2014年全国各地高考文科数学试题分类汇编:立体几何

2014年全国各地高考文科数学试题分类汇编：立体几何

一、选择填空题

1．[2014·福建卷3] 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )

A ．2π B ．π C ．2 D ．1 【答案】A

2．[2014·浙江卷3] 某几何体的三视图(单位：cm) 如图所示，则该几何体的体积是(

)

图1-1

A ．72 cm3 B ．90 cm3 C ．108 cm3 D ．138 cm3 【答案】B

13．[2014·四川卷4] 某三棱锥的侧视图、俯视图如图1-1所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：V ＝Sh ，其中S 3

为底面面积，h 为高)( )

图1-1 A ．3 B ．2 C. 3 D ．1【答案】D

4．[2014·辽宁卷4] 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )

A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n

C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 【答案】B

5．[2014·陕西卷5] 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )

A ．4π B ．3π C ．2π D ．π 【答案】C

6．[2014·浙江卷6] 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )

A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α B ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥α

C ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥α D ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α【答案】C

7．[2014·全国卷4] 已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )

1313A. C. D. 【答案】B 6633

8．[2014·新课标全国卷Ⅱ6] 如图1-1，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(

)

图1-1

175101A. B. C. 【答案】C 279273

9．[2014·湖北卷10] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥

1的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈L 2h . 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么，36

2近似公式V 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) 75

2225157355A. C. D. 【答案】B 7850113

10．[2014·新课标全国卷Ⅱ7] 正三棱柱ABC - A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC 中点，则三棱锥A - B 1DC 1的体积为( )

33A ．3 B. C ．1 D. 【答案】C 22

11．[2014·安徽卷8] 一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的体积是(

)

图1-2 2347A. C ．6 D ．7 【答案】A

36

12．[2014·湖北卷7] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O -xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2) ，(2，2，0) ，(1，2，1) ，(2，2，2) ．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(

)

2

A ．①和② B ．③和①C ．④和③ D ．④和② 【答案】D

13．[2014·辽宁卷7] 某几何体三视图如图1-2所示，则该几何体的体积为( )

图1-2

ππA ．8－ B ．8－ C ．8－π D ．8－2π 【答案】C 42

14．[2014·重庆卷7] 某几何体的三视图如图1-2

(

)

1-2

A

．12 B ．18 C ．24 D ．30 【答案】C

15．[2014·辽宁卷

7] 某几何体三视图如图( )

图1-2

ππA ．8－ B ．8－ C ．8－π D ．8－2π【答案】C 42

16．[2014·全国新课标卷Ⅰ8] 如图1-1，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )

A ．三棱锥 B ．三棱柱 C ．四棱锥 D ．四棱柱 【答案】B

17．[2014·湖南卷8] 一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最

大球的半径等于( )

图1-2

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B

18．[2014·湖南卷8] 一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(

)

图1-2

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B

19．[2014·全国卷10] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )

81π27πA. B ．16π C ．9π 【答案】A

44

20．[2014·浙江卷10] 如图1-3，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角) ．若AB ＝15 m，AC ＝25 m，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是(

)

图1-3 A. 303045 B. C. D. 【答案】D 51099

S 921．[2014·江苏卷8] 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2. 若它们的侧面积相等，且S 24

V 3则的值是________．【答案】 V 22

22．[2014·天津卷10] 一个几何体的三视图如图1-2所示(单位：m) ，则该几何体的体积为________m3. 【答案】 20π3

23．[2014·北京卷11] 某三棱锥的三视图如图1-3________．【答案】2

图1-3

24．[2014·山东卷13] 一个六棱锥的体积为3，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．【答案】12

三、解答题

1． [2014·安徽卷19] 如图1-5所示，四棱锥P - ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217. 点G ，E ，

F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH

.

图1-5

(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．

解： (1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .

同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .

(2)连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .

因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD . 又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在平面ABCD 内，所以PO ⊥平面ABCD .

又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .

因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，所以GK ⊥平面ABCD .

又EF ⊂平面ABCD ，所以GK ⊥EF ，所以GK 是梯形GEFH 的高．

由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，

111从而KB ＝DB ，即K 是OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ， 422

1所以G 是PB 的中点，且GH ＝4. 由已知可得OB ＝2，PO ＝PB －OB ＝68－32＝6， 2

GH ＋EF 4＋8所以GK ＝3，故四边形GEFH 的面积S ＝·GK ＝×3＝18. 22

2．[2014·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P ­ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD π1＝，M 为BC 上一点，且BM ＝32

(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥

图π解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形的中心，连接OB ，则AO ⊥OB . 因为∠BAD 3

π所以OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin ＝1. 6

2ππ3112222⎛1又因为BM ，且∠OBM ＝在△OBM 中，OM ＝OB ＋BM －2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝1＋⎝2－2×1×cos 23234

所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM .

