建筑力学6章例题.pdf
6.2 轴力和轴力图 6.2.1 截面法求轴力
轴力 横截面上与杆件轴线重合的内力,称为 轴力,用
F N 表示。它是轴向拉伸(压缩)杆横截面上分布内力 的合力。
实验表明,在轴向外力作用下,杆的各纵向纤维 的变形是相同的。按线弹性假设,则横截面的分布内 力,在轴向拉伸(压缩)时是均匀连续分布的,它们 的合力通过截面形心,并沿轴线方向。
6.2 轴力和轴力图
截面法求轴力
m
截: 假想沿m-m 横截面将
(a )
F
F
杆切开; 取: 取出左半
m
F
m
F N
段或右半段
(b )
}
力(代): 将抛掉部分F
m
N
}
m
F
(c )
对 留下部分的作用用内
力代 替; 平: 对留下
m
部分列平衡方
∑S F x = 0 : F N = F
程求出内力即轴力的值;
6.2 轴力和轴力图 6.2.2 轴力的正负符号约定
工程上约定: 轴力方向以使所作用的杆微段拉伸为
正;反之, 使所作用的杆微段压缩为负。 正号轴力的指向是背
离截面的,负号轴力的指向 则是指向截面的。
F
F
N
N '
6.2.3 轴力图
轴力图----表示各横截面轴力随横截面位置变化情
况 的几何图形,称为轴力图。
轴力图的作法:
沿杆轴线方向取横坐标,表示截面位置,以 垂直于杆轴线方向为纵坐标,其值代表对应截面 的轴力值,轴力的大小,按比例画在坐标 上,绘 制各截面的轴力变化曲线。
注意事项:
拉力、压力各绘在基线的一侧,图中在拉
力 区标注 + ,压力区标注 —
,并标注各控制
截面 处︱F ︱及单位。
N
6.2 轴力和轴力图 例1 一杆所受外力如图所示,试绘制该杆的轴图。
解 杆件受到4个轴向外力
3kN
4kN
(a )
2kN
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
3kN
的作用,不同杆段内横截
面上的轴力不同,所以应
F
(b )
2kN
NI
分段求解,该杆应分为Ⅰ、
Ⅱ、Ⅲ三段。
(1)在第Ⅰ段内任意横截面处截开,取该截面 以 左的杆段为分离体,以杆轴为x 轴,由平衡条件
∑F x = 0 2kN + F NI = 0 F NI = -2kN (压)
6.2 轴力和轴力图 (2)第Ⅱ段:取分离体
如图(c ),由平衡条件
2kN
Ⅰ
3kN
Ⅱ
4kN
Ⅲ
3kN
(a )
∑F F
x = 0 : 2kN - 3kN + F NII = 0 (b ) 2kN
NI
F
NII
= -2kN + 3kN = 1kN(拉)
(3)第Ⅲ段:取分离体 2kN
3kN
(c )
F
NII
如图(d ),由平衡条件
3kN
4kN
∑F F
F
x = 0: 2kN -3kN + 4kN + F NIII = 0 (d )
2kN
NIII
N III
= -2kN + 3kN - 4kN = -3kN (压)
(e )
F
3kN
若取右段为分离体时,如图 NIII
(e ),受力情况更简单,有
F
N III
= -3kN (压)
1
6.2 轴力和轴力图
全杆的轴力都求出后,即可根据各截面上F N 的
大 小及正负号约定绘出轴力图。
2kN
3kN
4kN
F
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
3kN
NI
= -2kN
(a )
(f )
1kN
F
NII
= 1kN
F N 图
2kN
F
NIII
= -3kN
图2.4
3kN
6.2 轴力和轴力图
从该例可知:
2kN
3kN
4kN
Ⅱ
(a ) Ⅰ
Ⅲ
3kN
轴向拉伸(压缩)杆件
任一横截面的轴力,等于该
2kN
F
(b )
NI
横截面任意一侧杆段上所有
3kN
外力在轴线方向上投影的代2kN
(c )
数和。
F
NII
3kN
4kN
利用这一结论,不必绘 (d )
2kN
F
NIII
出分离体的受力图即可直接
求出任一截面的轴力,称为 (e )
F
NIII
直接法。
3kN
6.2 轴力和轴力图
例2 一杆所受外力如图所示,试绘制该杆的轴图。
F
q=F/l
F +
F N 图
(3)
6.3.2 梁的内力—剪力和弯矩 1、梁的剪力和弯矩
M e
m
梁在外力作用下,其任 (a ) A
m
B 一横截面上的内力可用截面 a
F 法来确定。 A
F B
l
现分析距A 端为 a 处
M
横 (b )
A
F A
a
F S
截面m -m 上的内力。如果取
F
(
M e
左段为研究对象,则右段梁
M
B
对左段梁的作用以截开面上
)
F S
F B
的内力来代替。 l-a
6.3.2 梁的内力—剪力和弯矩
梁原来是平衡的,截开后
M
的每段梁也应该是平衡的。根
(b )
A
据
F a
A
FS
∑F y = 0
