高中数学一轮复习---集合
思维导图
（1） 集合的含义与表示
① 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系
② 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法和描述法）描述不同的具体问
题，感受集合语言的意义和作用．
（2） 集合间的基本关系
① 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． ② 在具体情境中，了解全集与空集的含义． （3） 集合的基本运算
① 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． ③ 能使用韦恩（Venn ）图表达集合的关系及运算．
知识导引
若p :∀x ∈M ，p (x )；则⌝p :∃x 0∈M ，⌝p (x 0)
若 p :∃x 0∈M ，p (x 0)；则⌝p :∀x ∈M ，⌝p (x )
第一节 集合 考纲解读
1．集合的含义
(1)集合中元素的性质
集合中的元素具有________、________、________三个特征． (2)元素与集合的关系
元素与集合的关系有________、________两种． 2．集合的表示法：________、________、________。 3. 常见集合的符号表示
4、集合间的关系
5、集合的运算①两个集合的交集:
A B
;
②两个集合的并集: A B = ;
③设全集是U , 集合
A ⊆U , 则C U A ={x x ∈U 且x ∉A }
要点突破
1. 子集、真子集个数
集合A 中元素个数极为n , 则他的子集个数为2n ，真子集个数为2n -1，非空真子集个数
为2n -2.
2. 集合运算性质及重要结论 (1)交集
①A ∩B= ; ②A ∩A= ; ③A ∩B= ; ④A ∩B A,A∩B B; ⑤A ∩B=A .
(2)并集①A ∪B= ;②A ∪A= ; ③A ∪B= ;④A ∪B A,A∪B B; ⑤A ∪B=B . (3)交集、并集、补集的关系
①A C U A = ; A C U A = . ②C U (A B ) = ; C U (A B ) = 3规律方法
（1）分类讨论的思想：如当题目中含有参数时，常常根据需要，对参数进行分类讨论；再如A ⊆B , 对A 是否为空集进行讨论。对于分类讨论应该注意的是不重复、不遗漏、分类的标准一致。
（2）数形结合的思想：如在处理集合运算问题是会经常借助韦恩图和数轴，采用数形结合，使问题更直观形象。
（3）等价转化的思想：在对条件、问题进行化简变形时，尤其要注意等价转化。等价转化使得条件和问题的关系更加清晰明朗，有利于问题的解决
典例精析
【例1】（2010辽宁理数第1题）已知A ，B 均为集合U ={1,3,5,7,9}的子集，且A B ={3}, A C U B ={9}, 则A =
A ． {1,3} Ｂ． {3,7,9} Ｃ． {3,5,9} D．{3,9}
【命题意图】本题考查了集合的交集、补集的基本运算，同时考查了学生借助于Venn 图解决集合问题的能力．
【解析】因为A B ={3}，所以3∈A ，又因为
A C U B ={9}，所以9∈A ，所以选D ．本题也可以将集合语
言转化为图形语言，用Venn 图的方法更容易理解．
【例2】（2010湖北理数第2题）设集合
416
A．4 B．3 C ．2 D．1
【命题意图】考查集合语言中描述法及交集的含义，考查集合语言转化为图形语言的能力． A ={(x , y )|
x
2
+
y
2
=1}，B ={(x , y ) |y =3}则A B 的子集的个数是
x
【解析】集合A , B 的元素是点，交集的元素是椭圆
x
2
4
+
y
2
16
=1和指数函数y =3图象的
x
A 2，交点，画图可知他们有两个不同交点，记为A 1、则A B 的子集应为∅, {A 1}, {A 2}, {A 1, A 2}
共四种，故选A ．
【例3】已知A ={x x ≥9}，B =⎨x
⎩
⎧x -7
⎫
≤0⎬ ，C =x x -2
{}
(1)求A B 及A C ；
(2)若U =R ，求A C U (B C ) ．
【解析】 由x 2≥9，得x ≥3或x ≤－3，∴A ＝{x |x ≥3或x ≤－3}． 又由不等式 ，得－1
A∪C ＝{x |x ≤－3或x >－2}
(2)∵U ＝R ，B ∩C ＝{x |－1
【例4】 (2011年高考江苏卷14) 设集合A ={(x , y ) |
m 2
≤(x -2) +y
2
2
≤m , x , y ∈R },
2
B ={(x , y ) |2m ≤x +y ≤2m +1, x , y ∈R }, 若A ⋂B ≠φ, 则实数m 的取值范围是
______________
答案：
12≤m ≤
1
【解析】：综合考察集合及其运算、直线与圆的位置关系、含参分类讨论、点到直线距离公式、两条直线位置关系、解不等式，难题。当m ≤0时，集合A 是以（2，0）为圆心，以m
2
为半径的圆，集合B
是在两条平行线之间， +m =(1-m +>0 ，因
为A ⋂B ≠φ, 此时无解；当m >0时，集合A 是以（2，0
和m 为半径
⎧⎪的圆环，集合B 是在两条平行线之间，必有
⎨
⎪
⎩
m 2
≤m , ∴
2
m
∴
2
≤m ≤1.
