极坐标系和椭圆坐标系下薛定谔方程及其解的研究

Ｉ 　． 掌　熏　 …………………………． 　

极 坐标系和椭 圆坐标 系下薛 定谔方程及其解 的研究　

河北联 合大学轻工学院 段 秀芝　 河北联合 大学理学院 王广新 常春 蕊　

【 摘要 】给 出极坐标 系和椭 圆坐标系下薛定谔方程的表达式 后，分别在这两种坐标下对特定 的薛定谔方程进行 求解 ，然后 利用计算机模拟 功能，得 出了电子 的基 态能量和　

概率 密度分布。最后对其结果进行 了分析。 　 【 关键词 】极坐标 ；椭 圆坐标 ；薛定谔方程 ；基态能量；概率密度　

能量 （ 本征值） 减小。 　 ， 　 量子物理在许 多近 代技术 中得到 了广泛地　 ３ ． 椭圆形势阱中薛定谔方程的解　 应用 ，并作为 大学物理 中的重 要组成部分被广　 ３ ． １极坐标与椭圆坐标的坐标变换　 大学者 深入 研究　 ｊ 。薛 定谔方 程的求 解是 量　 直角坐标与椭 圆坐标之 间的关系为　： 　 子力学 中的重要问题 ，对 于复杂的 问题可借助　 Ｘ ＝ａ ｃ ｈ ￣ ｃ ｏ ｓ Ｏ 　 ｙ一 ＝ ａ ｓ ｈ ￣ ｓ ｉ ｎ 　 则： 　 计算机软件进 行求解 。薛 定谔 方程 中的能量 算　 Ｐ 　＝ 　 ＋ｖ 　＝ａ ２ ｃ ｈ 。 　Ｃ Ｏ Ｓ 　０ ＋ｎ 　 ￣ｓ ｉ ｎ 　 符与矢量微分算符　 Ｌ ３ 　 密切相关。 　 ： ＝ｄ 　 ｓ ｈ 　 ＋ｄ 　Ｃ Ｏ Ｓ 　 本文讨论 的是 二维约束的情况 ，即量子 线　 （ ４ ） 　 模型 。实际模型 是　 ｆ 　 Ｇ ａ 　Ｎ ／ Ｇ ａ Ｎ 结构， 　ｆ 　 Ｇ ａ 　 Ｎ 　 ｐ＝ 目 √ 船　＋ － ｃ ％Ｔ ｏ 日 　 （ ５ ） 　 为量子 线材料 ，ｘ 为　， 的掺杂 比例 ，本 文 中取　 ｘ ＝ ０ ． ３ ，Ｇ ａ Ｎ 为势垒 材料 。在量子 线的界面上 ， 　 ３ 　 ２椭 圆坐 标系下二维薛定 谔方程的解　 这 两 种材 料 的边 界可 以是 各种 形 状 的 ，如 圆 　 在Ｉ ｎ 　 Ｇ ａ 。 一 　 Ｎ ／ Ｇ ａ Ｎ 圆形截 面量子 线中 ，电子　 形 、椭 圆形 、三角 形 、Ｔ 形　 等 。前人 曾对椭　 满 足的薛定谔方程为： 　 圆模型 的物理 问题进 行 了研 究　 ］ 。我们 研 究　 了极坐标系和椭 圆坐标系下薛 定谔方程的表达　 式及 圆形和椭 圆形势阱中薛定谔 方程的解 ，得　 出了电子的基 态能量及概 率密度 的变化 规律。 　

１ ． 引 膏　

。 　

大 。这是 因为截 面积不 变时 ，较大 ａ ／ ｂ 对 应着　 较大 的半长 轴ａ 和 较小 的半短 轴ｂ ，当ａ ／ ｂ 增大　 时 ，ｘ 方 向的 约束 在减 小 ，ｙ 方 向的约 束在 增　 大 ，较大 的ａ ／ ｂ 对应着 较大的基态 能量 是 由于ｙ 　 方 向的约 束起主要作用 ，图中 的曲线 呈上升趋　 势 。 图３ 为椭 圆的半 长轴 与 半短 轴之

