条件异方差模型

第三节 自回归条件异方差(ARCH)模型

金融时间序列数据通常表现出一种所谓的集群波动现象。模型随机误差项中同时含有自相关和异方差。

一、ARCH 模型 （Auto-regressive Conditional Heteroskedastic —自回归条件异方差模型）

对于回归模型

y t =b 0+b 1x 1t + +b k x kt +εt （3.3.1） 若εt 服从AR （q ）过程 2

εt =α0+αε

2

t 221t -1+ +αq εt -q +νt （3.3.2） t 2其中νt 独立同分布，并满足E (ν) =0 , D (ν) =σ

则称（3.3.2）式为ARCH 模型，序列εt 服从q 阶ARCH 过程，记为εt ～ARCH （q ）。

(3.3.1)和(3.3.2)称为回归—ARCH 模型。

2D (ε) =σ注：不同时点εt 的方差t t 是不同

的。

对于AR （p ）模型

y t =φ1y t -1+ +φp y t -p +εt （3.3.3） 如果εt ～ARCH （q ），则（3.3.3）与（3.3.2）

结合称为AR （p ）-ARCH （q ）模型。 ARCH （q ）模型还可以表示为

εt =

h t =α0+αεh t *νt (3.3.4) 2

1t -1+ +αq εt -q =α0+∑αj εt -j 2q 2α=1

(3.3.5)

其中，νt 独立同分布，且

E (νt ) =0, D (νt ) =1, α0>0 αj ≥0(j =1, 2 q ) 且∑α

j =1q j

有时，（3.3.5）式等号右边还可以包括外生变量，但要注意应保证h t 值是非负的。如：

22h =α+αε+ +αε t 01t -1q t -q +θ1h t -1+ +θp h t -p

αi +∑θj

对于任意时刻t ，条件期望

E （εt |εt -1, ）=t *E (νt ) =0 （3.3.6）

条件方差

E (σt 2|εt -12, ) =h t *E (νt 2) =h t （3.3.7）

（3.3.7）式反映了序列条件方差随时间而变化。

ARCH模型通常用于对于主体模型（3.3.1）或（3.3.3）的随机误差项ε进行建模，以充分提取其中的有用信息，使最终的模型残差项v 成为白噪声。

二、ARCH 效应检验—拉格朗日乘数（LM ）检验法

若模型εt ～ARCH （q ），则可建立辅助回归方程 t t

h t =α0+αe

（3.3.8） 21t -1+ +αq e t -q 2

H 0:α1=α2= =αq =0 H 1:αj 至少有一个不为0

(j =1, 2 q )

检验统计量

LM =nR ～χ(q ) （3.3.9）

2R n 、分别为辅助方程（3.3.8）的样本数22据个数和判定系数。利用OLS 法对（3.3.8）式估计，判别：

2LM >χ若LM α(q ) ，或伴随的概率p 〈α，拒绝H 0，序列存在ARCH 效应；

若LM ≤χα2(q ) ，或伴随的概率p 〉α，接受H ，序列不存在ARCH 效应。 注意：在作ARCH 检验以前，应先利用0OLS 法估计主体回归模型并判断其是否存在自相关性（利用偏自相关的检验法），以确立辅助方程中的q ，若模型存在自相关性，再进一步对残差序列进行ARCH 检验。 EVIEWS 实现：

菜单方式：

(1)在方程窗口选择 Views/Residual Tests/ARCH LM Test,输入检验阶数q （系统默认为1），点击OK 。

（2）在方程窗口 点击

Views/Residual Test/Correlagram

Squared Residuals, 屏幕输出e 与e ...... e 自相关系数和偏自相关系数，利用偏自相关系数大致判断ARCH 效应。 命令方式：archtest(q)

三、ARCH 模型参数的估计——极大似然估计法

对于回归—ARCH 模型(（3.3.1）、（3.3.4）、（3.3.5））参数估计的对数似然函数为 22t t -12t -q

11n 1n 2ln(h t ) -∑(εt /h t ) ln L (b , α/y , x ) =-2n ln(2π) -2∑2t =1t =1

使该函数达最大值得参数b , α，就是参数b , α的极大似然估计。

EVIEWS 实现：选择Quick/Estimate Equation 在方程对话框中打 Method下拉菜单，点击ARCH 项进入自回归异方差对话框。在此对话框窗口中输入主体模型（y 关于解释变量的模型（3.3.1））或ARMA 模型。