又因为
12
≤m ≤1.
【例5】. 设集合M ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，S 1, S 2, ⋅⋅⋅, S k 都是M 的含两个元素的子集，且满足：对
任
意
的
S i ={a i , b i }, S j ={a j , b j }
(i ≠j , i , j ∈{1, 2, 3, k }) 都有
⎧a i b i ⎫
m in ⎨, ⎬≠m in
⎩b i a i ⎭
⎧⎪a j b j ⎫⎪
, ⎨⎬ (min{x , y }表示两个数x , y 中的较小者) ．则k 的最大值是⎪⎩b j a j ⎪⎭
( )
A ．10
B ．11
C ．12 D ．13
【解析】:含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有11个。
答案B
实战演练
一、选择题
1. （2011. 广东卷）已知集合A =B =
{(x , y )x , y 为实数，且
x +y
22
=1
}
，
{(x , y )x , y 为实数，且
y =x ，则A B 的元素个数为（ ）
}
A 0 B 1 C 2 D 3
2. （2010山东理数）. 已知全集U =R ，集合M ={x x -1≤2}, 则C U M = A {x -13} D {x x ≤-1或x ≥3} 3． 50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为( ) A ．50 B ．45 C．40 D．34
4．已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，M ={3, 4, 5}, N ={1, 3, 6}，集合{2,7}等于 ( ) A ．M N
B ．(∁U M )∩(∁U N )
C ．(∁U M ) ∪(∁U N ) D ．M N
5．已知全集U =R ，集合A ={x x >2}，B ={x x ≤1}，则(A ∪∁U B )∩(B ∪∁U A ) ＝ ( ) A ．φ
B．{x x
C ．{x ≤x
1, a 6．集合A ={0, 2, a }, B ={
2
}．若A B ={0, 1, 2, 4, 16}，则a 的值为( )
A．0
C ．2
B ．1 D ．4
7. （2011. 安徽卷理）设集合A ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B ={4, 5, 6, 7}，则满足S ⊆A ，且S B ≠φ的集合S 的个数为( )
A 57 B 56 C 49 D 8
8．已知全集U =R ，集合A ={y -2≤y ≤2}，集合B ={y y =2x }，那么集合 A C U B 等于 ( )
A ． {y -2≤y ≤0} B ． {y 0≤y ≤2} C. {y y ≥-2} D． {y y ≤0} 9．设函数f (x ) =范围是
A. (-∞, 1) B
x -a x -1
, 集合M={x |f (x ) 0}, 若M P, 则实数a 的取值
(0, 1) C (1, +∞)
D
[1, +∞)
10. （2011. 福建卷文）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]={5n +k n ∈Z }，k =0, 1, 2, 3, 4，给出如下四个结论：①2011∈[1] ②-3∈[3]
③Z =[0] [1] [2] [3] [4]
④“整数a , b 属于同一‘类’”的充要条件是“a -b ∈[0]” 其中，正确结论的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4
11.(2011. 广东卷) 设S 是整数集Z 的非空子集，如果∀a , b ∈S , 有ab ∈S ，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，T ⋃U =Z , 且∀a , b , c ∈T , 有
abc ∈T ; ∀x , y , z ∈V , 有xyz ∈V ，则下列结论恒成立的是
A. T , V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B. T , V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C. T , V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. T , V 中每一个关于乘法都是封闭的 二、填空题
12．已知集合A ={x x ≤1}，B ={x x ≥a }，且A B =R ，则实数a 的取值范围是________．
2
13．若集合A ={3-2x ,1, 3}，B ={1,x }，且A B =A ，则实数x ＝________.
14．(2011年高考天津卷理科13) 已知集合
1⎧⎫
A ={x ∈R |x +3+x -4≤9}, B =⎨x ∈R |x =4t +-6, t ∈(0,+∞) ⎬，则集合
t ⎩⎭
A B =________
15（2010四川理数）（16）设S 为复数集C 的非空子集. 若对任意x , y ∈S ，都有，则称S 为封闭集。下列命题： x +y , x -y , x y ∈S
① 集合S ={a +bi a , b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集； ② 若S 为封闭集，则一定有0∈S ；
③封闭集一定是无限集；
④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 三、解答题
232
16．已知：集合A ={2,4, a 3-2a 2-a +7} }，B ={-4, a +3, a -2a +2, a +a +3a +7}，
若A B ={2,5}，求实数a 的值，并求A B .
