大学生数学建模例题之五
彩票发行方案的优化设计
摘要
本文通过对所给方案的分析,建立了彩票问题的优化模型,据此对现行各方案进行了比较和评判,并针对地区经济发展状况设计出了一种“更好”的方案。
论文首先介绍了风险决策中的效用理论,对彩民购买彩票的心态进行了分析,结合模糊数学中隶属度的概念,确定出了彩民的心理曲线,即效用函数。它反映了彩票对彩民的吸引力,也体现了彩民对待风险的态度和地区的经济发展水平,可作为评价方案合理性的定量指标。在客观概率尺度下,按照彩民的平均收入水平,对已知的29种方案分别做出判断,结果表明,排在前两位的分别是31选7和32选7。
其次,根据效用理论中存在着主观概率,即人们主观认可的事件发生概率与客观概率是不一致的,以及彩票信息在人群中的传播效应,建立了确定“更好”方案的三个优化模型。其一,基于客观概率意义下的优化模型;其二,主观概率意义下的优化模型;第三,依据放射性元素的衰减原理,研究了彩票信息在人群中传播的影响效应,建立了信息衰减模型。
由于三个模型都是大规模非线性规划,难以直接求解,为此,我们设计了针对本问题的模拟退火算法,运用Matalab 软件求得了问题的全局最优解,最优方案均为34选6,但奖金设置不同(见论文)。
最后,在分析所得结果的基础上,指出了三个模型的优缺点。根据我们的研究成果,分别给彩票管理部门和彩民提出了一些参考建议。
1、问题的重述
常见的彩票销售规则主要有“传统型”和“乐透型”两类,以“传统型”为例:先从6组
0-9号球中摇出6个基本号码,每组摇出一个,然后从0-4号球中摇出一个特别号码,构成中奖号码。投注者从0-9十个号码中任选6个基本号码(可重复),从0-4中选一个特别号码,构成一
注,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。“乐透型”有多种不同的形式,奖金的设臵也很灵活。
彩票的返奖比例一般为销售总额的50%,低项奖数额固定,高项奖按比例分配,但一等奖单注保底金额60万元,封顶金额500万元,各高项奖额的计算方法为:
[(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例
现在的问题是:
1、评价题目给出的现有方案的合理性;
2、设计一种更好的方案,据此给彩票发行部门提出建议; 3、给报纸写一篇短文,供彩民参考。
2、模型的假设与符号说明 2.1模型的假设
(1)彩民购买彩票是随机独立事件。 (2)彩票的摇奖是公平的。 2.2符号说明
A ——
彩票方案,包括:抽奖方案和奖金分配方案 第j (j =1, 2, 3) 等奖占高项奖的比例 第i (i =1, 2, , 7) 等奖奖金额(期望)
第i (i =1, 2, , 7) 等奖奖金的效用值(益损值) 第i (i =1, 2, , 7) 等奖中奖的客观概率(客观概率) 第i (i =1, 2, , 7) 等奖中奖的主观概率 彩票的预期效用,表明彩票对彩民的吸引力 彩民平均年收入
r j ——
s i ——
u (s i ) —— p i —— v (p i ) —— U ——
t ——
3、问题的分析
购买彩票属于不确定性条件下的决策行为,现代微观经济学中的预期效用理论[3](EUT ——Expected Utility Theory)为分析这类问题提供了有效的途径。
EUT 简单描述是:“如果投资者对于不同结果的投资具有不同的偏好,则可以运用效用函数u (s )来描述这些偏好。”“任何具有一定概率和一定益损值的随机事件,总可以找到一个具有一定
益损值的确定事件与此等价。”[1]如果某个事件有若干个可能结果s i ,出现概率分别为
p i (i ≥2) ,则其总体效用为U ,即
U =
∑
i
p i u (s i )
其中u (s )为效用函数。在本问题中,它反映了奖金与彩民的满意度之间的关系,即彩民对奖金的心理变化规律,而 U 则是彩票发行方案对彩民吸引力的表征。以U 为评价一个方案优劣的定量指标,充分考虑与这一指标相关的因素,建立优化模型,就可设计出“更好”的方案。
图(一)
彩票的发行包括销售规则的选择、返奖比例的确定及奖项、奖金的设臵,这些因素将对彩民的心理会产生复杂的影响[2]。EUT 模型的关键在于选择合理的效用曲线,准确刻划奖金收益对彩民心理的作用。在风险决策中,人们对待风险有三种态度:风险厌恶型、中间型、风险喜好型。对应的效用曲线如图(一)所示。
由心理学知识,人的心理活动一般呈S 型规律。因为随着奖金收益的变化,彩民的态度由风险喜好转变为风险厌恶,所以我们选择S 型的效用曲线(详见4.2节中的图(二))。