可知,在m -m 截面上必有一作用线与F A 平行而 指向相反的内力分量,该内力分量就是横截
面上的 剪力F
S ,由平衡方程
∑F y = 0 : FA - FS =
0, ∴ FS = FA
6.3.2 梁的内力—剪力和弯矩
由于外力F A 与剪力F S 形成一力偶,因此,根据 左段梁的平衡,m -m 截面上必有一与其相平衡的内
力偶,该内力偶的矩就是该横截面上的弯矩
M 。
对m -m 截面的形心C 点列力矩方程,得
∑M C (F ) =
0 : M - FA a = 0, ∴M = FA a
M
(b ) A
F a
A
FS
2
6.3.2 梁的内力—剪力和弯矩 在取分离体计算内力
F M e
时,同一截面上的剪力和
m
(a )
m
弯矩在梁的左段或右段上
A
B
的实际方向是相反的。
F a A
l
F
B
为了使由不同分离体
M
(b )
A 求出同一截面上的内力,
F A
a
F S
不但数值相等,正负号也
F
(
M e
相同,对截面上内力的正 M
B
)
F S
负号作如下规定:
F B
l-a
6.3.2 梁的内力—剪力和弯矩 2、剪力和弯矩的正负号规定
剪力--微段有左端向上而右端向下的相对错动时,
横 截面上的剪力F Q 为正号,反之为负号。
F Q (+) M (+)
dx
F Q (-)
M (-)
弯矩--当微段的弯曲为向下凸即该微段的下侧受
拉 时,横截面上的弯矩M 为正号,反之为负号。
3、计算指定截面上的剪力和弯矩
例图示简支梁受一个集中力F 和集度为q 的均布荷载作 用。已知l =4m,求跨中C 截面的剪力F Q 和弯矩
M C 。
F=5kN/m
q=2kN/m
A
B
C
l/4
l/4
l/2
F A
F B
解(1)求支座反力。考虑梁的整体平衡
∑M A (F ) = 0
F l 3l
l
3F
B ⋅l - q ⋅ ⋅ - F ⋅ = 0 F B = ql + = 4.25kN
2 4
4
8 4
∑F y = 0
F A + FB - F - ql
= 0 F A = F +
ql
- FB = 4.75kN
2
2
3、计算指定截面上的剪力和弯矩 (2)求截面C 的剪力F S C 与弯矩
M C 。
取截面C 左侧梁段为分离体,由平衡方程,得
∑F
y = 0
F=5kN/m q=2kN/m
F
A - F - FSC = 0
A
B
C
l/4
l/4
l/2
F
F B
SC = FA - F = -0.25kN
F A
A F=5kN/m
C
∑M C (F ) = 0
F
M C
A
F
M F ⋅ l - F ⋅ l
S C +l/4 l/4
C
A 4 l Fl
2 = 0
M C = FA ⋅ - = 4.5kN ⋅ m (负号说明与假设的方向相反)
2 4
3、计算指定截面上的剪力和弯矩 或者,取截面C 右侧梁段为分离
体, 由平衡方程,得
∑F
F=5kN/m
q=2kN/m
y = 0
C
B
F
SC
- q ⋅ l
A
+ FB = 0 F A l/4
l/4
l/2 F B
F
ql 2
SC F S =
- FB = -0.25kN C
q=2kN/m
2
M C
B
C
∑M C (F ) = 0 l l
l/2
F B
-M l
C - q ⋅ ⋅ + FB ⋅ = 0
2 4 2
= Fl ql 2
M C B ⋅ - = 4.5kN ⋅m
2 8
3、计算指定截面上的剪力和弯矩
例 图示悬臂梁,受集中力F 及集中力偶M e 作用。试
确 定截面C 、截面D 及截面E 的剪力和弯矩。 解(1)求截面C 的剪力F M e =Fl
F
Q C A
和弯矩M
C D
E B
C
l
l 取截面C 右侧梁段为分离
(a )
体,由平衡方程,得
M e =Fl F
M (b )
C
C
D B
∑F y = 0
∑M C (F ) = 0
F
SC
l
F SC - F = 0 -M C + Me - F ⋅l = 0
F SC = F
M C = 0
3
3、计算指定截面上的剪力和弯矩
(2)求截面D 的剪力F QD 和弯矩M D
取截面D 右侧梁段为分离体,
由平衡方程,得 M e =Fl
F ∑F A
y = 0
E B
C D
F -F = 0, Fl
l SD SD = F
(a )
∑M D (F ) = 0
F -M F =F
D -F ⋅l =0
SC
M D
D
B
M C = 0
M F
l
D = -Fl
SD
通过分析可知,集中力偶作用处的左、右相邻 截面上的剪力相等,但弯矩不相等。
3、计算指定截面上的剪力和弯矩
(3)求截面E 的剪力F QE 和弯矩M E 仍取截面E 右
侧梁段为研究对象,由于截面E 与截 面B 无限接近,且位于截面B 的右侧,故所截梁
段的 长度△≈0,由平衡方程,得 ∑F y = 0
M e =Fl F
A
