，y），則

【瀏覽件原】

並且由重心的公式知

【】 （11）

【】 （12）

因為我們只是要探討各曲線重心的高低，所以只要注意y的公式就好了。為此，考慮泛函（functional）

【】 （13）其中

【瀏覽件原】 （14）J將每一條曲線 y＝f(x)都指定一個實數J(y)，故叫做泛函。 由變分法知，若曲線y＝f(x)使J取到最小值，則y＝f(x)滿足Euler-Lagrange方程式

【瀏覽件原】 （15）代入（14），化簡得到

y‧y''－(y')2－1=0 （16）

為了求解此方程，令p＝dy/dx，則

【】於是（16）式變成

【】 （17）分離變數，再作積分，得到

【】於是

y2=k(1+p2)，k＞0 （18）

以p＝dy/dx代入，分離變數，再作積分，得到

【】 （19）變數代換，令 y=1/√k coshu，則dy=1/√k sinhu，代入（19）式得 cosh(√ky)=√k(x+c)

於是

y=1/√k cosh[√k(x+c)] （20）

其中的常數k與c可由兩個邊界條件 -1

y＝(a)＝α，y(b)＝β(21)來確定。（20）式為懸鏈線。因此，我們的結論是：在所有可能的曲線中，懸鏈線的重心最低。

懸鏈線還具有另一個美妙的性質，即它的旋轉體之表面積最小，這也可以利用變分法加以證明。詳言之，在坐標平面上，通過兩點（x1,y1）與（x2,y2）的所有可能曲線，繞x軸旋轉得到旋轉體，那麼以懸鏈線所產生的旋轉體，其表面積為最小（圖十）。

雙曲函數與圓函數的類推

雙曲函數（hyperbolic functions）最早出現於懸鏈線的研究之中，例如我們已看過雙曲餘弦函數

y=coshx=1/2(ex+e-x)

為什麼要取名「雙曲」呢？它跟雙曲線有關係嗎？答案是肯定的。

最早注意到雙曲函數及其跟圓函數（即三角函數）的類推關係的人是義大利數學家芮卡蒂（V.Riccati,1707～1775），他在1757年引入記號

coshx＝1/2(ex+e-x)

sinhx＝1/2(ex－e-x)這兩個函數的圖形如圖十一。

任何定義在以原點為中心的函數y＝f(x)都可以表成偶函數與奇函數之和： f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)－f(-x)]

特別地，指數函數y=e可以表成雙曲正弦函數與雙曲餘弦函數之和： ex=1/2(ex+e-x)+1/2(ex－e-x)=coshx+sinhx

芮卡蒂進一步發現cosh2x－sinh2x=1，這類似於三角恆等式cos2x+sin2x=1。後者與圓x2+y2=1有關，而前者與雙曲線x2－y2=1有關。 x

兩者之間的詳細類推情形，由德國數學家藍柏特（Lambert,1728～1777）作了全面的研究，並且在1770年發表。

首先我們看圓與三角函數的關係，這是大家都很熟悉的內容。在圖十二中，我們有下列關係式，這是三角函數，又叫做圓函數（circular functions）的理由。 PM＝sinθ，OM＝cosθ

AB＝tanθ，PC＝cotθ

OB＝secθ，OC＝cscθ

在圖十二中，θ代表角度，但是這無法類推到雙曲線的情形，因為在圖十三中，顯然θ不代表∠POA，而是代表陰影領域面積之兩倍：

【】

先計算

【】【】

所以

陰影領域的面積＝θ/2 （22）

另一方面，在圖十四中，顯然θ/2代表扇形領域的面積。因此，將θ解釋成面積才能抓到圓函數與雙曲函數的共通本質。這是在1757年由芮卡蒂所證明的結果。

進一步，其他四個含曲函數仿三角函數的辦法定義如下：

tanhx＝sinhx/coshx=(e－e)/(e+e)

cothx＝coshx/sinhx=(ex+e-x)/(ex－e-x)

sechx＝1/coshx=2/(ex+e-x) x-xx-x

cschx＝1/sinhx=2/(ex－e-x)

它們分別稱為雙曲正切函數、雙曲餘切函數、雙曲正割函數與雙曲餘割函數。 每一個三角函數的恆等式、微分公式與積分公式，都可類推到雙曲函數，不過，可能會有正負號上的微小差異。另外，我們也可仿照反三角函數，談論反雙曲函數以及兩者之間的平行類推關係。