又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC . 从而BC

OM ，PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM . (2)由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝2×cos 3. 6

设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD ，知△POA 为直角三角形，故P A 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3.

3又△POM 也是直角三角形，故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋. 连接AM ，在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos 4

22π2112⎛1∠ABM ＝2＋⎝2－2×2cos 234

321由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形，则P A 2＋PM 2＝AM 2，即a 2＋3＋a 2＋ 44

333解得a 或a ＝－(舍去) ，即PO . 222

1111135 3此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝AO ·OB ·BM ·OM ＝3×1＋××. 2222228

115 335所以四棱锥P -ABMO 的体积V 四棱锥P -＝ABMO ＝·S 四边形ABMO ·PO ＝×338216

3．

[2014·陕西卷17] 四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，

DC ，CA 于点E ，

F ，G

，H

.

图1-4

(1)求四面体ABCD 的体积；(2)证明：四边形EFGH 是矩形．

解：(1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，

112∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 的体积V ＝×2×2×1. 323

(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩ 平面ABC ＝EH ，

∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形． 又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ，∴四边形EFGH 是矩形．

4．[2014·湖南卷18] 如图1-3所示，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A

，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．

解：(1)证明：如图，因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB .

连接BD ，由题设知，△ABD

AB . 而DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平面ODE . (2)因为BC ∥AD ，所以BC 与OD 是BC 与OD 所成的角．

由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE . 又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α-MN -β的平面角，从而∠DEO ＝60°. 不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝3在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin 60°＝. 2

3

DO 23连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝. AD 24

3故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为. 4

5．[2014·北京卷17] 如图1-5，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．

图1-5

(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ；(3)求三棱锥E ­ ABC 的体积．

解：(1)证明：在三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB .

又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.

(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG

.

11因为E ，F ，G 分别是A 1C 1，BC ，AB 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝，EC 1＝A 1C 1. 22

因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形，所以C 1F ∥EG . 又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .

(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC －BC ＝3.

1113所以三棱锥E - ABC 的体积V ＝△ABC ·AA 1＝××3×1×2＝3323

6．[2014·湖北卷20] 如图1-5，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，DD 1，BB 1，A 1B 1，A 1D 1的中点．求证：(1)直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)直线AC

⊥平面PQMN .

证明：(1)连接AD 1，由ABCD - A 1B 1C 1D 1是正方体，知AD 1∥BC 1.

因为F ，P 分别是AD ，DD 1的中点，所以FP ∥AD 1，从而BC 1∥FP .

而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC

∥平面EFPQ . (2)如图，连接AC ，BD ，A 1C 1，则AC ⊥BD .

由CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得CC 1⊥BD .

又AC ∩CC 1＝C ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，而AC 1⊂平面ACC 1A 1，所以BD ⊥AC 1.

因为M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点，所以MN ∥BD ，从而MN ⊥AC 1，同理可证PN ⊥AC 1.

又PN ∩MN ＝N ，所以直线AC 1⊥平面PQMN .

7．[2014·江苏卷16] 如图1-4所示，在三棱锥P - ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.

求证：(1)直线P A ∥平面DEF ；(2)平面BDE ⊥平面ABC .

图1-4

AC 中点 ∴DE ∥P A E 为PC ，解：（1）∵D ，

∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF

AC 中点 ∴DE =1PA =3 E 为PC ，（2）∵D ，2

AB 中点 ∴EF =1BC =4 F 为AC ，∵E ，2

∴DE +EF =DF ∴∠DEF =90°，∴DE ⊥EF 222

PA ⊥AC ，∴DE ⊥AC ∵DE //PA ，

∵AC EF =E ∴DE ⊥平面ABC

∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．

8．[2014·福建卷19] 如图1-6所示，三棱锥A ­ BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .

(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A - MBC 的体积．

图1-6

解：方法一：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .

又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，∴CD ⊥平面ABD .

(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD .

111∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD . ∵M 是AD 的中点，∴S △ABM ＝S △ABD ＝. 224

由(1)知，CD ⊥平面ABD ，∴三棱锥C - ABM 的高h ＝CD ＝1，

11因此三棱锥A - MBC 的体积V A -＝V ＝S ·h ＝­△ MBC C ABM 3ABM 12

方法二：(1)同方法一．

(2)由AB ⊥平面BCD ，得平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD .

