演绎推理与小学数学教学_汤雪峰

汤雪峰（江苏省扬州市广陵区教育局）

数学是一门重要的基础学科，“如果没有数学，全部现代技术都是不可能的。”数学学习的价值至少体现在这样几个方面：一是数学能够解决很多实际问题；二是数学有趣，能给人带来愉悦；三是数学能增长智慧，有些数学知识未必在我们的工作和生活中能直接应用，但是在这些知识的学习过程中，思维获得了训练。也就是说，数学知识背后的思想方法赋予人探索世界的力量。数学推理是一种重要的数学思想方法，陈省身甚至认为“数学的主要方法，是逻辑的推理”。

在小学数学教学中，我们往往需要从一些已有的判断推出新的判断，进而揭示许多无法直接感知的真理。例如，“偶数没有最大的”、“分数单位没有最小的”、“在一个三角形中不可能有2个钝角”等判断都是需要通过推理得到的。推理是指由一个或几个已知判断推出新判断的思维形式。在一个推理中，那些已知的、作为推理的出发点的判断叫做推理的前提，根据前提推出的新判断叫做推理的结论。例如，平行四边形对边平行，所以，有一组对边不平行的四边形不是平行四边形。在这个推理中，“平行四边形对边平行”是推理的前提，“有一组对边不平行的四边形不是平行四边形”是推理的结论。

在数学家眼里，单说“推理”一词时，一般就是指“演绎推理”。

一、演绎推理的表现形式

演绎推理有多种不同的表现形式。在小学数学中，比较常见的演绎推理有直接推理、三段论、关系推理、选言推理、假言推理等不同推理形式。其中，三段论、关系推理、选言推理、假言推理等都属于间接推理。

1.直接推理。

直接推理是指以一个判断作为前提推出结论的演绎推理。例如，所有的正方形都是四边形，所以，有些四边形是正方形。

小学数学中常见的直接推理有这样两类：

（1）根据对当关系的直接推理。对当关系主要包括矛盾关系、反对关系、下反对关系、和差关系等关系。例如，从“所有的自然数都是整数”推出“不存在自然数不是整数”。

（2）运用判断变形的直接推理。这样的推理方法主要有换质法、换位法和换质位法等。例如：

①因为，能被2整除的数都是偶数，所以，能被2整除的数都不是奇数。（换质法）

②因为，有些长方形是菱形，所以，有些菱形是长方形。（换位法）

③所有的两位质数都是奇数（原命题），所有的两位质数都不是偶数（换质），所以，所有的偶数都不是两位质数（换质位）。

2.三段论。

三段论是指由性质判断构成的有两个前提和一个结论的演绎推理。例如，所有的长方形都是平行四边形，所有的正方形都是长方形，所以，所有的正方形都是平行四边形。整个推理由3个性质判断构成，共包含了3个不同的概念，每个概念都作为主项或者谓项出现在3个判断中。其中结论的主项（这里是“正方形”）称为小项，结论的谓项（这里是“平行四边形”）称为大项，除小项和大项外出现在两个前提中的另一概念（这里是“长方形”）称为中项。在三段论的两个前提中，含有大项的前提叫做大前提，含有小项的前提叫做小前提。

实际运用三段论时，它的大前提、小前提或结论都可能被省略。这就是三段论的省略式。例如：

A B

图1

D C

如图1，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD 和BC 相等。

这里省略了大前提“平行四边形对边相等”。在这个三段论中，小项是“AD 和BC ”，大项是“相等的线段（边）”，中项是“对边”，大前提是“平行四边形对边相等”，小前提是“AD 和BC 是平行四边形ABCD 的一组对边”，结论是“AD 和BC 相等”。

3.关系推理。

关系推理又称为关系判断的推理，是指以关系判断作为前提或结论的演绎推理。

前提和结论都是关系判断的推理称为纯关系推理。纯关系推理的根据是关系的逻辑特征——对称性、自反性和传递性。例如：

（1）1升=1000毫升，所以1000毫升=1升。（对称性关系推理）

（2）a ≥b ，b ≥a ，所以，a =b 。（自反性关系推理）

（3）a ≥b ，b ≥c ，所以a ≥c 。（传递性关系推理）

以一个关系判断和一个性质判断为前提，推出一个关系判断作为结论的推理称为混合关系推理，也称为关系三段论。例如，末尾是0的整数都是5的倍数，20是末尾是0的整数，所以，20是5的倍数。

苏教版一年级上册第78页有这样一道习题（如图2），就是培养学生关系推理

能力的好素材。

8.在○里填“>”“

8=8○05+4○10

6+3○810-5○6

点。这是从数量上看面、棱和顶点。继而通过观察、测量、比较，进一步认识长方体的6个面都是长方形，并且相对的面完全相同；有3组棱，每组4条棱的长度相等。这是从面和棱的关系的角度认识长方体。在此基础上，教学正方体的特征。同样，学生通过观察、比较，容易发现正方体也有6个面、12条棱和8个顶点，正方体的6个面是完全相同的正方形，12条棱长度都相等。显然，教学还需要进一步引导学生认识长方体和正方体之间的关系。因此，以下的问题就显得十分重要：“正方体具有长方体的所有特征吗？”教师可以引导学生借助以下知识之间的联系进行思考：