17．已知集合A ＝{x |mx －2x ＋3＝0，m ∈R }．
(1)若A 是空集，求m 的取值范围； (2)若A 中只有一个元素，求m 的值； (3)若A 中含有两个元素，求m 的取值范围．
18．已知全集U ＝R ，集合A ={x log (1)求A 、B ； (2)求(∁U A )∩B .
2
(3-x )≤2}，集合B ＝{x 2
5
≥1}． x ＋2
19．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a ) ＜0}．
(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (3)若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的值.
实战演练答案
一选择题：1-11.CCBBDD BACCA
⎧⎧22x =x =-⎪⎪
=1⎪⎪22
，A B 元素的个数为∴⎨或⎨
2⎪2⎪y =y =-⎪⎪22⎩⎩
⎧x 2+y 2
1：【解析】方法一：由题得⎨
⎩y =x
2，所以选C.[
方法二：直接画出曲线x 2+y 2=1和直线y =x ，观察得两支曲线有两个交点，所以选C. 2【解析】因为集合M =
C U M ={x |x
{x|x-1|≤2}={x|-1≤x ≤3}
, 全集U =R ，所以
x >3C }故答案选
【命题意图】本题考查集合的补集运算, 属容易题
7：【解析】集合A 的所有子集共有2=64个，其中不含4,5,6,7的子集有2=8个，所以集合S 共有56个. 故选B.
10【解析】：①2011=2010+1=402×5+1∈[1],正确；由-3=-5+2∈[2]可知②不正确；根据题意信息可知③正确; 若整数a ，b 属于同一类，不妨设a ，b ∈[k]={5n+k丨n ∈Z},则a=5n+k,b=5m+k,n,m为整数，a-b=5(n-m)+0∈[0]正确, 故①③④正确, 答案应选C 。 11【解析】：若T 为奇数集，V 为偶数集，满足题意，此时T 与V 关于乘法都是封闭的，排除B 、C
若T 为负整数集，V 为非负整数集，也满足题意，此时只有V 关于乘法是封闭的，
排除D 故答案为（A ） 二、填空题
12.a ≤1 13. ±或x ＝－3
6
3
14. 【答案】{x |-2≤x ≤5} 【解析】因为t >0, 所以4t +
1t
≥4, 所以B ={x ∈R |x ≥-2}; 由绝对值的几何意义可
得:A ={x ∈R |-4≤x ≤5}, 所以A ⋂B ={x |-2≤x ≤5}. 15: 答案：①②
【解析】：直接验证可知①正确.
当S 为封闭集时，因为x －y ∈S ，取x ＝y ，得0∈S ，②正确
对于集合S ＝{0}，显然满足素有条件，但S 是有限集, ③错误
取S ＝{0}，T ＝{0,1}，满足S ⊆T ⊆C , 但由于0－1＝－1∉T ，故T 不是封闭集，④错误
三、解答题 16. 【 解析】：∵A ∩B ＝{2,5}，∴5∈A ，A ＝{2,4,5}， 由已知可得a 3－2a 2－a ＋7＝5， 32
∴a －2a －a ＋2＝0，
∴(a 2－1)(a －2) ＝0，∴a ＝2或a ＝±1.
①当a ＝2时，B ＝{－4,5,2,25}，A ∩B ＝{2,5}，与题设相符； ②当a ＝1时，B ＝{－4,4,1,12}，A ∩B ＝{4}，与题设矛盾；
③当a ＝－1时，B ＝{－4,2,5,4}，A ∩B ＝{2,4,5}，与题设矛盾． 综合①②③知：a ＝2，
A ∪B ＝{2,4,5}∪{－4,5,2,25}＝{－4,2,4,5,25}. 17. 【解析】：集合A 是方程mx 2－2x ＋3＝0在实数范围内的解集． (1)∵A 是空集，∴方程mx 2－2x ＋3＝0无解．
1
∴△＝4－12m ＜0，即m ＞.
3
(2)∵A 中只有一个元素，
∴方程mx 2－2x ＋3＝0只有一解．
3
若m ＝0，方程为－2x ＋3＝0，只有一个解x ＝；
2
1
若m ≠0，则△＝0，即4－12m ＝0，m .
