数学加物理难题
在锐角△ABC 中，∠BAC=60°，BD 、CE 为高，F 是BC 的中点，连接DE 、EF 、FD ．则以下结论中一定正确的个数有（ ）
①EF=FD；②AD ：AB=AE：AC ；
③△DEF 是等边三角形；
④BE+CD=BC；解：①∵BD 、CE 为高，∴△BEC 、△BDC 是直角三角形．
∵F 是BC 的中点，∴EF=DF= 1/2BC．故正确；
②∵∠ADB=∠AEC=90°，∠A 公共，∴△ABD ∽△ACE ，得AD ：
AB=AE：AC ．故正确；
③∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵F 是BC 的中点，∴EF=BF，DF=CF．∴∠ABF=∠BEF ，∠ACB=
∠CDF ．
∴∠BFE+∠CFD=120°，∠EFD=60°．又EF=FD，∴△DEF 是等边三角形．故正确； ④若BE+CD=BC，则可在BC 上截取BH=BE，则HC=CD．
∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．又BH=BE，HC=CD，
∴∠BHE+∠CHD=120°，∠EHD=60°．
如图，菱形ABCD 中，AB=AC,点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE=BF，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AC 于点O ，则下列结论：①△ABF ≌△CAE ②∠AHC=120° ③AH+CH=DH ④AD2=OD·DH
正确的是（ ）
A 、①②④ B 、①②③ C 、②③④ D 、①②③④
答案：D 、①②③④
思路分析：
解题思路：①先证明△ABC 为等边三角形，根
据“SAS”证明△ABF ≌△CAE ；
②由外角性质结合菱形的边角相等关系得出点C 、D 、A 、H 四点共圆，进一步得出∠CHD=∠AHD=60°，从而∠AHC=120°。
③要求线段的和差问题，采用“截长补短”方法作出辅助线，通过证明△CMD ≌△AHD ，从而得出△DHM 为等边三角形。
④通过证明△CDO ∽△HDC ，从而得出CD2=OD·DH 。
解答过程：
解：①∵ABCD 为菱形，∴AB=BC．
∵AB=AC，∴△ABC 为等边三角形．
∴∠B=∠CAB=60°．
又∵AE=BF，AB=AC，
∴△ABF ≌△CAE ，故本小题正确；
②∵ABCD 为菱形，∠B=60°．
∴∠ADC=60°
∵∠CHF=∠CAH+∠ACE=∠CAH+∠HAE=60°=∠ADC ，
即∠CHA+∠CDA=180°，
∴点C 、D 、A 、H 四点共圆，
∴∠CHD=∠CAD=60°，∠AHD=∠ACD=60°．
∴∠CHD=∠AHD=60°．
∴∠AHC=120°故本小题正确；
② 延长HC 到M ，使CM=AH,连接DM;
（2008•河北）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D ，E ，F 分别是AC ，AB ，BC 的中点．点P 从点D 出发沿折线DE-EF-FC-CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK ⊥AB ，交折线BC-CA 于点G ．点P ，Q 同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P ，Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．
（1）D ，F 两点间的距离是
25
；
（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两
部分？若能，求出t 的值；若不能，说明理由；
（3）当点P 运动到折线EF-FC 上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值；
4）连接PG ，当PG ∥AB 时，请直接写出t 的值．
（2012•北京）在△ABC
中，BA=BC，∠BAC=α，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．
（1）若α=60°且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出∠CDB 的度数；
，结论是：
在下落高度相同时，物体下落的快慢与材料无关
．
（2）请你帮助小明验证猜想三：
①器材：0.5kg 的铁球A 、1kg 的铁球B 和皮尺，还需要的器材是 秒表
；
②实验步骤：
第一步：让A 球从某一高度由静止下落，用秒表测出A 球下落的时间为t A ； 第二步：让B 球从同一高度由静止下落，用秒表测出B 球下落的时间为t B ；
