迈克尔逊非定域干涉图样的分析
2008大学生物理实验研究论文
迈克尔逊非定域干涉图样的分析
赵国平
（东南大学 机械工程学院，南京 210096）
摘 要： 解释迈克尔孙干涉实验中非定域干涉图样的成因，理论分析推导在两反射镜不严格垂直时干涉图样的方程，并通过Matlab 软件数值模拟出非定域干涉可能出现的图像。 关键词： 迈克尔孙实验；非定域干涉图样；Matlab 模拟
Analysis of Michelson Non-Localized Interference
Zhao Guo Ping
(School of Mechanical Engineering of Southeast University, Nanjing 210096)
Abstract: Explained the cause of the Michelson Non-Localized Interference, analyzed the situation when two mirrors are not
strictly vertical from the theory, and through Matlab numerical simulation software to simulate the possible image. key words: Michelson interference experiment; non-localized interfering patterns; Matlab simulation
迈克尔孙干涉仪，设计精巧，原理简单，是许多现代干涉仪的原型，它不仅可用于精密测量长度，还可应用于测量介质的折射率，测定光谱的精细结构等。它的主要特点是：两相干光束分得很开；光程差的改变可以由移动一个反射镜（或在光路中加入另一种介质）得到。我们可以用迈克尔孙干涉仪做光的非定域干涉实验，以此来测定光的波长。但是实验教材中关于非定域干涉图样的形状及成因介绍的比较抽象，本文从理论的角度出发，分析、解释非定域干涉的现象，并给出实验中所得非定域干涉图样的数学方程，同时用Matlab 软件仿真模拟出在实验中可能出现的所有图样的形状。
作者简介：赵国平（1989-），男，江苏淮安人，本科在读。
Email:[email protected]
1 实验回顾
在“用迈克尔孙干涉仪观察非定域干涉图样”
实验中，激光束经短焦距凸透镜扩束后得到点光源S ，它发出的球面波经G 1反
图1 点光源产生非定域干涉光路图 ’
射可等效为是由虚光源S 发出的（如图1）。S ’发出的光再经M 1和M 2’的反射又等效为由虚光源S 1和S 2发出的两列球面波，这两列球面波在它们相遇的空间内产生干涉，从而形成非定域干涉图样。
下面我们利用图1作为原理图进行理论计算。
当M 1和M 2’绝对平行时有
∆= (1) ∆为S 1和S 2发出的球面波在屏上任一点P （对
应于入射角为θ）的光程差。
当Z >>d 且在θ很小时(1)式可简化为
∆=2d cos θ (2)
由式(2)可知，在d 确定时，∆由θ唯一确定，即对应同一个θ，∆值不变。因此，我们能够在屏上看到同心干涉圆环纹。
2 问题提出
在实际实验中，当我们将M 2’逐渐靠近M 1时发
现看到的干涉条纹由原来的比较接近圆的情况变得越来越接近椭圆。后来经调节仪器发现是M 2’和M 1不平行所致。因此我便想通过理论计算当M 2’和M 1不平行时干涉条纹的形状来解释实验中的现象。
3 问题分析
当M 2’和M 1不平行时，首先为简化问题，设M 2’和M 1成ϕ角且M 2’和M 1都垂直与水平面。此时，以O 点为坐标原点建立三维坐标系（如图2）。XOY 平面为观察屏所在平面，其平行于M 1所在平面；Z 轴垂直于M 1平面。
图2 两镜不完全平行时的非定域干涉光路图
2008大学生物理实验研究论文
3.1
光程差解析式的理论推导 此时，光程差为
∆=S 1P -S 2P
设S ’坐标为(0, 0l ), ，M 2’的方程为z =t a ϕn ⋅y + h , M 1的方程为z =h +d ，为使计算结果较为简单，令k =tan ϕ ；
则有，S 1的坐标为(0,0,2d +2h -l )，S 2的坐
标为⎛ 2k (-h +l ) 2(k 2⎝0, k 2+1, l +h ) k 2
+1-l ⎫⎪。设点⎭
P (, x , y )为0XOY 平面内任意一点，则