3
1
∴m ＝0或m ＝3(3)∵A 中含有两个元素，∴方程mx 1
∴m
3
⎧⎪3－x ≤4
18. 【 解析】：(1)由已知得：log 2(3－x )≤log24，∴⎨
⎪3－x >0⎩
2
⎧⎪m ≠0
－2x ＋3＝0有两解，满足⎨
⎪⎩△>0
⎧⎪m ≠0
，即⎨
⎪⎩4－12m >0
，
，
解得－1≤x
5由≥1，得(x ＋2)(x －3)≤0，且x ＋2≠0，解得－2
∴B ＝{x |－2
(2)由(1)可得∁U A ＝{x |x
19. 【解析】：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}， ∴A ＝{x |2＜x ＜4}．
(1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意． 当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }， 应满足⎨
⎧a ≤2⎪⎪⎩3a ≥4
4
⇒a ≤2， 3
当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，
⎧⎪3a ≤2
应满足⎨
⎪a ≥4⎩
⇒a ∈∅.
4
∴当A ⊆B 时，a ≤2.
3
(2)要满足A ∩B ＝∅，
当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，∴a ≥4或3a ≤2，
2
∴0＜a ≤或a ≥4；
3
4
当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，a ≤2或a ≥
3
∴a ＜0时成立，当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅也成立．
2
综上所述，a ≤a ≥4时，A ∩B ＝∅.
3
(3)要满足A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，显然a ＞0且a ＝3时成立， ∵此时B ＝{x |3＜x ＜9}，而A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，
故所求a 的值为3.
专题检测
一、单项选择题
1. 如果集合U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，A ={2, 5, 8}，B ={1, 3, 5, 7}，那么(
U
A ) B 等于
(A){5} (B) {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (C) {2, 8} (D) {1, 3, 7}
2
2．“设非空集合S =|x |m ≤x ≤l |满足：当x ∈S 时，有x ∈S 。给出如下三个命题工：①
若m =1，则S =|1|；②若m =-确命题的个数是 (A)3
12
，则
14
≤l ≤1；③若l =
12
，则-
2
≤m ≤0。其中正
(B)2 (C)1 (D) 0
3．设集合A ={x |-1≤x -1 （D ）-10，则x 0满足关于x 的方程ax=6的充要条件是 (A)∃x ∈R , (C) ∀x ∈R ,
1212
ax -bx ≥ax -bx ≥
22
1212
ax 0-bx 0 (B) ∃x ∈R , ax 0-bx 0 (D) ∀x ∈R ,
2
2
1212
ax -bx ≤ax -bx ≤
2
2
1212
ax 0-bx 0 ax 0-bx 0
2
2
5．下列正确结论的序号是
22
（A ）命题∀x , x +x +1>0的否定是:∃x , x +x +1
（B ）命题“若ab =0, 则a =0, 或b =0”的否命题是“若ab ≠0, 则a ≠0且b ≠0” （C ）已知线性回归方程是y ˆ=3+2x , 则当自变量的值为2时，因变量的精确值为7; （D ）若a , b ∈[0, 1]，则不等式a 2+b 2
2
14
2
成立的概率是
π
4
.
6. 已知集合P ={y y -y -2>0}, Q ={x x +ax +b ≤0}，若P Q =R , P Q =(2,3]，则 （A ）a =-2, b =3； （B ）a =2, b =-3； （C ）a =-2, b =-3； （D ）a =2, b =3； 二、填空题
1. 设全集I ={1,3, 5, 7, 9}，集合A ={1,a -5, 9}，C I A ={5,7}，则实数a 的值为____ 2. 已知命题p ：∀x ∈R , sin x ≤1，则⌝p :三、解答题
1. 已知集合A ＝{x |(x -2)[x -(3a +1)]
x -2a x -(a +1)
2
.