③结论：
若t A =tB ，则物体下落快慢与物体质量无关；
若t A ≠t B ，则物体下落快慢与物体质量有关；
．
（3）小敏同学也对这个问题进行了研究，她让两片完全相同的纸（一张平展，另一张对折）同时从三楼由静止开始下落，她发现两片纸 不同时
（填“同时”或“不同时”）着地，此下落过程中两片纸作的 不是
（填“是”或“不是”）自由落体运动，因为
受空气阻力的影响
．
考点：速度与物体运动；物理学方法．
专题：压轴题；控制变量法．
分析：（1）解答本题应用控制变量的思想去分析，既然是要验证猜想一，而猜想一是物体下落的快慢与物体的材料有关，所以应选择其它因素都相同，只有材料不同的两组序号；
要想得出结论，就需要看这两组序号中物体下落的时间是什么关系：若时间不相同，则说明物体下落快慢与材料有关；若时间相同，则说明物体下落快慢与材料无关；
（2）①要验证猜想三，就必须控制它们的高度相同，然后通过比较时间来比较它们的下落快慢，时间的测量需要用秒表；
②按照控制变量法的方法完成两次或多次测量，测出不同质量的小球从同一高度下落到地面的时间；
③比较时间关系，从而得出结论；
（3）根据自己的经验来判断是同时落地还是不同时落地；
纸片下落过程中会受到空气的阻力影响．
解答：解：（1）要验证物体下落的快慢与物体的材料有关，就必须控制物体的下落高度相同，而材料不同．从表格中的数据可知，序号1和3的下落高度相同，材料不同，所以应比较实验序号1和3；
当铁球和铅球从同一高度下落时，它们下落的时间是相同的，所以它们的下落快慢是相同的，则物体下落的快慢与材料无关．
（2）①要验证物体下落的快慢与物体的质量是否有关，就必须控制不同质量的小球从同一高度下落．比较物体运动快慢的方法有两种，其中一种是相同路程比较时间，所以我们还需要秒表来测量小球从同一高度下落的时间，通过比较时间，来判断它们下落的快慢；
②第一步：让A 球从某一高度由静止下落，用秒表测出A 球下落的时间为t A ；
第二步：让B 球从同一高度由静止下落，用秒表测出B 球下落的时间为t B ；
③若t A =tB ，则物体下落快慢与物体质量无关；
若t A ≠t B ，则物体下落快慢与物体质量有关．
（3）虽然两片纸的质量相同且都从同一高度下落，但由于它们的面积不同，所以在下落过程中受到的空气阻力不同，对折的纸片会下下落到地面，平展的纸片会后下落到地面；
由于自由落体运动是指物体只在重力作用下由静止开始下落的运动，而纸片在下落过程中受到的空气阻力相对于重力是比较大的，不能忽略，所以纸片在下落过程中做的不是自由落体运动．
答：（1）1，3，在下落高度相同时，物体下落的快慢与材料无关；
（2）①秒表；
②第一步：让A 球从某一高度由静止下落，用秒表测出A 球下落的时间为t A ；
第二步：让B 球从同一高度由静止下落，用秒表测出B 球下落的时间为t B ；
③若t A =tB ，则物体下落快慢与物体质量无关；
若t A ≠t B ，则物体下落快慢与物体质量有关；
（3）不同时，不是，受空气阻力的影响．
点评：本题考查的内容虽然是高中物理的知识，但本题考查的方法却是初中物理经常用到的方法-控制变量法．所以对于不是初中物理知识的实验题，我们也可以采用控制变量法去完成它，也就是说我们学习物理更重要的是要掌握方法，当我们遇到新的问题时，也可以自己设计实验去解决它，不能只停留在我学过的、我会的实验题上．
（2012•昆明）PP-R 管又叫三型聚丙烯管，具有重量轻、耐腐蚀、不结垢、使用寿命长（可达50年以上）等特点，现在家庭装修中大量PP-R 管替代了过去使用的铸铁管．然而，一些不厂家在生产过程中超量加入碳酸钙，严重影响了PP-R 管的质量．在中央电视台十频道“我爱发明”栏目中，一位发明者经过反复计算、实验，研究出了一种快速鉴别优劣PP-R 管的方法：他截取质量都是M=60g、不同厂家生产的PP-R 管，在每根管子上都用轻质细线悬挂相同的实心金属配重（如图），然后分别将它们浸没水中后放手，结果优质管浮到水面上，劣质管沉到水底．那么：
（1）金属配重的质量（设为m ）大小范围满足什么条件时，就能使优质的PP-R 管浮到水面上，劣质的沉到水底？
（2）根据上述计算结果说明，金属配重质量满足什么条件时，所有管子都沉到水底；满足什么条件时，所有管子都浮到水面上．（金属配重的密度ρ=7.0g/cm3，若优质管子的密度ρ
足0.95g/cm3＜ρ劣优=0.92/cm3，劣质管的密度满＜1g/cm3，计算结果保留两位有效数字）．
考点：物体的浮沉条件及其应用．
专题：计算题；压轴题；方程法．
分析：物体的浮沉条件是：F ＞G ，上浮；F =G，悬浮；F ＜G ，下沉． 浮浮浮
（1）优质材料浮在水面上，是由于浸没时总重力小于浮力；劣质材料沉到水底，是因为总重力大于浮力．
（2）所有管子都沉到水底，是重力大于浮力；所有管子都浮到水面上，是浸没时重力小于浮力．