我們要強調，請注意在類推過程中的「同中之異」與「異中之同」，以求達到「知所異同，方窺全貌」。

下面列出一些對照公式：

（i）畢氏關係式

cos2x+sin2x=1，

cosh2x－sinh2x=1

（ii）奇偶關係

cos(-x)＝cosx，

cosh(-x)＝coshx

sin(-x)＝-sinx，

sinh(-x)＝-sinhx

（iii）和角公式

cos(x+y)＝cosx cosy-sinx siny，

cosh(x+y)＝coshx coshy+sinhx sinhy

sin(x+y)＝sinx cosy+cosx siny，

sinh(x+y)＝sinhx coshy+coshx sinhy

（iv）積分公式

Dcosx＝-sinx，Dcoshx＝sinhx

Dsinx＝cosx，Dsinhx＝coshx

（v）積分公式

【】，

【】

（vi）週期性*

cos(x+2π)＝cosx

sin(x+2π)＝sinx

*雙曲函數沒有實值週期

既然圓函數與雙曲函數具有這麼多的平行類推關係，它們的重要性與地位似應相同。然而，事實並非如此。最主要的理由是，圓為封閉曲線，周而復始，導致圓函數為週期函數，適合於研究週期現象，發展出傅立葉（Fourier）分析。相對地，雙曲函數就缺乏這種特性。不過，從懸鏈線、反演幾何（Inversive

geometry）、非歐幾何（雙曲幾何），到廣義相對論，都有雙曲函數的應用蹤跡。 結語

本文由法布爾對蜘蛛網水珠項鍊的讚美切入，引出懸鏈線問題的探尋。從伽利略的錯誤，直到微積分出現後，萊布尼慈、惠更斯、貝努利兄弟才真正把問題解決。

接著，芮卡蒂與藍柏特以懸鏈線作為一個胚芽，並且平行類推於圓函數，進一步展開雙曲函數的研究。

圖十五是位於美國聖路易的拱形大門（the Gateway Arch），它是按懸鏈線來設計的，在1965年建造完成。它的方程式如下：

y＝693.8597－68.7672cosh（0.0100333x）

－299.2239≦x≦299.2239

其中x,y的單位為呎。這是結合數學、藝術與工程技術，三合一的作品，橫跨密西西比河的兩岸。

我們順便也可以利用懸鏈線的拱門圖形來表達微積分最基本的架構：一個概念、兩個定義與一個定理（圖十六）。地基是極限概念；拱門的兩個腳是兩個定義，即微分與積分；最高點會合處是一個定理，即微積分根本定理，包括微分與積分的互逆性以及Newton-Leibniz公式。

從歷史的長河來看，西方文明發源於古希臘，經過大約兩千年的發展，到了十七世紀，在西歐才結合古希臘的「邏輯演繹」與文藝復興的「實證精神」，完成偉大的「科學革命」，最主要的成果是微積分、牛頓力學與萬有引力定律的創立。接著是十八世紀法國的「啟蒙運動」（the Enlightenment），導致民智大開，各支學問蓬勃發展，產生政治革命（1776年美國獨立革命，1789年法國大革命），以及十八至十九世紀的工業革命，逐步開展出現代的人類文明。在這個過程中，無可置疑地，微積分扮演著關鍵性的角色。「看似尋常，最奇絕；成如容易，卻艱辛。」

蔡聰明任教於台灣大學數學系

參考資料

1. 法布爾，《昆蟲記》共八冊，奧本大三郎改編，台北東方出版社，1993。

2. Maor, E., e the story of a Number, Princeton University press, New Jersey, 1994.

3. Marks, J., Science and the Making of the Modern World, Heinemann, London, 1983.

4. Simmons, G.F., Calculus with Analytic Geometry, McGraw-Hill, 1996.

5. Simmons, G.F., Calculus Gems, Brief Lives and Memorable Mathematics, McGraw-Hill, 1992.

6. Simmons, G.F., Differential Equations with Applications and Historical Notes, 2nd Ed., McGraw-Hill, 1991.

7. Boyer, C.B., A History of Mathematics, Revised by U.C. Merzbach, John Wiley ＆ Sons, Inc., 1991.