在 ARCH specification 下定义 ARCH 模型的阶数q ，以及GARCH 后的阶数p （此时输入0），其它采用系统默认t

值，点击OK 即可。

若采用命令方式，仅键入如下命令即可

arch

在输出窗口的方差方程中，C 表示α0，ARCH (i ) 表示系数αi

对于建立的ARCH 模型尚需再次进行自相关检验。即在模型估计结果输出窗口选择view/Residual Tests/Corelogram-Q-Statistics，给出滞后阶数，点击OK 。

四、GARCH 模型——广义（Generalized ）自回归条件异方差模型

如果ARCH 模型中的 q值很大（q>=7时）时，可考虑采用GARCH 模型。

1. 基本形式

若序列可以表示为

εt =h t *v t

h t =α0+α1ε

(3.3.10) 2t -1+ +αq ε2t -q +θ1h t -1+ +θp h t -p

同前，则称序列ε服从GARCH （p,q ）过程。其中p ≥0,q ≥0, α>0, α≥0, θ≥0, 为保证GARCH （p,q ）是宽平稳的，要求∑α+∑θ

q p

j i

j =1i =1

通常GARCH 模型中的阶数q 值远比ARCH 模型中的q 值小。一般地，GARCH （1,1）模型即可描述大量的金融时间序列数据。

2.GARCH （p,q ）检验

对于辅助回归方程

h t =α0+αε+ +αε

21t -12q t -q +θ1h t -1+ +θp h t -p

H 0:θ1=θ2= =θP =0

22R ~χ(P ) ，n LM=n为辅助方程的样本

0容量。 当 n R >χ(P ) 或p 〈α 拒绝H ，则存在

GARCH 效应；

n R ≤χ(P ) 或概率p 〉α 接受H ，则不存在22α22α0

GARCH 效应。

3. 估计模型

Eviews 中采用二步极大似然估计法或广义最小二乘法GLS 估计GARCH 模型参数。

Eviews 实现：选择Quick/Estimate Eqution, 进入对话框后，在ARCH 、GARCH 后输入值q,p 值（一般都输入1），其他同前。根据AIC 及SC 准则，并配合残差独立性检验，通过比较可以得到较适宜的模型。

五、其他条件异方差模型

1.ARCH-M 模型（ARCH-in-Mean ）

y t =b 0+b 1x 1t +⋯⋯+b k x kt +rh t +εt

εt =h v t t

h t =α0+∑αj εt 2-j

j =1q

p 称为ARCH-M(q)模型 若 h =α+∑αε+∑θh q

t o 2j t -j i t -i

j =1i =1

称为GARCH-M （p ，q ）

Eviews 中建立（G ）ARCH 模型的方法与一般GARCH （p ，q ）的建模过程相同，只需将条件方差h 或标准差纳入主体回归或其他形式的方程。操作时，只需将条件异方差定义对话框中ARCH-M 进行相应选择：None-表示在回归模型中不加入h , std.dev-表示加入，variance-加入h ，在结果输出窗口中，SQR （GARCH ）后的系数是或h 系数的估计值。

2.TARCH 模型

TARCH （Threshold ARCH）模型最先由Zakdiam(1990年) 提出，其条件方差为

q 22αε∑j t -j t -1t -1=α+t t t t t t h +ϕεd

其它t 0j =1+∑θi h t -i i =1ε{d 是一个名义变量 d = i t p 10

用Eviews 估计TARCH 模型时，对条件异方差定义对话框中，在ARCH specification 中点TARCH 项即可。输出结果中的(RESID

3.EGARCH 模型

Exponential-GARCH 指的GARCH 模型。由Nelson 与1991年提出。条件方差

εq +ψ) +∑θlog(h ) log(h ) =α+∑(αh h q t -j t -j p

t 0j j i t -i

j =1t -j t -j i =1

模型中条件方差采用了自然对数形式，意味着在非负且杠杆效应是指数型的。若ψ≠0，说明信息作用非对称。ψ

另外还有成分（Component ）ARCH 模型、多变量ARCH 模型，详见易丹辉Eviews 与数据分析。

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