求解非线性方程的二重弦截法
第38卷第3期
2010年5月河南师范大学学报(自然科学版)JournalofHenanNormalUniversity(NaturalScience)V钒.38No.3May.2010文章编号:1000一2367(2010)03--0014--03
求解非线性方程的二重弦截法
杨明波8,徐长通“
(河南师范大学a.数学与信息科学学院;b.计算机与信息技术学院,河南新乡453007)
摘要:给出了求解非线性方程的二重弦截法公式,证明了它的收敛阶为2.618,指出并且分析了3个文献中
关于“牛顿法P.C.格式”的一些错误结论.效能分析和数值试验都表明:二重弦截法(或弦截法)比牛顿法和牛顿法P.C.格式更有效.
关键词:非线性方程;弦截法;牛顿法;牛顿法P.C.格式
中图分类号:0241.7文献标志码:A
非线性方程求根的解法和理论是当今数值分析研究的重要课题之一,而牛顿法、弦截法、抛物线法(亦称Muller法)是非线性方程求根的重要经典方法.近年来,有不少工作对这3种方法的改进进行了较深入的研究.如文献[1,2]分别从简化计算和提高收敛速度方面对抛物线法进行了改进.文献[33主要是考虑在牛顿法中为避免导数计算,提出了牛顿法P.C.格式:
JfP(预估):三抖-一zt一芋毛5罢榴,~l以校正儿“-一t一亮瑞…、,(1)
并且通过数值试验说明:牛顿法P.C.格式(1)无论是收敛速度,还是实用性都超过了弦截法和牛顿法.但文献[3]却没有给出牛顿法P.C.格式(1)的收敛阶.为此,文献[4,5]先后用不同方法分别证明了牛顿法P.C.格式(I)的收敛阶为2.618;如文献Es-1首先证明了牛顿法P.C.格式(1)与弦截法的等价,利用这一结论,文献[5]给出了牛顿法P.C.格式(1)的收敛阶为2.618的简化证明.
注:上述P.C.格式(1),在文献[3]中被称为Newton迭代法的P.C.格式(11),在文献[4]中被称为牛顿弦截法预估校正(P.C.)迭代格式,在文献[5]中被称为改进弦截法.本文为了统二起见,将其称为牛顿法P.C.格式.应该指出,文献[6]也曾提出迭代格式(1),并将其称为相交弦方法,而且证明了它的收敛阶为P=1+√虿一2.414.
针对文献[3—5]和文献[6]中对同一迭代格式(1)给出的不同结论,本文下面首先提出一个具有2.618阶收敛的二重弦截法公式.
1二重弦截法的定义及其收敛阶为2.618的证明
若将弦截法重叠使用,可称为二重弦截法.它是将两步的弦截法作为一步迭代的方法.若给定初始近似,z,,z,,二重弦截法的迭代公式可以写为
P(预估):;抖1=zI—(z^一zt)f(x々)
公zt’一f(xk’愚:92
C(校正):z抖l=z^一9et(2)(z抖1—37女)厂(z^)
/(z抖1)一f(xk)
收稿日期:2009—06—18
基金项目:河南省精品课程建设项目
作者简介:杨明波(1957--),男,河南封丘人,河南师范大学副教授,主要从事非线性方程(组)数值解法研究.
万方数据
第3期杨明波等:求解非线性方程的二重弦截法15显然,由二重弦截法(2)式产生的序列;。,z。,芏。,z。,…,;。,z。,;蚪。,z件。,…,即为弦截法序列,而将弦截法的两步合为一步的序列.~27。,z。,z:,…,z。,z抖,,…则为二重弦截法序列.于是根据弦截法的收敛性理论‘川,若记户。一L专正≈1.618为方程i12--A一1=。的根,则当初始近似;。,z。充分接近于口时,有
从而对二重弦截法(2),就有等碘爨…lira掣PO=舰鲁I烈IPo=II黠z.t^一∞IzI+1一a★一o。z^一口L口)Ir
.!三丛!=些匕一z々一口IPo‘l糍r竹“旷"=
由于Pj—P。+1≈2.618,因此二重弦截法(2)的收敛阶为2.618.
2二重弦截法、牛顿法P.C.格式和牛顿法的效能分析
注意到二重弦截法(2)的预估步与牛顿法P.C.格式(1)的预估步是不一样的,前者使用的是z。,z。两点上的信息,而后者使用的是z卜。,z。两点上的信息,指出:正是这一不同点导致了牛顿法P.C.格式(1)产生的序列z。,z。,;:,z:,…,z卜。,;。,z。,;抖,,z抖,已不再是弦截法序列了,这是因为它在预估步中计算;抖。时,不再是使用最近前两点z。,z。上的信息,而是使用了z川,zt两点上的信息.因此也就无法保证极限
I:
l一。。Ilim}兰盟—等击的存在,这就说明了文献[4,5]中给出的牛顿法P.C.格式(1)收敛阶为2.618的证明是错z^一口I
误的(因为文献[4,5]中给出的收敛阶证明是基于该极限的).
所以,牛顿法P.C.格式(1)的收敛阶不是文献[4,5]中给出的2.618,而是文献[6]中给出的2.414,同时上述讨论也就否定了文献[5]中给出的牛顿法P.C.格式(1)与弦截法等价的结论.
