试题:北京大学解析几何与高等代数
北京大学解析几何与高等代数2002
1. (18分) 在空间直角坐标系中, 直线l 1和l 2分别有方程
⎧x +y +z -1=0⎧3x +y +1=0和⎨ ⎨x +y +2z +1=0x +3z +2=0⎩⎩
1) 求过l 1平行于l 2的平面的方程.
2) 求l 1和l 2的距离.
3) 求l 1和l 2的公垂线的方程.
2. (12分) 在空间直角坐标系中, 求直线⎨⎧z =3x +2绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程.
⎩z =2y -1
3. (15分) 用正交变换化下面二次型为标准形
22f (x 1, x 2, x 3)=x 12+x 2+x 3-4x 1x 2-4x 1x 3-4x 2x 3.
(要求写出正交变换的矩阵和相应的标准形).
4. (12分) 对于任意非负整数n , 令f n (x )=x n +2-(x +1)2n +1, 证明:
(x 2+x +1, f n (x )=1. )
5. (18分) 设正整数n ≥2, 用M n (K )表示数域K 上全体n ⨯n 矩阵关于矩阵加法和数乘所构成的K 上的线形空间. 在M n (K )中定义变换σ如下:
''⎧a ij σ(a ij )n ⨯n =⎛ a ij ⎫⎪, ∀(a ij )n ⨯n ∈M n (K ), 其中a ij =⎨⎝⎭⎩i ⋅tr (A ), ()i ≠j ; i =j .
1) 证明σ是M n (K )上的线形变换.
2) 求出ker (σ)的维数与一组基.
3) 求出σ的全部特征子空间.
6. (18 分) 用R 表示实数域, 定义R 到R 的映射f 如下
T f (X )=x 1+ +x r -x r +1- -x r +s , ∀X =(x 1, x 2, , x n )∈R n , 其中r ≥s ≥0. n
证明:
n 1) 存在R 的一个n -r 维子空间W , 使得f (X )=0, ∀X ∈W
n 2) 若W 1, W 2是R 的两个n -r 维子空间, 且满足
f (X )=0, ∀X ∈W 1⋃W 2,
则一定有dim (W 1⋂W 2)≥n -(r +s ).
7. (13分) 设V 是数域K 上的n 维线形空间, V 1, V s 是V 的s 个真子空间, 证明:
1) 存在α∈V , 使得α∉V 1⋃V 2⋃ ⋃V s .
2) 存在V 中的一组基ε1, , εn , 使得
{ε1, , εn }⋂(V 1⋃V 2⋃ ⋃V s )=∅