⑴当a ＝2时，求A B ； ⑵求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．
2. 已知条件p :A ={x ∈R x 2+ax +1≤0}，条件q :B ={x ∈R x 2-3x +2≤0}．若⌝q 是
⌝p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
3. 已知集合A ={(x , y ) |x 2+m x -y +2=0, x ∈R }，
B ={(x , y ) |x -y +1=0, 0≤x ≤2}，若A B ≠φ，求实数m 的取值范围．
专题检测答案
一、选择题 DACCBD 二、填空题
1.8或2___．2. ∃x ∈R , sin x >1
三、解答题 1. 解：（1）当a ＝2时，A ＝（2，7），B ＝（4，5）∴ A B ＝（4，5）． （2）∵ B ＝{x |2a 13
时，A ＝（3a ＋1，2）
⎧2a ≥3a +1要使B ⊆A ，必须⎨2，此时a ＝－1；
⎩a +1≤2
11
当a ＝时，A ＝Φ，使B ⊆A 的a 不存在； 当a ＞时，A ＝（2，3a ＋1）
33⎧2a ≥2
要使B ⊆A ，必须⎨2，此时1≤a ≤3．
⎩a +1≤3a +1
综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[1，3]∪{－1}
2. 解：q :B ={x ∈R ≤x ≤2}，若⌝q 是⌝p 的充分不必要条件，则A ⊆B ． 若A =∅，则a 2-4⎧a 2-4≥0,
5-≤a ≤-2． 若A ≠∅
，则解得2≤x ≤⎩22
综上所述，-
52
≤a
3. 分析：本题的几何背景是：抛物线y =x 2+m x +2与线段y =x +1(0≤x ≤2) 有公共点，
求实数m 的取值范围．
x +mx -y +2=0
解法一：由得x 2+(m -1) x +1=0 ①
x -y +1=0
{
2
∵A B ≠φ，∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解，
2
首先，由∆=(m -1) -4≥0，解得：m ≥3或m ≤-1．
设方程①的两个根为x 1、x 2，
（1）当m ≥3时，由x 1+x 2=-(m -1) 0及x 1⋅x 2=1>0知x 1、x 2是互为倒数的两个正数，
故x 1、x 2必有一个在区间[0,1]内，从而知方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解， 综上所述，实数m 的取值范围为(-∞, -1]．
y =x +m x +2
解法二：问题等价于方程组在[0,2]上有解，
y =x +1
{
2
即x +(m -1) x +1=0在[0,2]上有解，
令f (x ) =x +(m -1) x +1，则由f (0)=1知抛物线y =f (x ) 过点(0,1)，
∴抛物线y =f (x ) 在[0,2]上与x 轴有交点等价于f (2)=2+2(m -1) +1≤0 ① ⎧∆=(m -1) -4≥0
1-m 3⎪
22⎪2
⎩f (2)=2+2(m -1) +1>0
2
2
2
2
-
32
∴实数m 的取值范围为(-∞, -1]．
高考模拟
（第Ⅰ卷 选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 若P =y y =x 2，Q =x x 2+y 2=2，则P Q =( )
A ．[0, 2] B．{(1, 1), (-1, 1) } C．0, 2 D． [-2, 2] 2．若复数(a 2-4a +3)+(a -1)i 是纯虚数, 则实数a 的值为 ( ) A.1 B.3 C.1或3 D.-1 3．若抛物线y =2px 的焦点与椭圆
2
{}
{}
{x
2
6
+
y
2
2
． =1的右焦点重合，则p 的值为（ ）
A ．-2 B．2 C．-4 D．4
4．已知等比数列{a n }的前三项依次为a -2，a +2，a +8，则a n =（ ）
⎛3⎫⎛2⎫⎛3⎫
A ．8⋅ ⎪ B．8⋅ ⎪ C．8⋅ ⎪
⎝2⎭⎝3⎭⎝2⎭
n
n
n -1
⎛2⎫
D．8⋅ ⎪
⎝3⎭
n -1
5．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2，已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都是t ，那么下列说法正确的是（ ）．
A ．l 1和l 2必定平行 B ．l 1与l 2必定重合
C ．l 1和l 2有交点（s ，t ） D ．l 1与l 2相交，但交点不一定是（s ，t ） 6．函数f (x ) =x cos x 的导函数f '(x ) 在区间[-π, π]上的图像大致是（ ）
7．下列有关命题的说法正确的是（ ） A ．“x 2=1”是“x =1”的充分不必要条件
B ．“x =-1”是“x 2-5x -6=0”的必要不充分条件． C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+x +1
1x
, g (x ) =1+
x +x 2
，若f (x ) >g (x ) ，则实数x 的取值范围是（ ）
(A ) (-∞, -1) (0,1) (B )
(-∞, -1) (0,
-1+
2
(C )
(-1, 0) 2
+∞) (D )
(-1, 0) 2
9．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ）
A ．210 B．252 C．336 D．672 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
10. 在可行域内任取一点，规则如流程图所示，
则能输出数对(x, y）的概率为（ ） A ．
1
4
x a
B ．
22
π
2
y b
C．
22
π
4
2
D．+
y b
22
π
8
11．已知双曲线－=1和椭圆
x m
2
=1(a >0,m >b >0)
的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边的三角形是（ ）
A ．锐角三角形
C ．钝角三角形
12．如图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，
模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为（ ）
A ．模块①，②，⑤
B．模块①，③，⑤
B ．直角三角形 D ．等腰三角形
C ．模块②，④，⑥ D．模块③，④，⑤
（第Ⅱ卷 非选择题）
二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案直接填在题中横线上. ） 13．如果sin (π+A )＝
a
12
，那么cos
⎛3⎝2
π-A ⎪的值是_______________.
