初三数学探索三角形相似的条件
课 题:探索三角形相似的条件
教学目标:
1.在学习了两个三角形相似定义和预备定理的基础上,让学生通过类比两个三角形全 等的条件的简化过程,猜想并证明两三角形相似的条件.
2.在借助“叠合法”转化为使用“预备定理”证明命题的探索过程中,充分发展学生的类比、合作、交流能力.
3.整体上了解判定三角形相似方法,充分认识到两个三角形相似的判定方法与两个三角形全等的条件的相似性.
教学重点:三角形相似的条件的探索.
教学难点:理解和运用“叠合法”证明相似三角形的判定定理.
教学过程:
一、学知生成:
1.我们已经学习了特殊条件下判定两三角形的方法——“预备
定理”,哪位同学能结合图形告诉老师:“预备定理”的条件和
结论各是什么?
(学生应该能顺利回答出:如图1,△ABC中,直线DE交边
AB、AC于D、E两点,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC.)
2.如何证明图形中两三角形相似?
3.在预备定理中,由条件DE∥BC可以推出:相似三角形定义中三组角对应相等,三组边对应成比例,即满足六个元素需要的条件.所以使用很简便.那么还有其他判定两三角形相似的简便方法吗?
(教师可适当引导:我们知道,全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形。大家先回忆:判定三角形全等时由定义中的三组边对应相等、三组角对应相等减少为几组条件?它们分别是 ?
(学生易答出:边边边,边角边,角边角,
角角边,HL)
相似呢?我们能否将相似三角形的定义简
化呢?
如图2,具备哪些条件,能判定两三角形相
似?如何证明你们的猜想?
请同学们以小组为单位,交流讨论.
(教师在黑板上画图后让学生思考讨论.将图2画在图1的右边,引导学生将图2转化成图1的图形,“叠合法”应运而生)
二、学知探究:
B (图1) E C A′ A B C B′(图2)
在学生个人探索研究、小组交流讨论的基础上,全班交流研究成果——猜想的判定命题.
学生以小组为单位汇报讨论结果.
①两边对应成比例,夹角相等的两个三角形相似.
②两角对应相等的两个三角形相似.
③三边对应成比例的两个三角形相似.
④斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
1.老师肯定了同学们根据相似三角形与全等三角形的联系与区别对三角形全等的判定公理及推论中的题设进行了调整,制作了三角形相似的判定命题之后,进一步引导:“同学们制作的四个命题是不是真命题,能否作为判定三角形相似的依据呢?我们是要对这四个命题一一证明的.回忆一下,我们现在判定三角形相似已有哪些依据了?”
(学生们已掌握了两个依据,一是相似三角形的定义,二是“预备定理”.引导学生比较图2与图1的区别与联系,在学生议论的基础上,指导学生学会在大三角形中截得一个与小三角形全等的三角形,即叠合法.)
2.老师适时讲解,启发思路:我们已经掌握了判定三角形相似的两种方法:相似三角形的定义及由定义推出的“预备定理”.这样根据“定义”或“预备定理”均可判定两个三角形相似了.因而证明同学们制作的四个命题的思路,是要将其题设转化为符合“定义”或“预备定理”的题设.现在请同学们观察“预备定理”中图形的特征,研究如何将命题
(1)转化为符合“预备定理”的条件,从而可以用“预备定理”判定三角形相似.
3.学生分析“预备定理”和判定命题1的题设和图形特征:
A A′ 研究如何转化 B E C(图3) B′
“预备定理”图形特征 判定命题1图形特征:两个三角形.
ABAC两个三角形在同一个图形中, 不在同一个图形中,但=, A′B′A′C′
不共线的边DE和BC平行. ∠A=∠A′.
容易想到需要把△A'B'C'(或△ABC)移到△ABC(或△A'B'C')上去,才能满足“预备定理”的图形特征及定理的题设.
4.学生动手实践,尝试通过平移三角形的方法证明,并全班交流想法:
方法一:在△ABC的边AB、AC(或在A'B',A'C'延长线)上,分别截取AD=A'B',AE=A'C'(或A'D=AB,A'E=AC),连结DE就得到与△A'B'C'(或△ABC)全等的△ADE(或△A'DE),这就相当于把△A'B'C'(或△ABC)移到△ABC(或△A'B'C')上去,因而只要证明DE∥BC(或DE∥B'C'),就可根据“预备定理”判定△ADE∽△ABC(或
△A'DE∽△A'B'C'),再根据相似的传递性证得△A'B'C'∽△ABC(或△ABC∽△A'B'C').老师对同学们的这种思路进行了概括:先作“全等三角形”,再证“平行”.
