2012年初二数学经典难题
2012年初二数学经典难题
一、解答题（共10小题，满分100分）
1．（10分）已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC 是正三角形．（初二）
2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD 中，AD=BC，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．
求证：∠DEN=∠F ．
3．（10分）如图，分别以△ABC 的边AC 、BC 为一边，在△ABC 外作正方形ACDE 和CBFG ，点P 是EF 的中点，求证：点P 到AB 的距离是AB 的一半．
4．（10分）设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA=∠PDA ．
求证：∠PAB=∠PCB ．
5．（10分）P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．
6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t 分．求两根水管各自注水的速度．
7．（10分）（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M （﹣2，﹣1），且P （﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ
周长的最小值．
8．（10分）（2008•海南）如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在线段BC 上，且PE=PB．
（1）求证：①PE=PD；②PE ⊥PD ；
（2）设AP=x，△PBE 的面积为y ．
①求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
②当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值．
9．（10分）（2010•河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数
（1）求k 1、k 2的值．
（x ＞0）的图象交于A （1，6），B （a ，3）两点．
（2）直接写出时x 的取值范围；
（3）如图，等腰梯形OBCD 中，BC ∥OD ，OB=CD，OD 边在x 轴上，过点C 作CE ⊥OD 于点E ，CE 和反比例函数的图象交于点P ，当梯形OBCD 的面积为12时，请判断PC 和PE 的大小关系，并说明理由．
10．（10分）（2007•福州）如图，已知直线y=x 与双曲线
（1）求k 的值；
（2）若双曲线上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积；
于P ，Q 两点（P 点在第一象限），若由点A ，B ，P ，Q 为交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为4． （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线
顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．
2012年初二数学经典难题
参考答案与试题解析
一、解答题（共10小题，满分100分）
1．（10分）已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC 是正三角形．（初二）
2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD 中，AD=BC，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．
求证：∠DEN=∠F ．
3．（10分）如图，分别以△ABC 的边AC 、BC 为一边，在△ABC 外作正方形ACDE 和CBFG ，点P 是EF 的中点，求证：点P 到AB 的距离是AB 的一半．
4．（10分）设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA=∠PDA ．
求证：∠PAB=∠PCB ．
5．（10分）P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．
6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t 分．求两根水管各自注水的速度．
7．（10分）（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M （﹣2，﹣1），且P （﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ
周长的最小值．
8．（10分）（2008•海南）如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在线段BC 上，且PE=PB．
（1）求证：①PE=PD；②PE ⊥PD ；
（2）设AP=x，△PBE 的面积为y ．
①求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
②当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值．
9．（10分）（2010•河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数
（1）求k 1、k 2的值．
（2）直接写出时x 的取值范围； （x ＞0）的图象交于A （1，6），B （a ，3）两点．
（3）如图，等腰梯形OBCD 中，BC ∥OD ，OB=CD，OD 边在x 轴上，过点C 作CE ⊥OD 于点E ，CE 和反比例函数的图象交于点P ，当梯形OBCD 的面积为12时，请判断PC 和PE 的大小关系，并说明理由．
10．（10分）（2007•福州）如图，已知直线y=x 与双曲线
（1）求k
的值；
（2）若双曲线上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积；
于P ，Q 两点（P 点在第一象限），若由点A ，B ，P ，Q 为交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为4． （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线
顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．