F - F = 0, F C D E B
SE SE = F
l
l
(a )
∑M E (F ) = 0
F
-M E - F ⋅ ∆ = 0
(d
E
) M E B
M E = -F ⋅ ∆ = 0
F
QE
用截面法求内力的步骤是: (1)截 :在需求内力的截面处,用假想的截面将构 件截为两部分。
(2)取:留下一部分为分离体,弃去另一部分。 (3)力 :以内力代替弃去部分对留下部分的作用, 绘分离体受力图(包括作用于分离体上的荷载、约束
反力、待求内力)。
(4)平 :由平衡方程来确定内力值。
3、计算指定截面上的剪力和弯矩
梁的内力计算的两个规律:
(1)梁横截面上的剪力F Q ,在数值上等于该截面一 侧(左侧或右侧)所有外力在与截面平行方向
投影 的代数和。即:
F =∑
F
Q
y i
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针方 向转动趋势时,等式右边取正号;反之,取负号。
此规律可简化记为“顺转剪力为正”,或“左 上,右下剪力为正”。相反为负。
3、计算指定截面上的剪力和弯矩
(2)横截面上的弯矩M ,在数值上等于截面一侧 (左侧或右侧)梁上所有外力对该截面形心O 的力矩 的代数和。即:
M =
(F
∑M 0 i )
若外力或外力偶矩使所考虑的梁段产生向下凸 的变形(即上部受压,下部受拉) 时,等式右方
取正 号,反之,取负号。
此规律可简化记为“下凸弯矩正”或“左顺, 右逆弯矩正” ,相反为负。
3、计算指定截面上的剪力和弯矩
利用上述结论,可以不画分离体的受力图、不 列平衡方程,直接得出横截面的剪力和弯矩。这种 方法称为直接法。直接法将在以后求指定截
面内力 中被广泛使用。
F =F
F=5kN/m
q=2kN/m
Q
∑
y i
A
B
C
左上,右下剪力为正
F
l/4 l/4 l/2
A
F B
M = ∑
F=5kN/m F S C q=2kN/m
M A
C
0 (F i )
M
C
M C
左顺,右逆弯矩正 F
A C
B
l/4 l/4
F S C
l/2
F B
4
6.3.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图和弯矩图
1、剪力方程和弯矩方程
在一般情况下,梁的不同横截面的内力是不同的, 即剪力和弯矩是随横截面位置的改变而发生变化。 描述梁的剪力和弯矩随横截面位置变化的代数方 程,分别称为剪力方程和弯矩方程。
在一般情况下,各横截面上的剪力和弯矩都可以 3、举例
2. 绘剪力图和弯矩图:
F A
x
m m
l
B
F (x ) = -F (0<x <l )
Q
M (x ) = -Fx
(0x l )
≤<
F S
(-)
(b )
x
表示为坐标 x 的函数,
梁的剪力方程 F Q =F Q (x ) 梁的弯矩方程
M = M(x )
2、剪力图和弯矩图
表示剪力和弯矩随横截面位置的变化规律的图
形 分别称为剪力图和弯矩图。
剪力图、弯矩图都是函数图形,其横坐标表示梁 的横截面位置,纵坐标表示相应横截面的剪力值、弯 矩值。
绘图时一般规定:
正剪力画在x 轴的上侧,负剪力画在x 轴的下侧; 正弯矩画在x 轴下侧,负弯矩画在x 轴上侧,即把
弯矩画在梁受拉的一侧。
3、举例
例 如图所示,悬臂梁受集中力F 作用,试作此梁的 剪力图和弯矩图。 F
A
m
x
m
B
l
解:1. 列剪力方程和弯矩方程 按求指定截面内力的
方法,取距左端为 x 的任一
横截面m -m ,此截面的剪力和弯矩表达式分别为:
F Q (x ) = -F (0<x <l )
M (x ) = -Fx (0≤x <
l )
(-)
x
① 作平行于梁轴线的基线; M
(c )
② 计算控制截面的剪力值和弯矩值;
③ 绘剪力图和弯矩图。
3、举例
例 图示简支梁受均布荷载作用,作此梁的剪力图
和弯矩图。 x
F Ay l F By
(a )
解:1. 求约束反力由对称关系,可得:
F Ay = F1
By = ql
2
2. 列剪力方程和弯矩方程
F (x ) = F - qx =
1 ql - qx
S
Ay
2
M (x ) = F x - 1 qx 2 = 1 2
qlx - 1 qx
A y
2 2
2
3、举例
3. 作剪力图和弯矩图
F S (x ) = 1
ql - qx
2
q
A
B
M (x ) = 1 qlx - 1
2 2
qx 2
x
F Ay
l F By
剪力表达式是 x 的一次
(a )
ql/2 (+)
函数,只要确定直线上的两
(-) ql/2
个点,便可画出此直线
(b ) F S 图
当x =0时,F (0)= ql /2
当x =l 时,F (l )=-ql /2
最大剪力发生在梁端,其值为F = 1
ql
Q, max
2
5