⎭
⎫
14. 若 ⎰x d x =1，则实数a 的值是_________.
15．已知△ABC 所在平面内一点P （P 与A 、B 、C 都不重合），且满足PA +PB +PC =BC ，
则△ACP 与△BCP 的面积之比为 .
16. 若Rt ΔABC 中两直角边为a 、b, 斜边c 上的高为h ，则
1h
2
=
1a
2
+
1b
2
，如
图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC ，PO 为棱锥的高，记M=
1PO
2
,N=
1PA
2
+
1PB
2
+
1PC
2
, 那么M 、N 的大小关系是．
三．解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）
17．(本小题满分10分) 已知∆A B C 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c , 向量
7
2A
, cos 2A ) ，且m ⋅n =. m =(4,-1), n =(cos22
（1）求角A 的大小； （2
）若a =
18．(本小题满分12分) 已知四棱锥P -A B C D 的三视图如下图所示，E 是侧棱P C 上的动点.(1) 求四棱锥P -A B C D 的体积；
(2) 是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论；
(3) 若点E 为P C 的中点，求二面角D -AE -B 的大小.
19．(本小题满分12分) 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.
现分别从他们在培训期间参加
正视图
侧视图
俯视图
b ⋅c 取得最大值时∆A B C 形状.
E
的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）用茎叶图表示这两组数据，并写出乙组数据的中位数；
（2）经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为甲=85,乙=85，方差分别为
s 甲=35.5, s 乙=41，现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加合适？请
2
2
说明理由；
（3）若将频率视为概率，对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成 绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ.
20．(本小题满分12分) 已知P (x 0, y 0)是函数f (x ) =ln x 图象上一点，在点P 处的切线 与x 轴交于点B ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为A . （1）求切线 的方程及点B 的坐标；
（2）若x 0∈(0, 1)，求∆P A B 的面积S 的最大值，并求此时x 0的值.
21．(本小题满分12分) 如图, 已知点A (0,-3) , 动点P 满足PA =2PO ，其中O 为坐标原点.(1) 求动点P 的轨迹方程.(2)记（1）中所得的曲线为C . 过原点O 作两条直线
l 1:y =k 1x , l 2:y =
k 2x G (x 3, y 3) 、H (x 4, y 4) (其分别交曲线C 于点E (x 1, y 1) 、F (x 2, y 2) 、
中y 2>0, y 4>0). k 1x 1x 2
x 1+x 2
=
k 2x 3x 4x 3+x 4
；(3)对于（2）中的E 、
F 、G 、H , 设E H 交x 轴于点Q ，G F 交x 轴于点R . 求证:
|OQ |=|OR |. （证明过程不考虑EH 或G F 垂直于x 轴的情形）
请考生在第22、23、24三题任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分
22. （本小题满分10分） 选修4-1：几何证明选讲
如图，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2) ，[来源:学科网圆O 1的弦
， A B 交圆O 2于点C （O 1不在A B 上）求证：A B :A C 为定值。
23. （本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎨
⎧x =5cos ϕ⎩y =3sin ϕ
第
21-A 图
（ϕ为参数）的右焦点且与直线
⎧x =4-2t
（t 为参数）平行的直线的普通方程。[来源:Z|xx|k.Com] ⎨
y =3-t ⎩
24. (本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲 解不等式：x +|2x -1|
参考答案
一、选择题
1. A 2. B 3. D 4. C 5. C 6.A 7. D 8.D 9. C 10. C 11. B 12.
A
答案提示:
1
．由题意知P =[0,+∞), Q =[，则P Q =[0, 2]，故选A ． 2. 依题意有a 2-4a +3=0且a -1≠0，解得a=3，选B ． 3．由
p 2
=2得p=4，∴选D ．
32
4. 由题意得(a +2) 2=(a -2)(a +8), a =10所以数列首项8，公比为5. 由题意知，回归直线经过样本的中心点（, ），故选C ． 6．因为f '(x ) =cos x -x s i n x 为偶函数，且f '(0)=1,排除C 、D ；又
f '(0)=1>f '(
，故选C ．
π
6
) =
12
B ，故选A.