S 1P =(
x 2
+y 2
+(2d +2h -l )
2
)
12
(3)
1⎛2
⎫2
S 2
⎛2k (-h +l )⎫⎛2(k 2l +h )⎫2
2P = x + ⎪⎝
⎝k 2+1-y ⎪⎭+ ⎝k 2
+1-l ⎪⎪⎭⎪⎭
(4)
因而
∆=S 1P -S 2P =(
x 2
+y 2
+(2d +2h -l )
2
)
12
-
1⎛2 ⎫2
x 2+⎛⎛2 2k (-h +l )-⎫(k 2l +h )⎫2
⎪⎝
⎝k 2+1y ⎪⎭+ ⎝k 2
+1-l ⎪⎪⎭⎪(5) ⎭
令∆=n λ，n =0,1,2,3„，则有
n λ=(x 2
+y 2
+(2d +2h -l )
2
)
12
-
1⎛ ⎫2
x 2+⎛ 2k (-h +l )2-y ⎫⎛2⎪+(k 2l +h )⎫2
⎪⎝k 2+1 k 2
+1-l ⎪⎪⎪ (6) ⎝
⎭⎝⎭⎭
化简得
1⎛222
⎫2
x 2+⎛ 2k (-h +l )-y ⎫⎛2⎪+ (k l +h )-l ⎫⎪⎪⎝
⎝k 2+1⎭ ⎝k 2
+1⎪⎭⎪-⎭
(x
2
+y 2
+(2d +2h -l )
2
)
12
+n λ=0 (7)
显然， 这是一个二次曲线，猜测其图像应为圆、椭圆、抛物线和双曲线中的一种或几种。关于这个
猜想的详细证明，在一些书中有介绍，在此我就不作论述。下面我主要通过Matlab 数值模拟来验证猜想。 3.2
Matlab 数值模拟图像分析
以上已经推导出了光程差的解析式，下面通过Matlab 软件对图像进行数值模拟。
为了便于讨论，并注意到实际情况：M 1与光屏固定在可动导轨上、M 2’与虚光源相对实验仪静止，即：若光屏相对实验仪移动距离为δl ，则d 的变化量δd 与h 的变化量δh 之间的关系为：
δl =-δd =δh (8) 故令初始状态：
l =30mm ; d =5mm ; h =300mm ;
则当转动手轮，使光屏移动距离δl 时，式(7)
可简化为
1
2
-⎛22
x 2+⎛⎝ 590k ⎫⎛590⎫⎫⎝k 2+1+y ⎪⎭+ ⎝k 2+1+5+δl ⎪⎭⎪⎪+⎭
(
x )
12
+y 2
+(605-δl )
22
=n λ (9)
由此可以看出图像的形状与k 值即ϕ的大小以及δl 的大小密切相关。
首先令k =tan ϕ=0，即非定域干涉的理想情况，同时考虑到实际实验中光源并非理想点光源，且光波波长会有一定的抖动，故取光波波长
λ=632nm ，抖动范围为±5%，用Matlab 模拟出图像随δl 的变化情况：
图3
ϕ=0︒时模拟出的图像
图3.a
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图3.b
图3.a 中四个切片图像是当δl 取不同值，即光屏位置l 改变时，光屏上的干涉图样。图中所标注的X 轴和Y 轴分别对应图2中的X 轴和Y 轴。若取l =30.00050mm ，用Matlab 模拟后则得到 图3.b ，这和我们在实验中所看到的图像特性是一致的。
再令k =tan ϕ=tan 0.5 ，即在M 1和M 2’成0.5 时的情况。用Matlab 模拟后得如下图像
图4 ϕ
=0.5 时模拟出的图像
图4.a
图
4.b
同样，其中图4.a 中四个切片图像是当光屏取不同位置l 时所模拟出在光屏上的非定域干涉图样。图中所标注的X 轴和Y 轴分别对应图2中的X 轴和Y 轴。若取l =30.00025mm ，用Matlab 模拟
后则得到图4.b ，显然，此时的干涉图样已经变为椭圆，与前面的猜想相吻合。
由图4.b 可进一步猜想，图像有可能有随着x 和y 取值的变大而由椭圆渐变为抛物线和双曲线的趋势。为验证假想，取x 和y 在[-4000mm,4000mm]上变化，得如下图像：
图5 图像的变化趋势
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观察图5，发现干涉条纹之间发生了相互重叠，这是由于计算机屏幕大小有限所导致，在实际试验中，只要光屏、两反射镜大小及角度合适，我们是可以看到双曲线的干涉图样的。
参考文献：
[1] 钱锋，潘人培. 大学物理实验（修订版）[M]. 2005，
高等教育出版社，2006. 230-231.
[2] 陈杰.MA TLAB 宝典[M].2007，电工电子出版社，2007.
281-300.