11如图所示，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ，则MN ⊥平面BCD ，且MN ＝AB ＝. 22

1又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1，∴S △BCD 2

111∴三棱锥A - MBC 的体积V A ­ MBC ＝V A ­ BCD －V M ­ BCD ＝·S △BCD －MN ·S △BCD ＝3312

9．[2014·新课标全国卷Ⅱ18] 如图1-3，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．

(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD 3，三棱锥P - ABD 的体积V ＝3，求A 到平面PBC 的距离．

4

图1-3

解：(1)证明：设BD 与AC 的交点为O ，连接EO

.

因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．

又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ，EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，

所以PB ∥平面AEC .

11333(2)V ＝××P A ×AB ×AD AB ，由V ＝，可得AB ＝32642

作AH ⊥PB 交PB 于点H ，由题设知BC ⊥平面P AB ，所以BC ⊥AH ，

P A ·AB 13因为PB ∩BC ＝B ，所以AH ⊥平面PBC ，又AH ＝， PB 13

313所以点A 到平面PBC 的距离为13

10．[2014·广东卷18] 如图1-2所示，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，作如图1-3折叠：折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .

(1)证明：CF ⊥平面MDF ；(2)求三棱锥M - CDE 的体积．

图1-2 图1-3

解:(1)证明:PD ⊥平面ABCD , PD ⊂PCD , ∴

平面PCD ⊥平面

ABCD ,

平面PCD 平面ABCD =CD , MD ⊂平面ABCD , MD ⊥CD , ∴MD ⊥平面PCD , CF ⊂平面PCD , ∴

CF ⊥MD , 又CF ⊥MF , MD , MF ⊂平面MDF , MD ∴CF ⊥

平面MDF .

11

(2)CF ⊥平面MDF , ∴CF ⊥DF , 又易知∠PCD =600, ∴∠CDF =

300, 从而

CF =CD =,

22

1

DE CF 1EF ∥DC , ∴

=, , ∴DE =∴PE =S ∆CDE =CD ⋅DE =D P CP 22MD ===2=MF =M ,

11∴V M -CDE =S ∆CDE ⋅MD ==.

331

11．[2014·山东卷18] 如图1-4所示，四棱锥P ­ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝AD ，E ，F 分别为线

2段AD ，PC 的中点．

图1-4

(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：BE ⊥平面P AC .

证明：(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC . 由于E 为AD 的中点，

1

AB ＝BC ＝，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，所以O 为AC 的中点．

2

又在△P AC 中，F 为PC 的中点，所以AP ∥OF ，又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， 所以AP ∥平面BEF .

(2)由题意知，ED ∥BC ，ED ＝BC ，所以四边形BCDE 为平行四边形，所以BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，所以AP ⊥BE . 因为四边形ABCE 为菱形，所以BE ⊥AC .

又AP ∩AC ＝A ，AP ，AC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面P AC . 12．[2014·江西卷19] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1.

(1)求证：

A 1C ⊥CC 1；

(2)若AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，问AA 1为何值时，三棱柱ABC - A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．

解：(1)证明：由AA 1⊥BC 知BB 1⊥BC . 又BB 1⊥A 1B ，故BB 1⊥平面BCA 1，所以BB 1⊥A 1C . 又BB 1∥CC 1，所以A 1C ⊥CC 1.

(2)方法一：设AA 1＝x . 在Rt △A 1BB 1中，A 1B ＝A 1B 1－BB 1＝4－x .

同理，A 1C ＝A 1C 1－CC 1＝3－x .

A B 2＋A C 2－BC 2x 2

在△A 1BC 中，cos ∠BA 1C ＝ 2A 1B ·A 1C （4－x ）（3－x ）

sin ∠BA 1C 12－7x ，

（4－x ）（3－x ）

12－7x 1

所以S △A 1BC ＝1B ·A 1C ·sin ∠BA 1C .

22

x 12－7x 从而三棱柱ABC - A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝.

2

2

3626⎫⎛因为x 12－7x ＝12x －7x ＝－7⎝x －7⎭＋， 7

42423所以当x AA 1＝V .

7777

(2)方法二：过A 1作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD .

