一阶电路的阶跃响应
实验二 一阶电路的阶跃响应
预习要求：
1、 掌握一阶电路的阶跃响应理论。
2、了解SR071B 双踪示波器的使用，阅读附录1相关章节。
一、实验目的
1、用示波器研究RC 、RL 电路阶跃响应的基本规律、特点以及电路时间常数τ对响应的影响，加深对所学相关知识的理解。
2、 学习用实验方法求取时间常数τ。
二、实验设备
FG1617函数信号发生器 1台 SR071B 双踪示波器 1台
RLC 元件箱（电阻200Ω/500Ω/1kΩ，电感100mH ，电容0.1μF/0.4μF/0.6μF ，
元件误差±0.5%） 1台
导线若干
三、实验原理
1、含有L 、C 储能元件（动态元件）的电路，当电路有换路过程时，其响应由一个稳态变化到另一个稳态，这种变化在通常情况下不能瞬间完成，而必须经过一定时间的过渡过程。在这个过渡过程之内，电路中的响应可以由微分方程求解。凡是可用一阶微分方程描述的电路，称为一阶电路。一阶电路通常由一个储能元件和若干个电阻元件组成。
2、电路在无激励情况下，由储能元件的初始状态引起的响应称为零输入响应。在图2-1中，电路中的动态元件（电容）有初始状态u C (0-)=U 0，开关S 在t =0时合上，则电容的初始电压u C (0-) 经R 放电。由方程
RC
du C dt
+u C =0, t ≥0
初始值
u C (0+) =u C (0-) =U 0
可以得出电容器上的电压和电流随时间变化的规律：
-t
u C (t ) =u C (0+)e
τ
V , t ≥0
i C (t ) =-
u C (0+) R
-
t
e
τ
A , t ≥0 τ=RC
上式表明，零输入响应是初始状态的线性函数。其中，τ=RC 具有时间的量纲，称为时间常数，它是反映电路过渡过程快慢的物理量。τ越大，暂态响应所持续的时间越长，即过渡过程的时间越长，反之，τ越小，过渡过程的时间越短。一般经过4τ到5τ，即可认为过渡过程已经结束。
C (t )
C (t )
图2-1 一阶RC 电路的零输入响应 图2-2 一阶RC 电路的零状态响应
3、当电路中储能元件初始值为零（即零初始状态），且换路后有激励作用时的响应称为零状态响应。对于图2-2所示的一阶电路，u C (0-)=0，当t =0时开关S 合上，直流电源经R 向C 充电。由方程
RC
du C dt
+u C =U S , t ≥0
初始值
u C (0+) =0
可以得出电容的电压和电流随时间变化的规律；
-t
u C (t ) =U S (1-e i C (t ) =
U
S
-t
τ
) V , t ≥0
R
e
τ
A , t ≥0 τ=RC
上述式子表明，零状态响应是输入的线性函数，但过渡过程变化的快慢仍然由时间常数τ=RC 决定。
4、电路在换路后由激励和非零初始状态共同作用下引起的响应称为全响应，对图2-2所示的电路，u C (0-)=U 0，当t =0时合上开关S ，则描述电路的微分方程为
RC
du C dt
+u C =U S , t ≥0
初始值为
u C (0+) =U 0
可以得出全响应
-t
u C (t ) =U S (1-e
τ
-
t
) +u C (0+)e
τ
V , t ≥0
(零状态分量) + (零输入分量)
-
t
=[U S -u C (0+)]e
τ
-
t
) +U S e
τ
V , t ≥0
(自由分量) + (强制分量)
i C (t ) =
U S R
-t
e
τ
-
u C (0+) R
-
t
e
τ
A , t ≥0
(零状态分量) + (零输入分量)
=[U
S
R
-
u C (0+) R
-
t
]e
τ
A , t ≥0
(自由分量)
上式表明
（1）全响应是零状态分量和零输入分量之和，它体现了线性电路的叠加性。 （2）全响应也可以看成是自由分量和强制分量之和，自由分量的起始值与初始状态和激励有关，而随时间变化的规律仅仅决定于电路的R 、C 参数（即时间常数τ）。强制分量则仅与激励有关。当t →∞时，自由分量趋于零，过渡过程结束，电路进入稳态。
对于上述零状态响应、零输入响应和全响应的过程，u C (t ) 和i C (t ) 的波形只有用长余辉示波器才能直接显示出来，普通示波器难于观察。
如用方波信号源激励，RC 电路的方波响应，在电路的时间常数远小于方波周期时，前半周期激励作用时的响应就是零状态响应，得到电容充电曲线；而后半周期激励为0，相当于电容通过R 放电，电路响应转换成零输入响应，得到电容放电曲线。
为了清楚地观察到响应的全过程，应使方波的半周期和时间常数RC 保持T /2 ≥ 5τ的关系。由于方波是周期信号，可以用普通示波器显示出稳定的图形（图2-3）。充电曲线当幅值上升到最大值的63.2%和放电曲线幅值下降到初始值的36.8%所对应的时间即为一个τ。当我们在示波器上观察到响应波形时，可根据示波器测时间的原理求得τ值。
u (t )
u S (t )
C (t )
1 x (t )
T
图2-3 方波激励作用下RC 一阶电路电容电压波形
图中：设方波的半周期在横轴上的长度为x 1、τ对应的长度为x 2，则
τ=
x 2T ⋅ x 12
四、实验内容及步骤
1、以FG1617函数发生器输出的方波信号源作激励电源，用元件箱中可调电阻、电容组成RC 串联电路。
1、调节方波频率f =200Hz，用示波器观察并绘出该方波波形。
2、 RC 串联电路中，取R =1kΩ，C 分别为0.1μF 、0.4μF 和0.6μF ，用示波器分别观察并绘出U C 及U R 波形，测量电路的相应时间常数τ，数据记入表2-1。
3、 保持激励电源为频率f =200Hz的方波，用元件箱中的电感与电阻组成RL 串联电路。用示波器分别观察并绘制L ≈100mH ，R =200Ω及500Ω时的U R 及U L 波形，分析它是否与理论相符。
五、实验报告要求
1、 实验电路及原理说明。
2、 绘制不同时间常数τ时的波形图。
3、 理论计算RC 电路的时间常数τ，并与测量值进行比较。 4、 实验结论。