比ａ ／ ｂ ＝ ４ 　 时 ，截面 积等于４ ０ ０ 　。 的椭 圆形量子 线中 电子　 的概率密度 分布 。通过 数值求解椭 圆形边界约　 束势作用 下的二维薛定 谔方程 ，可得 出本征矢　

，

然后求出概率密度 ｝ 　ｌ 　 。 　 ４ ． 结束语　

２ ． 圆形势阱中薛定谔 方程 的解　 ２ ． １直 角坐标 与极坐标 的坐标变换　 直角坐标与极坐标之间的关系式为　： 　

本文将理论计 算与计算机 模拟相 结合 ，不　 仅计算 了极 坐标 系和椭 圆坐标 系下二维 薛定谔　 方程的表达 式，而且通过计 算机模拟功 能研究　 了不 同二维 约束作用下薛 定谔 方程 的解 ，并对　 其规律进行 了合理地解释 。另外，本文对 低维　 半导体器件 的制作提供 了理论依据 。因此 ，本　 文具有一定的理论价值和实际意义 。 　

参考文献　

｛ 【 ． ｒ ＝ ｐ ｃ ｏ ｓ ＃ 　 Ｙ＝ｐｓ ｉ ＲＯ 　

△　 ＝

（ １ ） 　 … 　

［ １ 】 盛嘉茂． 关于工科 量子 物理教 学内客 的讨论 Ⅱ ］ ． 大 学物　

理， ２ ０ １ ３ ， ３ ２ （ １ ０ ） ￣ ２ ７ － ２ ９ ． 　

二维直角坐标系下，拉普拉斯的算符为： 　

荽 － ＋ 等 ＝ 　 杀 ＋ 等＋ 古 嘉 　

（ ２ ） 　

［ ２ ］ 张立彬， 涂成 厚． 中外量子 力学教材 经典知识 点的 区 　 别与思考Ⅱ 】 ． 大学物理， ２ ０ １ ３ ， ３ ２ （ ４ ） ： ３ ８ － ４ ０ ． 　 圈卢端华． 矢量微分 算符　 的探讨Ｕ 】 ． 大学物理’ ２ ０ １ ２ ， ３ １ （ ６ ） ： ７ 　

１ ２　

２ ． ２极坐标系 下二维薛定谔方程 的解　 在Ｉ ｎ 　 Ｇ ａ ， ． ｌ／ ｆ Ｇ ｏ ２ ｑ 圆形截面量 子线 中，电子　 满足 的薛定谔方程为 ： 　 ＂　 ｒ ｌ 　 ０ 　 ０ 　 １ 　ａ 　、 　 ． 　 一 　

一 　

【 ４ ］ Ｓ ． Ｎ． Ｗａ ｌ ｃ ｋ ， Ｔ． Ｌ． Ｒｅ ｉ ｎ ｅ ｃ ｋ ｅ ． Ｅｘ ｍｔ ｏ ｎ 　 ｂ ｉ ｎ ｄ ｉ ｎ ｇ 　 ｅ ｎ ｅ ｒ ｇ ｙ 　 ｉ ｎ 　

Ｔ — ｓ ｈ ａ ｐ ｅ ｄ 　 ｓ ｅ ｍｉ ｃ ｏ ｎ ｄ ｕ ｃ ｔ ｏ ｒ 　 ｑ ｕ ａ ｎ ｔ ｕ ｍ　 ｗ ｉ ｒ ｅ ｓ ０ ］ ． Ｐ ｈ ｙ ｓ ． Ｒ ｅ ｖ ． Ｂ 　 ５ ６ （ １ ５ ） ： ９ ２ ３ ５ — ９ ２ ３ ＆ 　