由AA 1⊥BC ，A 1D ⊥BC ，得BC ⊥平面AA 1D ，故BC ⊥AD . 又∠BAC ＝90°，

11221

所以S △ABC AD ·BC ＝

·AC ，得AD 227

设AA 1＝x . 在Rt △AA 1D 中，

2

x ， 7

12－7x 1

S △A 1BC ＝A 1D ·BC ＝22A 1D AD －AA 1＝

x 12－7x 从而三棱柱ABC - A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝. 因为x 12－7x ＝12x －7x ＝

2

6⎫2362⎛－7⎝x －7⎭＋，

742423所以当x AA 1＝V .

7777

13．[2014·辽宁卷19] 如图1-4所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点．

(1)求证：EF ⊥平面BCG ；(2)求三棱锥D -BCG 的体积．

1

附：锥体的体积公式V ，其中S 为底面面积，h 为高．

3

解：(1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC . 又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD ，

同理BG ⊥AD . 又BG ∩CG ＝G ，所以AD ⊥平面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .

(2)在平面ABC 内，作AO ⊥CB ，交CB 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BDC .

又G 为AD 的中点，所以G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半． 在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 603，所以

11131

V 三棱锥D -＝V ＝·S ·h BD ·BC ·sin 120°·. 三棱锥△BCG G -BCD DBC

33222

14．[2014·全国新课标卷Ⅰ19] 如图1-4，三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C

.

图1-4

(1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高．

解：(1)证明：连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点． 因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1. 又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ， 由于BC 1∩AO ＝O ，故B 1C ⊥平面ABO . 由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB .

(2)作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD . 作OH ⊥AD ，垂足为H .

由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，且AO ∩OD ＝O ，故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC . 又OH ⊥AD ，且AD ∩BC ＝D ，所以OH ⊥平面ABC .

因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形，又BC ＝1，可得OD ＝11

因为AC ⊥AB 1，所以OA 1C ＝22由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD OD ＋OA ＝

721

，得OH ＝414

2121

. 故三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高为.

77

3

4

又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为

15．[2014·四川卷18] 在如图1-4所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．

(1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1.

(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．

图1-4

解：(1)证明：因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC . 因为AB ，AC 为平面ABC 内的两条相交直线，所以AA 1⊥平面ABC .

因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC . 又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内的两条相交直线， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.

(2)取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C

，设O 为A C ，AC 1的交点．

由已知，O 为AC 1的中点．

11

连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊AC ，OE 綊AC ，因此MD 綊OE .

22

连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，所以DE ∥MO .

因为直线DE ⊄平面A

1MC ，MO ⊂平面A 1MC ，所以直线DE ∥平面A 1MC . 即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点) ，使直线DE ∥平面A 1MC . 16．[2014·天津卷17] 如图1-4所示，四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD 2，AD ＝2，P A ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．

(1)证明：EF ∥平面P AB ； (2)若二面角P -AD -B 为60°.

(i)证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；

(ii)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．

1

解：(1)证明：如图所示，取PB 中点M ，连接MF ，AM . 因为F 为PC 中点，所以MF ∥BC ，且MF . 由已知有BC ∥AD ，

2

BC ＝AD ，又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM . 又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .

(2)(i)证明：连接PE ，BE . 因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，所以PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P - AD -B 的平面角．在△P AD 中，由P A ＝PD ＝5，AD ＝2，可解得PE ＝2. 在△ABD 中，由BA ＝BD 2，AD ＝2，

可解得BE ＝1. 在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60˚，由余弦定理，可解得PB 3，从而∠PBE ＝90˚，即BE ⊥PB . 又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC . 又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .

(ii)连接BF ，由(i)知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB ＝3及已知，得∠ABP

131111BE 11

为直角，而MB ＝PB ＝，可得AM ＝EF ＝. 又BE ＝1，故在直角三角形EBF 中，sin ∠EFB ＝＝2222EF 11

211

所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为11

17．[2014·浙江卷20] 如图1­5，在四棱锥A ­ BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC 2.

图1-5

(1)证明：AC ⊥平面BCDE ；(2)求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值．

解：(1)证明：连接BD ，在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2，得BD ＝BC ＝2，由AC 2，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC

.

又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE .

(2)在直角梯形BCDE 中，由BD ＝BC 2，DC ＝2，得BD ⊥BC . 又平面ABC ⊥平面BCDE ，所以BD ⊥平面ABC .