一般认为,经济发达地区的彩民平均年收入较高,承受风险的能力强,更多地关注大奖;而欠发达地区的彩民,却可能更关注中奖率。所以,在设计彩票发行方案时,还应当考虑当地的经济发展状况和彩民的收入水平。
另一方面,研究表明[3],人们主观认可的事件发生概率(主观概率)与客观概率(实际概率)有一定区别。因此,可分别基于客观概率和主观概率建立相应的EUT 模型对问题2进行研究。
同时考虑彩票开奖历史对人购买彩票的影响,分析历史信息在人群中的传播情况,可以建立一个增加考虑历史开奖信息传播因素的优化模型,具体论述见模型三。
4、模型准备
4.1概率计算
将已有方案分为四类,由古典概率方法分别计算各奖项出现的概率,其计算公式如表(一),其结果如表(二)。
表(一)
注
4.2心理曲线的确定
购买彩票属于风险投资,Kahenmann 和Tversky(1979)研究认为[5],人们面对获利时表现为风险爱好、面对损失时表现为风险厌恶,所以心理曲线应为S 型。马科维茨进一步指出[5]:
(1)获利较小时,人们属于风险爱好型,但获利高到一定数额时,人们反而会转变为风险厌恶型。
(2)从风险爱好到风险厌恶的转折点依赖于个人的财富。越是富有越愿意对大数额冒险。 由以上分析,可知彩民的心理变化规律如下图(二)所示:
A 区显示人们面对损失时的风险厌恶心态;B 区显示获利较小时,人们表现为风险爱好;C 区显示当获利到达一定程度时,人们再次表现为风险厌恶。在数值较小时,可以认为绝对值相等的收益与损失所带来的效用大小相同(一正一负),故A 段与B 段曲线关于原点对称。B 、C 的分界点为曲线拐点,由该地区人均收入决定。
因为人的心理变化是一个模糊的过程,所以我们利用模糊数学中的隶属度进行定量描述。隶属度表明人们对某件事物的偏好程度(参考文献[6])。图(二)所示曲线的表达式为
30年,若他的平均年收入为
喜好转变为厌恶的分界点,因为他不会愿意拿自己一生的积累去冒险。我们不妨令
图(三) 不同t 下的心理曲线
4.3 s i (i =1, 2, 3)与销售额无关的证明
定理:大奖奖金的期望由彩票发行方案单独确定,与销售额无关 证明如下:
设某期销售额为N ,则由已知的彩票奖金分配方案得:
7
⎛N s i = R ⨯N -⨯∑p j s j
2j =4⎝
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⎫
⎪⨯r i ⎪⎭
N 2
⨯p i
i =1, 2, 3
(即:该等奖奖金总额
约去N 后
⎛
s i = 2R -
⎝
7
该等奖预期中奖注数
)
∑
j =4
⎫p j s j ⎪⨯r i
⎪⎭
p i
i =1, 2, 3
是一个与N 无关的表达式。即:大奖奖金的期望由彩票发行方案单独确定,与销售额无关。该定理说明:一旦方案给定,其各奖项奖金的期望就均已确定,不受销售的影响。
5、模型建立与求解
问题一:根据已知方案的具体情况,综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设臵以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。
根据前面的分析,我们采用平均预期效用U 作为评价方案优越性的指标,
8
U =
∑
i =1
p i u (s i -2)
其中p i 为第i (i =1, 2, , 7) 等奖的中奖概率(客观概率),具体计算方法参见4.1节 表(一) ,
7
p 8=1-
∑
j =1
p j 表示不中奖的概率;s i 表示第i 等奖奖金的期望值,其中:
⎛
s i = 2R -
⎝
7
∑
j =4
⎫p j s j ⎪⨯r i
⎪⎭
p i
i =1, 2, 3,
s j 为实际值(j =4, 5, 6, 7),s 8=0表示不中奖;
u (s i -2)为第i (i =1, 2, , 7) 等奖的收益效用,u (s 8-2)表示不中奖时的损失效用。
对现行29种彩票发行方案的评价结果如表(三):
在经济发展状况不同地区,最合理的方案是不同的。当t =1万或2万时,第5号方案(7/29)最优;当t =5万时,第28号方案(6/40)最优。对比结果见附录1。
表(三)
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问题二:设计一种“更好”的方案及相应的算法,并据此给彩票管理部门提出建议。 将已给方案分为A :n 选m 、B :n 选m +1、C :10选6+1、D :无特别号m /n ,其概率计算公式各自不同,奖项和奖金的设臵也灵活多样。以r j (j =1, 2, 3),
