2017届河南省天一大联考高三上学期阶段性测试

绝密★启用前【考试时间：2016年9月7日15：00~17：00】 试卷类型：A

天一大联考

2016-2017学年高中毕业班阶段性测试（一）

数学（理科）

本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 考生作答时，将答案写在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={n n =log 2(3k -1), k ∈A }，则A B = A. {1, 2, 3} B. {1, 3} C. {1} D. {3}

-3-i 2. 已知复数z =-2i +，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在

i

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 以(a , 1) 为圆心，且与两条直线2x -y +4=0与2x -y -6=0同时相切的圆的标准方程为

A. (x -1) 2+(y -1) 2=5 B. (x +1) 2+(y +1) 2=5 C. (x -1) 2+y 2=5 D. x 2+(y -1) 2=5 4. 已知a =，a ∙b =-

530

，且(a -b ) ∙(a +b ) =-15，则向量a 与b 的夹角为2

2π

3

A. B.

3π5ππ C. D. 463

5. 如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体三视图，则该几何体的体积为

2π

A. 6+

3

B. 8+

π

3

C. 4+ D. 4+

2π 3

π

3

6. 已知函数f (x ) =43sin(wx +)(w ＞0) 在平面直角坐标系中的部分图像如图所

3

示，若∠ABC=90°，则w =

ππ A. B.

48ππ C. D.

6127. 执行如图所示的程序框图，如果输入的P =2, Q =1, 则输出的M 等于

A.37 B.30 C.24 D.19

1

8. 已知α为锐角，若sin 2α+cos 2α=-，则tan α=

5

11

A.3 B.2 C. D.

23

9. 如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有 A.360种 B.720种 C.780种 D.840种

10. 已知实数n ∈[0, 1]，n ∈[0, 2]，则关于方程x 的一元二次方程

4x 2+4mx -n 2+2n =0有实数根的概率是

π

A. 1-

π

4

B.

π

4

C.

π-3

2

D.

π

2

-1

x 2y 2

11. 如图，F 1, F 2是双曲线C :2-2=1(a ＞0, b ＞0) 的左、右两个

a b

焦点，若直线y =x 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且四边形PF 1QF 2为矩形，则双曲线的离心率为

A. 2+6 B. 2+6 C. 2+2 D. 2+2

12201612x 4+x 2sin x +4

f () +f () +... f () = 12. 已知函数f (x +) =，则

[1**********]72x 2+2 A.2017 B.2016 C.4034 D.4032

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答, 第22~24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13. 半径为36

π

的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长

方体的表面积为________.

14. 在△ABC 中，边AB 的垂直平分线交边AC 于D, 若C =

π

3

，BC=8，BD=7，

则△ABC 的面积为________.

15.6月23日15时前后，江苏盐城市阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级，灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队从A,B,C,D 四个不同方向赶往灾区.

已知下面四种说法都是正确的.

（1）甲轻型救援队所在方向不是C 方向，也不是D 方向； （2）乙轻型救援队所在方向不是A 方向，也不是B 方向； （3）丙轻型救援队所在方向不是A 方向，也不是B 方向； （4）丁轻型救援队所在方向不是A 方向，也不是D 方向。

此外还可确定：如果丙所在方向不是D 方向，那么甲所在方向就不是A 方向. 有下列判断：

①甲所在方向是B 方向；②乙所在方向是D 方向；③丙所在方向是D 方向；④丁所在方向是C 方向.

其中判断正确的的序号是________.

16. 设函数f (x ) =ln x 在点P (x 0, f (x 0)) 处的切线l 与函数g (x ) =e x 的图像也相切，则满足条件的切点P 的个数有________个。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

1

17. （本小题满分12分）已知各项都为正数的等比数列{a n }满足a 3是3a 1与2a 2

2

的等差中项，且a 1a 2=a 3. （Ⅰ）球数列{a n }的通项公式；

⎧1+2S n ⎫

（Ⅱ）设b n =log 3a n ，且S n 为数列{b n }的前n 项和，求数列⎨⎬的前n 项

⎩S n ⎭

和.

18. （本小题满分12分）某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为五组：[0,5),[5,10).[10,15).[15,20).

[20,25),得到如图所示的频率分布直方图：

（Ⅰ）写出a 的值；

（Ⅱ）在抽取的40名学生中，从月上网次数不低于20次的学生中随机抽取3人，并用X 表示其中男生的人数，求X 的分布列和数学期望.

19. （本小题满分12分）如图，已知等边△ABC 中，E,F 分别为AB,AC 边的中

1

点，N 为BC 边上一点，且CN =BC ，将▲AEF沿EF 折到△A ′EF 的位置，使

4

′

平面A EF ⊥平面EF-CB.

（Ⅰ）求证：平面A′MN⊥平面A′BF； （Ⅱ）求二面角E-A′F-B 的余弦值.

x 2y 2

20. （本小题满分12分）已知椭圆E :2+2=1(a ＞b ＞0) 的两个焦点与短轴的一

a b

个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4.

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）若A 是椭圆E 的左顶点，经过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于C , D 两点，求△OAD 与△OAC 的面积之差的绝对值的最大值. （O 为坐标原点）

21. （本小题满分12分）设函数f (x ) =(x 2-2ax ) ln x +bx 2，a , b ∈R .

（Ⅰ）当a =1, b =1时，设g (x ) =(x -1) 2ln x +x ，求证：对任意的x ＞1, g (x ) -

f (x ) ＞x 2+x +e -e x ；

（Ⅱ）当b =2时，若对任意x ∈[1, +∞) ，不等式2f (x ) ＞3x 2+a 恒成立，求实数

a 的取值范围.

请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时请写清题号.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，PQ 为圆O 的切线，切点为Q, 割线PEF 过圆心O ，且QM=QN. （Ⅰ）求证：PF ×QN=PQ×NF ；

（Ⅱ）若QP=QF=3，求PF 的长.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知圆C 的极坐标方程为ρ=4cos θ-2sin θ，直线l 的参数方程为

⎧x =5+t cos α

（t 为参数）. 若直线l 与圆C 相交于不同的两点P 、Q . ⎨

y =t sin α⎩

（Ⅰ）写出圆C 的直角坐标方程，并求出圆心的坐标与半径； （Ⅱ）若弦长PQ =4，求直线l 的斜率.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设f (x ) =x +x +10.

（Ⅰ）求f (x ) ≤x +15的解集M ；

（Ⅱ）当a , b ∈M 时，求证：5a +b ≤ab +25.