6个面

长方体正方体

相对的面完全相同所有的面都相同

12条棱相对的棱长度相等所有的棱长度都相等

8个顶点

那么能否判定这个三角形是不是直角三角形？对于这一具体问题的教学，教师可以引导学生展开如下思考和推理（如图3）。

4.选言推理。

选言推理是以选言判断作为一个前提，并且根据选言判断的逻辑特性进行的演绎推理，也称为选言三段论。例如：

①在梯形ABCD 中，AB ∥CD 或AD ∥BC ，这里AB 与CD 不平行，所以AD ∥BC 。

②在梯形ABCD 中，AB ∥CD 或AD ∥BC ，这里AB ∥CD ，所以AD 与BC 不平行。

这两个推理分别是选言推理的否定肯定式和肯定否定式。

5.假言推理。

假言推理是指前提中至少有一个假言判断，并且根据假言判断的逻辑特点来推出结论的演绎推理。

假言推理有4种形式，分别是肯定前件式（简称肯定式）、肯定后件式、否定前件式和否定后件式（简称否定式）。其中肯定前件式和否定后件式是正确的演绎推理，另外两种则不正确。例如：

①如果一个数是6的倍数，则它就是3的倍数，这个数是6的倍数，所以，这个数是3的倍数。（肯定前件式,正确）

②如果一个数是6的倍数，则它就是3的倍数，这个数是3的倍数，所以，这个数是6的倍数。（肯定后件式，不正确）

③如果一个数是6的倍数，则它就是3的倍数，这个数不是6的倍数，所以，这个数不是3的倍数。（否定前件式,不正确）

④如果一个数是6的倍数，则它就是3的倍数，这个数不是3的倍数，所以，这个数不是6的倍数。（否定后件式,正确）

二、演绎推理在教学中的运用在小学数学概念和规则教学中，培养学生的演绎推理能力，以及借助演绎推理的数学思想方法加强概念和规则的教学，对于学生掌握数学知识的来龙去脉、纵横联系，以及数学思想方法具有积极作用。

1.演绎推理与小学数学概念教学。运用概念往往需要推理，通过推理或计算，又有助于培养学生判断推理的能力。

例如，教学“长方体和正方体的认识”时，教材一般先引导学生认识长方体的特征，知道长方体有6个面、12条棱和8个顶

图3

显然，整个推理过程先后运用了选言推理、假言推理、三段论和关系推理等演绎推理形式。

2.演绎推理与小学数学规则教学。在小学数学规则的教学中，我们往往由于对规则理解的深度不够，以合情推理发现规则的过程，代替演绎推理的论证过程，进而削弱了知识的逻辑联系和理解的深度。因此，教师要善于从数学的视角合理选择教学内容，用好教学内容，进而实现教学的优化。

例如，教学“加法交换律”时，我们往往先引导学生通过计算获得等式，比如5+3=3+5，168+356=356+168，12.09+23.7=23.7+12.09，3+23=23+3，……进而归纳出加法交换律为“两个数相加，交换加数的位置，和不变”。这里运用的是不完全归纳推理，所得的结果并不一定是正确的。

我们不妨换一个视角。苏教版一年级上册第52页“10以内的加法和减法”中有如下问题（如图4）：

一方面，学生能看到正方体的面、棱和顶点的个数与长方体相同；另一方面，能清晰地认识正方体不仅相对的面完全相同，而且所有的面都相同，不仅是相对的棱长度相等，而且所有棱的长度都相等。因此，正方体是特殊的长方体。

显然，学生上述两个方面的思考过程和所获得的结论就是一个“因为……，所以……”的演绎推理过程。基于知识本质之间的推理，不仅有助于认识长方体和正方体的特征，而且能够揭示它们之间的内在联系，培养推理能力。

关于圆的特征的教学，各种版本的教材一般都会提及这样三点：在同一个圆中，半径的长度都相等，直径的长度都相等，直径的长度等于半径的2倍。

这一内容较低层次的教学方法是：单纯根据量一量、比一比归纳出结论，或者借助直观教具、多媒体动画的演示等直观的方法或实验的方法得出结论。这样的教学，在学生对数学思想方法的感受和抽象能力培养的要求上，明显不足，也不符合数学的学科特点。

教师在教学时，可以先通过学生画、量、比较，归纳得出结论：半径的长度都相等；然后根据直径和半径的定义（可结合具体图形），推理得出：直径的长度是半径的2倍；接着，根据等量公理“等量的同倍量相等”，由上述两个结论经过演绎推理得出：直径的长度都相等。

再如，已知三角形的一个角不是直角，

图4

这个问题中的内容若用来教学加法交换律，将会为教学赋予新的意义。这里，要求合起来有多少人，“小辣椒”从左往右看，列出算式“5+1”；“西红柿”从右往左看，列出算式“1+5”。将这幅图和这两道算式结合起来，仔细思考后不难发现：这里的“5+1”和“1+5”，可以看作集合论中求集合并的运算，而集合加法服从“交换律：A∪B=B∪A”