印 　

［ ５ 】 贾秀敏． 再论共焦椭 圆柱形 电容器 的电场及 电容Ⅱ ］ ． 大　 学物理， ２ ０ ０ ９ ， ２ ８ （ ９ ） ： ２ ２ ． ２ ４ ． 　 ［ ６ 】 陈梦姣， 陈刚， 周权， 等． 椭 圆柱 下等值坐标 带电导体柱　 的电势与电场的分布 Ⅱ ］ ． 大学物理， ２ ０ １ ２ ， ３ １ （ ６ ） ： １ ７ — ２ ０ ． 　 ［ ７ ］ 老大中ｌ 变分法基础嗍 ． 北京 ：国防大学出版社２ ０ ０ ７ ： １ ９ — 　

２ ２． 　

（ ３ ） 　

其中， 　 为 电子 的有效质 量，在 Ｉ ｎ 　 Ｇ ａ Ｉ 一 　 Ｎ 　 材料 中，ｘ ＝ Ｏ ． １ ５ 时， 　 ＝ 　＝ ０ Ａ ８ ８ 　 在６ ａ Ｎ 材料　 中， 　 ＝ 　＝ ０ ． ２ ０ ０ 。电子受到的约束势 ： 　

缈。 　

ａ ， ｂ 　

［ ８ 】 梁 昆淼 ． 数 学物理方法（ 第二版） 　 ． 北京： 人 民教 育 出 　 版社， １ ９ ７ ８ ： ５ １ １ － ５ １ ２ ． 　 基 金项 目 ：河 北省 科技 计划 基金项 目 （ 项 目编号 ： 　

其 中Ｒ 　 为量子线的半径： 　

Ｉ Ｒ ｙ 　 ＝ ２ ５ ． ５ ８ １ ｍ ｅ Ｖ ，１ 　 ＝ ２ ８ ． １ ７ Ａ 　

图２截面积相同 、ａ ／ ｂ 不 同的 　

椭圆截面■子线 中电子酶基态能量　

通过 求解薛定谔方程 （ １ ４ ） 可得 出电子的基　

’　

１ ２ ２ １ ０ ６ １ ７ ）；河北联合大 学轻工学院科学研究基 金项　 目 （ 项 目编号ｔ 　 ｑ ｙ ２ ０ １ ２ ０ ５ ）Ｉ固家 自然科学基金 专项　 基金项 目 （ 项 目批准号 ：１ １ ３ ４ ７ １ ７ ９ ）。 　

作者简 介 ：段秀芝 （ １ ９ ８ ２ 一） ，女，河北邢 台人 ，硕　

士研 究生，河北联合大 学轻工学院讲师 ，主要从 事半　 导体超 晶格物理及大 学物理教学领域 的研 究工作 。 　

图３椭圆截面的ａ ／ ｂ ＝ ４ 时 。电子的概率密度　

圈１电子 的基态能 量随量子线 圆彤截面半径 的变化　

图１ 为 电子在 圆形 边界约 束势 下的基态 能　 量 ，从 图中可知 ， 　 薛定谔 方程的本征值 随着截　 面半径 的增 大而减小 ，原 因是电子受到的 势垒　 约束作用 随着 量子线截面 半径 的增大而减弱 ， 　 电子受到较 弱的势垒约束 ，会 导致电子 的基 态　

一

图２ 为椭 圆形 量子 线 中截面 积等 于４ ０ ０ 万 盖 ２ 　 时 ，电子的基态 能量 随着椭 圆截面 的半长轴与　 半 短轴之 比ａ ／ ｂ 的变化 ，在 我们选 用的坐 标系　 中，椭 圆的长轴在ｘ 轴上 ，短轴在Ｙ 轴上 ．所 以 　 方 向的势垒 约束大于妨 ｛ 句 的势垒约束 ， 由图 　 可 知 ， 电予　 的基 态能量潮Ｉ 着ａ ／ ｂ 的 增大 而 增　

。

．　

２ ０ Ｏ 一 电净增矗