方法二:在△ABC的边AB(或A'B'的延长线)上,截取AD=A'B',(或A'D=AB),过点D作DE∥BC(或DE∥B'C')交AC(或A'C'延长线)于点E,由“预备定理”证得△ADE∽△ABC(或△A'DE∽△A'B'C'),再证得△ADE≌△A'B'C'(或△A'DE≌△ABC),由相似的传递性证得△A'B'C'∽△ABC(或△ABC∽△A'B'C').
这时同学们能自行总结思路:先作“平行”,再证“三角形全等”.
5.概括“叠合法”的证明步骤和原理,总结相似三角形的判定定理
通过以上的实践讨论和适时概括,不仅获得了三角形相似的判定定理:如果两个三角形的两边对应成比例,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.即:如图,
A′
A ABAC =, A′B′A′C′△ABC∽△A'B'C' ∠A=∠A′.
B′ B
(图4)
学生对用“叠合法”来证明三角形相似的判定命题已有了较深刻的理解,接着让学生用叠合法证明“如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似”的方法和规范化的表达.判定命题“两角对应相等的两个三角形相似”及“斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.”的证明就迎刃而解.(作为学生课外作业)
三、学知建构:
1.相似三角形定义 判定三角形相似的预备定理
①两边对应成比例,夹角相等的两个三角形相似. 三角形相似的判定定理 ②两角对应相等的两个三角形相似.
③三边对应成比例的两个三角形相似. ④斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
2.结合图形的符号语言:∵ „„ ∴△ABC∽△A′B′C′
(设计意图:这部分内容是对本节课知识主干的建立和归纳,它将有效地结合板书,块状分布于黑板上,既能体现出知识的探索过程,也能帮助学生理解新知的框架,同时又便于学生进行知识梳理.)
四、学知应用:
1.判定△ABC与△A'B'C'是不是相似,并说明为什么?
(1)∠A=45°,AB=12cm,AC=15cm,
∠A'=45°,A'B'=16cm,A'C'=20cm;
(2)AB=12cm,BC=15cm,AC=24cm,
A'B'=20cm,B'C'=25cm,A'C'=40cm.
2.△ABC中,∠A=47°,AB=1.5cm,AC=2cm,△DEF中,∠E=47°,ED=2.8cm,
EF=2.1cm,这两个三角形相似吗?为什么?如果相似,写出表示式.
3.要做两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?
4.Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=15,BC=9,A'B'= 10,A'C'=8.这
两个三角形相似吗?说明理由.
五、学知巩固:
必做题 :
1.根据下列条件,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由
(1)∠A=40°,AB=8,AC=15,
∠A'=40°,A'B'=16,A'C'=30;
(2)AB=10cm,BC=8 cm,AC=16 cm,
A'B'=16cm,B'C'=12.8 cm,A'C'=25.6 cm.
2.图中的两个三角形是否相似?
图⑴ 图⑵
3.底角相等的两个等腰三角形是否相似?顶角相等的两个等腰三角形呢?证明你的结论.
4.如图,Rt△ABC中,CD是斜边上的高,△ACD和△CBD都和
△ABC相似吗?证明你的结论.
选做题:如上图,AC⊥BC,CD⊥AB于点D,你发现图中有哪些成
比例的线段?证明你的发现.
六、板书:
探索三角形相似的条件
1.三角形相似的判定预备 图形1. 图形2. 图形3. 图形4. 定理; ………..…………..…………..…………..…2.三角形全等的判定方 …….. …….. …….. …….. 法:ASA,AAS,SAS,SSS ……….. ……….. ……….. ……….. 3.三角形相似的判定方 法:AA,SAS,SSS,HL.
设计思考:
我们根据学生的实际和知识之间的内在联系,突出了“类比”的思想方法,在知识的“生成” 上下功夫,重新整合了教学内容.首先回顾相似三角形判定的预备定理和相似三角形定义,从学生的已有认知基础很自然的得出“两角对应相等两三角形相似”.其中渗透了“一般”与“特殊”的内在联系.再类比三角形全等的判定公理,让学生放飞思维,运用类比方法自主制作新命题.而后引导学生设法证明类比得到的命题,对学生进行严谨的科学态度的教育.学生对于“叠合法”是陌生的,但是只要我们启发得当,讲解到位,充分发挥了学生学习的主体意识,发扬了学生学习创造的潜能,因而学生的知识、智力、能力、方法得到了充分的发展,加之生生间、师生间的交流、互助、合作,使得学生的学习达到了他们的“最近发展区”.这样不仅用“叠合法”证明了判定定理一,而且学生能迁移到其他判定命题的证明,从而建立了完整的“三角形相似的判定方法”的完整体系,并且掌握了一种新的证题方法“叠合法”.学生获得了成就,必将激发后续课运用判定定理去解决问题的积极主动性.本节课的教学不是“教教材”而是“用教材”,革除了单向的传输,整齐划一的要求,实现了纯演绎推断向自主探究、自然生成的转变.