还有一点顺便指出,由于一般说来,.72。,要比z卜-更接近于口,这也就不难理解牛顿法P.C.格式(1)的收敛阶为什么会低于二重弦截法的收敛阶.
如果从计算效能上分析,二重弦截法(2)和牛顿法P.C.格式(1)的每步迭代都需要计算两个函数值,f(x。),厂(;抖。),即二者的计算量完全相同,但前者的收敛阶比后者高0.204,因此二重弦截法(2)比牛顿法P.C.格式(1)更有效.再考虑到具有2阶收敛性的牛顿法[8]:
啪~一篇,
的数值计算实例也清楚地表明了这一点.
3一㈤每步迭代也需要计算一个函数值f(x。)和一个导数值厂7(z。),因此若按文献[8]中给出的效能指数定义,3种迭代法的效能指数分别为v/2.618≈1.618, ̄/2.414≈1.554,√2≈1.414,注意弦截法的效能指数也是1.618,这也说明二重弦截法和弦截法等价,二重弦截法比牛顿法P.C.格式(1)和牛顿法(3)更有效.下面给出数值试验
为了说明二重弦截法(2)比牛顿法P.C.格式(1)和牛顿法(3)更有效,这里仍采用文献[4]中所使用的
表1两个例子,并将迭代计算过程
中前两种方法计算的;。与z。
一并列出,以方便计算结果的
比较.
例1例1的计算结果比较计算厂(z)=z3+
4x2—10=0在区问(1,2)内
的一个根.在二重弦截法(2)
和牛顿法P.C.格式(1)中取
万方数据
河南师范大学学报(自然科学版)2010生
1.5,1.4作为初始近似,牛顿法(3)取1.4作为初始近似,根的精确解为口=1.3652300134141…,3种迭代法的计算结果见表1.
例2计算,(z)=一一4x2+4=0在区间(1,2)内的一个根.在二重弦截法(2)和牛顿法P.C.格式(1)中取1.5,1.4作为初始近似,牛顿法(3)取1.4作为初始近似,根的精确解为口=1.41421354…,3种迭代法的计算结果见表2.
表2例2的计算结果比较
4结束语
综上所述,本文提出的二重
弦截法不仅丰富了非线性方程
求根的数值解法理论,而且还可
以得出以下结论:
(1)本文给出的具有2.618
阶收敛速度的二重弦截法就是
两步的弦截法,因此它与弦截法
等价,而文献[5]给出的牛顿法
P.C.格式(1)与弦截法等价的
结论是不正确的,其实这一点也
可以从本文和文献[3—5]给出
的数值算例结果中直观地看出;(2)文献[3]中提出的牛顿法P.C.格式(1),也就是文献[6]中给出的相交弦方法,其收敛阶是2.414(参见文献E6]的证明),而不是文献[4,5]中给出的2.618;(3)效能指数分析和数值试验都表明,二重弦截法(或弦截法)比牛顿法(3)和牛顿法P.C.格式(1)更有效,从而否定了文献[3]中提出的牛顿法P.C.格式(1)比弦截法收敛速度更快、更实用的说法.
参考文献
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[8]冯果忱.非线性方程组迭代解法[M].上海:上海科学技术出版社,1989.
TwofoldSecantMethodofSolvingNonlinearEquation
YANGMing-bo。,XUChang—ton96
(a.CollegeofMathematicsandInformationScience;b.CollegeofComputerandInformation
Technology,HenanNormalUniversity,Xinxiang453007,China)
Abstract:AtwofoldSecantmethoditerationformulaisgivenanditsorderofconvergenceisprovedtobe2.618.Also,somewrongconclusionsabouttheNewtonmethodP.C.iterationformatinthreereferencesarepointedandanalyzed.Theeffi—
analysisandthenumericalexperimentsshowthatthetwofoldSecantmethod(orSecantmethod)ismoreefficientthanmethodandtheNe'HrtoflmethodP.C.iterationformat.
Keywords:nonlinearequation;theSecantmethod;Newtonmethod;NewtonmethodP.C.format
万方数据ciencyNewton
求解非线性方程的二重弦截法
作者:
作者单位:
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英文刊名:
年,卷(期):杨明波, 徐长通, YANG Ming-bo, XU Chang-tong杨明波,YANG Ming-bo(河南师范大学数学与信息科学学院,河南,新乡,453007), 徐长通,XUChang-tong(河南师范大学计算机与信息技术学院,河南,新乡,453007)河南师范大学学报(自然科学版)JOURNAL OF HENAN NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE)2010,38(3)
参考文献(8条)
1. 冯果忱 非线性方程组迭代解法 1989
2. 曹志浩;张玉德;李瑞瑕 矩阵计算与方程求根 1979
3. 林群 求解超越方程的相交弦方法 1982(02)
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5. 苏慧娟;吴开谡;江新华 牛顿弦截法预估校正迭代格式的收敛阶[期刊论文]-数学的的实践与认识 2006(04)
6. 杨振虎 Newton迭代法的P.C.格式[期刊论文]-航空计算技术 2002(02)
7. 杨敏;杨明波;卢建立 一个超平方收敛的抛物线法公式[期刊论文]-河南师范大学学报(自然科学版) 2009(02)
8. 杨明波;杨敏;卢建立 Muller法的一种改进方法[期刊论文]-河南师范大学学报(自然科学版) 2007(04)
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