7．因为x =y 可以推出sin x =sin y ，所以原命题为真，则它的逆否命题也为真，选D ．
⎧x
x +x -1x >-12⎩⎩
⎧
3
8．f (x ) >g (x ) ⇔⎨
x >0
9．对于7个台阶上每一个只站一人，则有A 7种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有C 3A 7种，因此共有不同的站法种数是336种，选C ．
10．由题意可知所求概率为边长为2的正方形的内切圆面积与此正方形的面积之比，即p =
1
2
π 1
2
2 2
=
π4
，选C ．
11. 因为双曲线
x a
22
－
y b
22
=1的离心率e 1=
c a
=
a +b a
2
2
22
，椭圆的离心率e 2=
m -b m
22
. 且e 1
与e 2互为倒数，即e 1e 2=1,所以
a +b a
22
·
m -b m
=1,整理得a 2+b 2=m 2. ∴以a 、b 、m 为边
的三角形是直角三角形，故选B ．
12. 选A ． 二、填空题：
13. 2
答案提示： 13. 易得sin A =-
1
1⎛3⎫
, 而cos π-A ⎪=-sin A ，故填． 22⎝2⎭
2
1
14．∵⎰
a
a ⎛12⎫a
xdx = x ⎪==1，又∵a >0，∴a =
022⎝⎭
2．
15．因为PA +PB +PC =BC ，根据平面向量的线性运算可得： PA +PB =BC -PC =BC +CP =BP ，即PA =BP -PB =2BP ，
C
A
因此P 为△ABC 的AB 边的三等分点（如图），由三角形的面积公式易知所求面积比为2.
16．根据类比推理易得M=N． 三、解答题：
2A 2A
17．解：（1）由m =(4,-1), n =(cos, cos 2A ) 得，m ⋅n =4cos -cos 2A
22=4⋅
1+cos A
2
-(2cos A -1) =-2cos A +2cos A +3， 又因为
2
2
771π2
； m ⋅n =, 所以-2cos A +2cos A +3=，解得cos A =， 0
2223
1222
（2
）在∆ABC 中，a 2=b 2+c 2-2bc cos A , 且
a =∴=b +c -2bc ⋅
2
2222
=b +c -bc ， b +c ≥2bc , ∴3≥2bc -bc ，即bc ≤3, 当且仅
当b =c =
，
b ⋅c 取得最大值, 又由（1）知A =
π
3
, ∴B =C =
π
3
, 故b ⋅c 取得最大值时，∆A B C 为等
边三角形.
18．解：(1) 由三视图可知，四棱锥P -A B C D 的底面是边长为1的正方形，侧棱P C ⊥底面A B C D ，且P C =2，∴V P -A B C D =即四棱锥P -A B C D 的体积为
2
13
S 正方形A B C D ⋅P C =
13
⨯1⨯2=
2
23
，
3
(2) 不论点E 在何位置，都有BD ⊥
AE . 证明如下：连结A C ，∵A B C D 是正方形，∴B D ⊥A C . ∵P C ⊥
底面A B C D ，且BD ⊂平面A B C D ，∴BD ⊥PC . 又∵AC PC =C ，∴B D ⊥平面PAC .
∵不论点E 在何位置，都有A E ⊂平面PAC . ∴不论点E 在何位置，
都有BD ⊥AE ；
(3) 解法1：在平面D AE 内过点D 作D F ⊥AE 于F ，连结B F .
；
E
C
AE =AE =D E =BE ==AD =AB =1∵，，
∴Rt △A D E ≌Rt △A B E ，
从而△A D F ≌△ABF ，∴BF ⊥AE . ∴∠D F B 为二面角D -AE -B 的平面角.
，
在Rt △A D E 中，D F =
A D ⋅D E A E
=
=B F ，又BD =，在
z △D FB 中，由余弦定理得
DF +BF -BD
2DF ⋅BF
2
2
2
2⨯=
23
-22
=-
cos ∠DFB =
12
，
E 3
∴∠D G B =120︒，即二面角D -AE -B 的大小为120︒.
解法2：如图，以点C 为原点，C D ，C B ，C P 所在的直线分别为x , y , z
2⨯
轴建立空间直角坐标系. 则D (1,0, 0) ，A (1,1,0) ，B (0,1,0) ，E (0,0,1) ，从而
设平面A D E 和平面A B E 的法向量分别为n 1=(x 1, y 1, z 1) ，n 2=(x 2, y 2, z 2) ，
⎧⎧⎧y 1=0⎧x 2=0⎪n 1 D A =0⎪n 2 B A =0
由⎨ ，取n 1=(1,0,1) . 由⎨ ，取⇒⎨⇒⎨
⎩-x 1+z 1=0⎩-y 2+z 2=0⎪⎪⎩n 1 D E =0⎩n 2 B E =0
n 2=(0,-1, -1) . 设二面角D -AE -B 的平面角为θ
，则
2π2πn n 21
，即二面角D -AE -B 的大小为. cos θ=1=-，∴θ==
332n 1⋅n 2
D A =(0, 1, ，0D E =(-1, 0,1) ，B A =(1,0, 0) ，B E =(0,-1,1) .
