§4.3 内积.距离与夹角
例4-6 （1）求R 2中向量(1，2) 与(3，-1) 的内积；
（2）求R 3中向量(0，1，4) 与(2，-1，0) 的内积．
解：
(1，2) ·(3，-1)=1×3+2×(-1)=1
(0，1，4) ·(2，-1，0)=0×2+1×(-1)+4×0= -1
例4-7 求R 3中的标准基的内积． 解： R 3中的标准基为：{e 1= (1，0，0) ，e 2= (0，1，0) ，e 3= (0，0，1)}． e 1 e 1·e 1=1；e 2·e 2=1；e 3·e 3=1； ·e 2=0； e 1·e 3=0；e 2·e 3=0．
1 例4-8 求[(α∙α) β-(α∙β) α]∙3α． 3 解：将3α乘进去得：
1 [(α∙α) β-(α∙β) α]∙3α=3(α∙α)(β∙α) -(α∙β)(α∙α) 3 =2(α∙α)(β∙α) 例4-9 求R 5中向量α=(1, 0, -1, 0, 2) 的长度．
解： =α⋅α=2+02+(-1) 2+02+22=6
例4-10 在R 5中求向量(18，4，3，3，-2) ，(14，1，0，2，-3) 之间的距离． 解：
这两个向量之间的距离为
d =-β=
(18-14) +(4-1) +(3-0) +(3-2) +[-2-(-3)]22222
=42+32+32+12+12=6 3例4-11 求R 中求向量α=(4，0，3) ，β=(-
解： =+0+3=5，β=(-3) +3+2
α∙β=4×-3+0×3+3×2=6-43 α∙β6-433-23cos θ=== 5⨯410β42223，3，2) 之间的夹角θ． =4 222
θ=arccos
α∙β 3-2310β=arccos 例4-12 已知α=(1, 2, 1, 1) ，判断(0，0，1，-1) ，(-1，1，-2，1) 是否与α
正交．
分析：本题主要考察两向量正交的充要条件为α⋅β=0．
解：因为
(1，2，1，1) ·(0，0，1，-1)=1-1=0，
所以，这两个向量正交；
又因为
(1，2，1，1) ·(-1，1，-2，1)=-1+2-2-1=0， 所以，这两个向量也正交．