反三角函数容易忽视的几个问题
14数学通讯 2001年第9期
反三角函数容易忽视的几个问题
赵春祥
(乐亭二中, 河北 063600)
中图分类号:O124. 1-44 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001) 09-0014-02
反三角函数有其自身的独特性质, 在解这类问题时容易被忽视, 因此会出现这样或那样的错误.
1 忽视反三角函数的存在性
错解二犯有与错解一同样的第一个错误, 虽然注意到并求出已知函数的值域, 但运算依据不正确, 例1 求函数y =2sin (2x -≤x ≤-) 的反函数. 12
) -3 (-312
域, [-1, 1]上
即使把解析式的正, .
≤x ≤-. 1212
∴-≤2x -≤-,
636即≤-2x -.
632
π
) -3y =2sin (2x -3
π+(2x -) ]-3=2sin [6
3π
π-(6π+2x -) ]-3=2sin [
3
) -3. =2sin (-2x -3
∴-2x -=arcsin ,
32
x =-arcsin -. 223ππ) ≤又∵sin ≤sin (-2x -sin ,
632) ≤即≤sin (-2x -1,
23
) -3≤-1, ∴-2≤2sin (-2x -3
则所求的反函数为
) -, 错解一 ∵y =2sin (2x -3
π) ∴sin (2x -2
2x -arcsin +, 32226
y =arcsin +.
226) -3解得错解二 由y =2sin (2x -3
x =arcsin +, 又-1≤1,
2262即-5≤y ≤-1, 则所求反函数是:
(-5≤x ≤-1) . arcsin +226
πππ
分析 错解一在没有论证-≤2x -232是否正确的情况下, 就得到2x -=arcsin , 32
反映了对于记号“arcsin ”的意义, 即反正弦函数的定
y =
正解 ∵-
义理解不全面, 有明显缺漏. 同时, 也没有求得已知函数的值域, 使答案中不具所求反函数的定义域, 反映了对于求一个函数就要求出它的三要素, 特别是给出解析式和定义域(此时的值域也随之确定, 实际上它就是已知函数的定义域) 的概念, 解题规格不完全清楚.
y =-
arcsin - (-2≤x ≤-1) . 223
收稿日期:2001-02-15
) , 男, 河北乐亭人, 河北乐亭二中特级教师, 学士. 作者简介:赵春祥(1955—
2001年第9期 数学通讯2 忽视隐含因素
3 忽视值域的有界性
15
例2 设方程x 2+3x +4=0的两个实根为
x 1, x 2, 记α=arctg x 1, β=arctg x 2, 求α+β.
例4 已知P (x , y ) 满足arcsin x +arccos y =π, 求P 点的轨迹.
错解 ∵arcsin x =π-arccos y , ∴x =
0, 即x 2+y 2=1(x ≥0) . 1-y 2≥
错解 ∵x 1+x 2=-3, x 1x 2=4.
==. αβ1-tg tg 1-x 1x 2
ππππ
又∵-
∴-π
33
分析 已知条件中隐含着α
∴P 点的轨迹如图3所示.
事实上, 由x 1+x 2=-30, 知x 1
π
-
∴-π
例3 若x 2-x sin α+cos α=0的两根是x 1和∴正确答案应为:α+β=-x 2, 且0
图3 例6图
图4 例6图
分析 在已知关系式里隐含着-1≤y ≤0. 这是因为, 若0
y =π.
ππ
arcsin x . 2
于是有0≤π, 与已知式2+(0≤x ≤1, -1≤y ≤0) . P 4所示.
错解 由两角和正切公式、式得:tg (arctg x 1+) ctg
α=x 1-4 忽视变形的等价性
α=tg (22∵-
∴-π
, 求x. 6
错解 对原式两边同取余弦可得例5 若arccos x -arcsin x =
4・x
1-x 2=或x 2=, 44
(1) (2)
(1)
(1) 式两边平方得16x 4-16x 2+3=0
παπ+(-) 且当k =∴arctg x 1+arctg x 2=k
22
-1, 0时满足(1) .
∴arctg x 1+arctg x 2的值为:-. 2
分析 由韦达定理知x 1+x 2=sin α, 由于0
0, 即方程两根之和为正数. 因此原方
解(2) 得x 2=
所以x =或x =.
22
分析 对已知式两边平方或对两边同取余弦(或正弦) 时, 都会扩大解集出现增根. 这是因为, 两
-或-222
角相等, 这两角的同名三角函数值必相等, 但反过来不成立. 比如cos =. 33
此题若利用arcsin x +arccos x =则始终为同解变形, 可避免增根.
-arccos x , 2
ππ
∴arccos x -(-arccos x ) =.
26即2arccos x =, arccos x =, 从而得x =.
332解法如下:∵arcsin x =
(|x |≤1) , 2
=cos =, 显然由此得不到332
程只能有两个正根或一正一负两个根.
当两根为正数时, 0
222
arctg x 1+arctg x 2=-.
22
-