作EF ∥BD ，与CB 的延长线交于点F ，连接AF ，则EF ⊥平面ABC . 所以∠EAF 是直线AE 与平面ABC 所成的角．

π22

在Rt △BEF 中，由EB ＝1，∠EBF ＝，得EF ＝BF ＝；

4223226

在Rt △ACF 中，由AC 2，CF ，得AF ＝22在Rt △AEF 中，由EF ＝

226AF ＝，得tan ∠EAF ＝2213

13

. 13

18．[2014·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P ­ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD π1＝，M 为BC 上一点，且BM ＝32

(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥

所以，直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值是

图π

解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形的中心，连接OB ，则AO ⊥OB . 因为∠BAD 3

π

所以OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin ＝1.

6

2

ππ112222⎛1⎫又因为BM ＝，且∠OBM ＝，在△OBM 中，OM ＝OB ＋BM －2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝1＋⎝2⎭－2×1××2323

3

＝，所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM . 4

又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC . 从而BC 与平面POM 内的两条相交直线OM ，PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM .

(2)由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝2×cos 3.

6

设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD ，知△POA 为直角三角形，故P A 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3.

3

又△POM 也是直角三角形，故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋. 连接AM ，在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos

4

2

2π2112⎛1∠ABM ＝2＋⎝2－2×2cos 234

321

由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形，则P A 2＋PM 2＝AM 2，即a 2＋3＋a 2＋

44

333

解得a 或a ＝－(舍去) ，即PO .

222

1111135 3

此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝AO ·OB ·BM ·OM ＝3×1＋××.

2222228

115 335

所以四棱锥P -ABMO 的体积V 四棱锥P -＝ABMO ＝·S 四边形ABMO ·PO ＝×338216

19．[2014·全国卷19] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.

(1)

证明：AC 1⊥A 1B ；(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3，求二面角A 1 ­ AB ­ C 的大小．

图1-1

解：方法一：(1)证明：因为A 1D ⊥平面ABC ，A 1D ⊂平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC . 又BC ⊥AC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .

连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B

.

(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1， 故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1.

作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1.

又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，即A 1E 3. 因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，故A 1D ＝A 1E ＝3.

作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F . 由三垂线定理得A 1F ⊥AB ， 故∠A 1FD 为二面角A 1­ AB ­ C 的平面角．

由AD ＝AA 1－A 1D ＝1，得D 为AC 中点，

所以DF ＝

5A D

，tan ∠A 1FD ＝15， 5DF

1

所以cos ∠A 1FD 4

1

所以二面角A 1­ AB ­ C 的大小为4

方法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直线坐标系C - xyz . 由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内．

→→→

(1)证明：设A 1(a ，0，c ) ，由题设有a ≤2，A (2，0，0) ，B (0，1，0) ，则AB ＝(－2，1，0) ，AC ＝(－2，0，0) ，AA 1

→→→→

＝(a －2，0，c ) ，AC 1＝AC ＋AA 1＝(a －4，0，c ) ，BA 1＝(a ，－1，c ) ．

→

由|AA 1|＝2，得（a －2）＋c ＝2，即 a 2－4a ＋c 2＝0. ①

→→

又AC 1·BA 1＝a 2－4a ＋c 2＝0，所以AC 1⊥A 1B . (2)设平面BCC 1B 1的法向量m ＝(x ，y ，z ) ， →→→

则m ⊥CB ，m ⊥BB 1，即m ·CB ＝0，m ·BB 1＝0.

→→→

因为CB ＝(0，1，0) ，BB 1＝AA 1＝(a －2，0，c ) ，所以y ＝0，且(a －2) x ＋cz ＝0.

→

|CA ·m |→→

令x ＝c ，则z ＝2－a ，所以m ＝(c ，0，2－a ) ，故点A 到平面BCC 1B 1的距离为|CA |·|cos〈m ，CA 〉|＝|m |2c

＝c .

c ＋（2－a ）又依题设，A 到平面BCC 1B 13，所以c 3， →

代入①，解得a ＝3(舍去) 或a ＝1，于是AA 1＝(－1，03) ．

→→→→

设平面ABA 1 的法向量n ＝(p ，q ，r ) ，则n ⊥AA 1，n ⊥AB ，即n ·AA 1＝0，n ·AB ＝0， 所以－p 3r ＝0，且－2p ＋q ＝0. 令p ＝3，则q ＝2 3，r ＝1，所以n ＝(3，2 3，1) ． 又p ＝(0，0，1) 为平面ABC 的法向量，故

n ·p 11

cos 〈n ，p 〉＝，所以二面角A 1 ­ AB ­ C 的大小为.

|n ||p |44