。加法交换律从集合的

（下转第25页）

第45页第5题。学生用字母来表示三个连续的自然数，中间的自然数是a ，另外两个自然数分别是a -1和a ＋1，三个连续自然数的和是：a -1＋a ＋a ＋1=3a ，因为a 是自然数，3a 一

结：像这样画圆，无论画多少个圆，所有圆的面积之和总是占正方形面积的78.5%。尝试解释：第二个图中的小圆和第一个图中的大圆相比，小圆的半径缩小为大圆的

教学时，先让学生分别找出每组数的最大公因数，然后总结归纳：如果小数是大数的因数，那么这两个数的最大公因数是小数；如果两个数是互质数，那么这两个数的最大公因数是1。进而举例验证。在此基础上，还可让学生尝试说理：因为两个数的最大公因数是这两个数的公因数中最大的一个，如果小数是大数的因数，那么小数的所有因数都是大数的因数，小数最大的因数是它本身，所以两个数的最大公因数是小数。如果两个数是互质数，那么它们就只有公因数1，因此这两个数的最大公因数就是1。

例9：五年级下册“因数与倍数”单元第36页第14题。

定是3的倍数，对结论进行一般化的解释。用同样的方法学生可以来归纳验证3个连续奇数或偶数的和都是3的倍数。

这样的学习过程既有大量实例交流基础上的归纳推理，又让学生尝试用字母表示数的方法进行演绎推理，学生经历了完整的推理过程。而用同样的方法推理3个连续奇数或偶数的和都是3的倍数的过程，可以看作是探索规律的方法与过程的类比推理。

2.综合运用所学知识进行推理。例10：六年级下册“平面图形的周长和面积总复习”第91页第11题。

，小圆的面积就缩小了4倍，每个小圆

的面积是大圆的面积的

，而第二个图

中4个小圆的面积和就等于第一个图中大圆的面积，所以4个小圆的面积和占正方形面积的78.5%。依此类推，如果像这样正方形内每行画了n 个尽可能大的圆，有n 行，那么就一共画了n 2个小圆，小圆的半径都是第一个图中大圆半径的

，一个

而，这个正方形内

n

2个小圆的面积和就等于大圆的面积，因此n 2个小圆的面积和占正方形面积的78.5%。

在练习教学中，教师一方面要鼓励学生大胆猜想，另一方面要引导学生小心求证，培养学生养成良好的思维习惯，不断发展学生的推理能力。

教学时可让学生自主写出三个连续的自然数，求出3个自然数的和，判断是不是3的倍数。教师追问：“你们所举的例子中有没有发现三个连续自然数的和不是3的倍数的？”引导归纳：三个连续自然数的和都是3的倍数。在此基础上，还可引导

学生独立解答第（1）、（2）题后出示第（3）题，教师提问：“根据刚才的解答，猜一猜这9个圆面积的和占正方形面积的百分之几？”学生猜想，列式计算验证。归纳总

（责任编辑侯正海）

（上接第11页）

角度看则是集合并运算的交换律。这样既体现了对并的逻辑联系，亦是一个演绎推理的过程。

相比之下，通过计算归纳得出加法交换律的教学方法，对于教学内容的逻辑联系缺乏应有的逻辑深度。后者的处理方法，则为加法交换律找到了计算和集合的联系。

又如，教学“长方形、正方形的面积”时，通常是根据面积概念、面积单位及长方形的特征，推导出长方形的面积计算公式；接着，根据长方形的面积计算公式运用演绎推理推出正方形的面积计算公式。整个过程如图5：

这里是先根据“面积概念和面积单位”的一般意义，向多种长和宽是不同的量数的特殊情形的长方形演绎，然后归纳出长方形的面积计算的一般公式。至于正方形的面积计算公式的推导，则是把正方形看作特殊的长方形直接演绎推理获得。

再如，教学圆柱的体积计算公式推导时，可以按照以下步骤展开：首先让学生比较圆柱体和长方体的相同点和不同点，进而认识到，如果把圆柱体的底面圆转化成长方形，那么圆柱也就转化成了长方体。接着通过图6的演示使学生感受到“化圆柱为长方体”的过程，并使学生认识到：转化后的长方体的体积与圆柱的体积相等；转化后的长方体，其底面积与圆柱的底面积相等；转化后长方体的高，与圆柱的高是一样的；可以从长方体的体积计算公式推导出圆柱的体积计算公式。

图6

上述根据长方体的体积计算公式推导圆柱的体积计算公式的过程，即是一个演绎推理的过程。

参考文献：

[1]A.D.亚历山大洛夫，等.数学：它的内容、方法和意义（第一卷）[M].孙小礼，等，译.北京：科学出版社,2001.

[2]数学百科全书编译委员会.数学百科全书（第一卷）[M].北京：科学出版社,1994.

[3]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社,2014.

图5

（责任编辑侯正海）