19. 解：（1）作出茎叶图如右图所示，易得乙组数据的中位数为84； （2）派甲参赛比较合适，理由如下：因为计算可得
x 甲=85
甲
乙
，x 乙=85，s 甲2=35.5, s 乙2=41, ∴x 甲=x 乙，s 甲2
8
4
925
813
789
500
02
35
5
∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适；
（3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ，则P (A )=
68=34
，随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，且ξ～B (3, ) ，所以，
4
k
3-k
3
⎛3⎫⎛1⎫P (ξ=k )=C ⎪ ⎪
⎝4⎭⎝4⎭
k 3
，k =0, 1, 2, 3，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以变量ξ的
分布列为：
ξ
164
2764
+3⨯
1
=94
964
2
2764
3
34=276494
P
则E ξ=0⨯
20. 解: （1）∵ f (x ) = 即切线方程为：y =
1x 0
'
）．
164
+1⨯
964
+2⨯
2764
，（或E ξ=nP =3⨯
1x
，∴ 过点P 的切线方程为y -ln x 0=
1x 0
(x -x 0)
x +ln x 0-1，令y =0，得x =x 0-x 0ln x 0，即点B 的坐标为
(x 0-x 0ln x 0, 0)；
12
2
（2）AB =x 0-x 0ln x 0-x 0=-x 0ln x 0，PA =f (x 0) =-ln x 0 ∴ S = S =
'
A B ⋅P A =
12
x 0⋅(ln x 0)
2
12
'
ln x 0+
121
x 0⋅2ln x 0⋅
1x 0
=
12
ln x 0(ln x 0+2)
由S
1⎫⎛⎛1⎫
S
e e e e ⎝e ⎭2e
21．
解:(1)设点P (x , y ) , = 整理得x 2+y 2-2y -3=0，故动点P 的轨迹方程为x 2+y 2-2y -3=0； (2)将直线E F 的方程y =k 1x 代入圆C 方程整理得：
(k 1+1) x -2k 1x -3=0
2
2
，
3k 1+1
2
根据根与系数的关系得：
x 1+x 2=
2k 1k 1+1
2
, x 1x 2=-2k 2
„„①，将直线G H 的方程y =k 2x 代入圆C 方程,
3k 2+1
2
同理可得x 3+x 4=
k 1x 1x 2x 1+x 2
=-32=
k 2+1
2
, x 3x 4=-
„„②， 由①、②可得：
k 2x 3x 4x 3+x 4
, 所以结论成立；
x 1-q k 1x 1
=x 4-q k 2x 4
(3)设点Q (q , 0) , 点Q (r , 0) , 由E 、Q 、H 三点共线得
q =
(k 1-k 2) x x 1k 1x 1-k 2x k 1x 1x 2x 1+x 2
=
44
, 解得
， 由F 、R 、G 三点共线同理可得r =
变形得
x 2x 3k 1x 2-k 2x 3
=0,
=
-x 1x 4k 1x 1-k 2x 4
(k 1-k 2) x 2x 3k 1x 2-k 2x 3
由即
k 2x 3x 4x 3+x 4
+
(k 1-k 2) x 2x 3k 1x 2-k 2x 3
(k 1-k 2) x 1x 4k 1x 1-k 2x 4
从而q +r =0, 所以|q |=|r |, 即|OQ |=|OR |.
22. 解析：考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题。 证明：由弦切角定理可得 AO 2C AO 1B , ∴
AB AC
=O 1B O 2C
=r 1r
23. 解析：考察参数方程与普通方程的互化、椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系，中档题。椭圆的普通方程为
x
2
25
+
y
⎧x =4-2t
=1, 右焦点为（4，0），直线⎨（t 为
y =3-t 9⎩
12
2
参数）的普通方程为2y -x =2，斜率为：
y =
12
(x -4即) , x -
2y -
4 =
；所求直线方程为：
24. 解析：考察绝对值不等式的求解，容易题。[来源:学#科#网] 原不等式等价于：x -3
43
，解集为(-2, ) .[来源:学|科|网
3
4
Z|X|X|K]