三角恒等变换教案

教学过程

一、复习预习

二、知识讲解

1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (Cα－β) cos(α＋β)＝ (Cα＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (Sα－β) sin(α＋β)＝ (Sα＋β) tan(α－β)＝tan(α＋β)＝

2． 二倍角公式

tan α－tan β

(Tα－β)

1＋tan αtan βtan α＋tan β

(Tα＋β)

1－tan αtan β

sin 2α＝

cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα； tan 2α＝

2tan α

.

1－tanα

2

2

2

2

3． 半角公式

αsin ±

2αtan ±

2

－cos αα

；cos ＝± 22

1＋cos α

； 2

－cos α1－cos αsin α

＝1＋cos α1＋cos αsin α

α

根号前的正负号，由角所在象限确定．

2

b

4． 函数f(x)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)a2＋b2sin(α＋φ)(其中tan φ＝a

a

或f(α)＋bcos(α－φ)(其中tan φ＝．

b

三、例题精析

考点1 公式应用:化简、求值 例1-1化简求值：

⑴sin163sin223sin253sin313 ⑵cos740sin140sin740cos140

⑶sin190cos1090cos1610

sin710

sin65o＋sin15osin10o⑷sin25o－cos15ocos80

o

= 1＋sin θ＋cos θsin θ－θ

例1-21.化简：2cos 2



2＋2cos θθ

2.求值：

1＋cos 20°2sin 20°1

tan 5°

－tan 5°)．

1＋sin α＋cos αsin α－cos

α3. 化简：22＋2cos α

＜α＜2π)．

5sin2α＋8sinαα＋11cos2α

－8

4.已知34＜α＜π，tan α＋1102222tan α3，求α－π2



练

1.在△ABC中，角C＝120°，tan A＋tan B233，则tan Atan B的值为( A.14

B.13

C.12

D.53

2．如果cos2α－cos2β＝a，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( )．

)．

aA．－

23.

aB. 2

C．－a

D．a

( )

2cos 10°－sin 20°

sin 70°

1A. C. D.2 22

4.(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝3

cos 2α等于( ) 3

A．－

3 B．－9 C.9 D.3

5.(2012·重庆sin 47°－sin 17°cos 30°

cos 17°等于

( A．－

112 B．－2 C.2 D.32

2cos4x－2cos2x1

6. 2

2tanπ4－xsin2

π4x

考点2 三角函数的给值求值、给值求角

例2 1.已知0

3，求cos(α＋β)的值；

2.已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)11

2tan β＝－7，求2α－β的值．

)

πππ1πββ

3.若0

22434232A.

5 B．－ C. D 3399

，sin(α－β)＝－α，β均为锐角，则角β等于 510

( )

4.已知sin α＝A.

【练】

5ππππ

B. C. D. 12346

π31.已知sinx＋＝－sin 2x＝__________.

44

π3π33π＋β＝5，求sin(α＋β)的值． 2. 已知0＜β＜α＜π，cosα＝sin

4541344

考点3 三角恒等式的证明 【例3】1.1

α.

1α4－tanα2tan2cos2α

ππαπ2α

2.已知0＜α，0＜β＜，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan1－tanα＋β＝.

44224

1＋m

3.已知sin β＝msin(2α＋β)(m≠1)，求证：tan(α＋β)α.

1－m

考点4 三角变换的简单应用 例41.已知函数f(x)＝sinx＋

7π4＋cosx－3π4，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期和最小值；

(2)已知cos(β－α)＝4cos(β＋α)40

，求证：[f(β)]2552－2＝0.

【练】

(1)函数f(x)x＋cos(π

3＋x)的最大值为

( )

A．2 B. C．1 D.1

2

(2)函数f(x)＝sin(2xπ4

)－22

x的最小正周期是________．

课程小结

课后作业

A组 专项基础训练 (时间：40分钟)

一、选择题

1． 若θ∈[ππ37

4，2，sin 2θ8

，则sin θ等于

( )

A.35 B.43

5 C.4 D.4

2． 已知tan(α＋β)25

，tanβ－π41＝4tan

α＋π4等于

( A.

1318 B.1322 C.322 D.1

6

)

3． (2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于

A. B.

＋3

C. D．2－1 2

( )

110πππ

4． 若tan α，α∈(，则sin(2α＋的值为

tan α3424

A．－

372 B. C. D. 10101010

( )

5． 在△ABC中，tan A＋tan B＋＝A·tan B，则C等于

π2πππA. B. C. D. 3364二、填空题

π3

6． 若sin(θ)，则cos 2θ＝________.

25

7． 若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为________． 8.

3tan 12°－3

________. 4cos12°－2sin 12°

( )

三、解答题

1ππ

9． 已知tan α，cos β，α∈(，π)，β∈(0)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．

3522

παα6

10．已知α∈，π，且sin ＋cos ＝.

2222

(1)求cos α的值；

3π

(2)若sin(α－β)＝－，β∈2，π，求cos β的值． 5

B组 专项能力提升 (时间：30分钟)

2

2sinα＋sin 2απ1π

1． 已知tan(α＋)，且－

422π

cosα

4

A．－

235325

B．－ C．－ D.510105

( )

2． 定义运算

sin α sin β31π

＝ad－bc，若cos α＝，0

c d7cos α cos β142

( )

a b

A.

ππππ C. D. 12643

2

2sinx＋1π

3． 设x∈0，，则函数y＝________．

2sin 2x

π

sin 2－α＋4cos2α

12

4． 已知tan(π＋α)，tan(α＋β)＝.

310cosα－sin 2α

(1)求tan(α＋β)的值； (2)求tan β的值．

π

5． 已知函数f(x)＝2cosωx＋(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.

6

(1)求ω的值；

π565

(2)设α，β∈0，，f5α＋＝－，f5β－π

2356

课后评价