m , n , s i (i =4, 5, , 7) 为决策变量,建立规划模型,求解得到预期效用最大的一个,即最优的彩票
发行方案。
我们从不同的方面建立下面的三个模型:
模型一:客观概率下的预期效用模型
8
max U =
∑
i =1
p i ⨯u (s i -2)
p i ≥0
(i =1, 2, , 7) (1)
7
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p 8=1-
∑
j =1
p j (2)
2
⎛s ⎫⎧- ⎪
⎪1-e ⎝σ⎭
u (s )=⎨⎛s ⎫2
⎪
⎪- ⎝σ⎭
-1⎩e
s ≥0 (3) s
s . t . s i s i +1∈[a i , b i ];s i ≥0 i =1, 2, , 6 (4)
500, 0000≥s 1≥60, 0000 (5)
∑r
j
j
=1;r j ≥0
j =1, 2, 3 (6)
7
∑
i =1
p i s i =1 (7)
σ=302⨯t , t =10⨯104 (8) 说明:
1)p i (i =1, 2, , 7)分别由A :n 选m 、B :n 选m +1、C :10选(6+1)、D :无特别号的概率公式确定。
2)通过对已知方案的统计分析,发现s i s i +1落在一定范围内,于是得到条件(4),其中
a i 、b i 由已知方案统计求出(s 1s 2∈[10, 233],s 2s 3∈[4, 54],s 3s 4∈[3, 17],
s 4s 5∈[4, 20],s 5s 6∈[2, 10],s 6s 7∈[2, 10](当s 7不等于0时) )。该条件极大地减小了可
行解的搜索范围。
3)彩票的总奖金比例一般为销售总额的50%,投注者单注金额为2元,说明彩民的平均预期收益为2⨯50%=1元,即(5)式。
模型二:主观概率下的预期效用模型
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所谓主观概率,是指人们主观感受的事件发生概率与客观概率有一定区别。心理学研究表明:“人们倾向于高估低概率事件的出现,低估高概率事件的出现;倾向于高估对他们有利的事件的真实概率,低估对他们不利的事件的真实概率[5]”。
Kahenmann 和Tversky [4]发现主观概率和客观概率的关系如图(三)所示:
p 0
图(三)
图中p 0为主观感受发生变化的分界点。在彩票问题中,由于中奖概率本身较低,故我们取
p 0=0. 1。
函数v (p ) 的选择与u (s )类似
⎧⎪λ
v (p )=⎨
⎪⎩
-ln 1-p 1
-1
p
-
λ
2
1
p ≥1-e
λ
2
参数λ的确定:由v (p 0) =p 0,解出λ=0. 308078
目标函数 max
U =
∑v (p )u (s
i
i =1
8
i
-2)
p i ≥0
(i =1, 2, , 7) (1)
7
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p 8=1-
∑
j =1
p j (2)
2
⎛s ⎫⎧- ⎪
⎪1-e ⎝σ⎭
u (s )=⎨⎛s ⎫2
⎪
⎪- ⎝σ⎭
-1⎩e
s ≥0 (3) s
s . t . s i s i +1∈[a i , b i ];s i ≥0 i =1, 2, , 6 (4)
500, 0000≥s 1≥60, 0000 (5)
∑r
j
j
=1;r j ≥0
j =1, 2, 3 (6)
7
∑
i =1
p i s i =1 (7)
σ=302⨯t , t =10⨯104 (8)
模型三:信息衰减模型
我们从人与人互相影响的角度考虑彩票方案对彩民的吸引程度
定义a 、b 两人的疏远度r (r ∈[0, 1])为b 与a 的亲密程度,r 越大表明a 与b 越疏远。 假设a 投彩后获得奖金s (s =0时表示未中奖)为事件q ,我们讨论q 对社会的平均影响
T q 。
首先q 对中奖人a 的影响为u (s -2),即奖金效用。
其次,任何人投彩,其结果会对周围的人产生某种影响。即事件α这一信息由a 向四周传播。传播中信息根据疏远度r 按比例衰减。这与物理学中的放射性元素依时间等比例衰减很类似,故我们采用已有的物理模型描述信息的衰减程度:
记b 与a 的疏远度为r ,当信息从a 传播到b 时衰减为原来的f (r )=e 数)。则对某个人b 的影响:T α(b )=衰减度f (r )⨯效用u (s -2)。
-η⋅r
倍(η为衰减系
图(四) 衰减度函数
其中衰减系数随信息的重要程度的不同而不同,信息越重要,则η越小,衰减速度越慢。本问题中信息的重要性与奖金的效用正相关,不妨令:
ηi =
η0
u (s i -2) +10
-5
其中η0为待定常数,为了保证分母不为0,增添一个小正数10-5(根据试验结果,10-5对u (s i -2) 不构成影响)。
将投彩者a 抽象为平面上的一个点a *,则可以假设社会是一个以a *点为圆心的单位圆O ,所有人均匀分布于圆面上,位于任意点b *的人与a 的疏远度为r (即为b *、a *两点的距离)。
由于中奖者是均匀分布于社会中的,因此每个人受到的影响较为平均,故可以用每个人受到的平均影响来表示事件q 对社会的影响。即为:
⎰u (s -2)f (r )do
T q =
O
1
π
=u (s -2)⎰f (r )dr
-1
因为投彩的结果有多种可能,故事件q 存在多种情况,其对社会的平均影响为:
1
T =p i u (s i -2)⎰f (r )dr
-1
该函数直观的体现了方案对彩民的吸引力,故可以作为方案合理性的评价指标。
参数估计:由参考文献[8],一个现代人社交范围在240人左右。假设彩票面向一个500万人口的城市发行(即单位圆O 上均匀分布着500万人),则社交圈的半径可根据方程
π⋅r 0
π
2
=
240500⨯10
4
求出,r 0=
240500⨯10
4
。
我们假设,奖金为30t (t 为人均年收入)时,衰减度f (r 0)=0. 5(即信息半衰距离为社交圈半径)。
当t =2⨯104时,可得η0=62. 5942。 依照该指标建立规划模型:
8
1
max T =
∑
i =1
p i ⨯u (s i -2)⨯
⎰f (r )dr
-1
p i ≥0(i =1, 2, , 7) (1)
7
p 8=1-
∑
j =1
p j (2)
2
⎛s ⎫⎧- ⎪
⎪1-e ⎝σ⎭
u (s )=⎨⎛s ⎫2
⎪
⎪- ⎝σ⎭
-1⎩e
s ≥0s
(3)
s . t . s i s i +1∈[a i , b i ];s i ≥0 i =1, 2, , 6 (4)
500, 0000≥s 1≥60, 0000 (5)
∑r
j
j
=1;r j ≥0
j =1, 2, 3 (6)
7
∑
i =1
p i s i =1 (7)
4
=302⨯t , t =10⨯10 (8)
模型求解
前面建立的三个模型都是大型的非线性规划模型,一般方法求解是比较困难的,根据题中的已有方案可以取m 和n 的范围为5≤m ≤7, 29≤n ≤60。如采用穷举法求解,虽然可以求得最优解,但计算效率很低。因此,我们设计了针对本问题的模拟退火算法,源程序见附录2。
模拟退火法是求解非线形规划全局最优解问题有效途径,具体算法如下: (1)给定初始温度t 0以及降温次数L ;
(2)在可行解空间中随机生成一个解x 0,并记为当前最优解x ' =x 0;
(3)在x i (i =0, 1, , L )的邻域N (x i )中随机选取一个可行解x j ,计算
∆f ij =f (x i )-f (x j ),若∆f ij ≤0,则x i +1=x j ,并且若f (x j )≥f (x ' ),则x ' =x j ;否则,若
∆f ij t i
-
e >random
(0, 1),x i +1
=x j ;否则,重复(3)。
(4)i =i +1,t i =
L -i L
t 0,当i
对于t =20000的情况,三个模型的结果见表(四):
表(四)
由前面的分析,最优方案与地区人均年收入密切相关。当地居民的人均年收入越高,彩民承受风险的能力越强,在决策上越偏向于风险爱好型,最优方案中高项奖的奖金额也越高;当地的人均年收入越低,彩民承受风险的能力越差,在决策上越偏向于风险厌恶型,最优方案使总的中奖率偏高。
以模型一为例,不同t 下的最优方案存在较大差别,结果见表(五)。 表(五)
7、结果分析:
对三个模型,我们分别取t =10000, 20000, 30000, 50000时,得到了12个优化解,见表(六)。
从表中可以很明显地看出,当t 较小时,最优方案倾向于提高头等奖的中奖概率,当t 较大时,最优方案倾向于提高头等奖的奖金。
模型一、二均是根据预期效用理论建立的,我们将其统称为第一类模型。由于每次开奖后,根据第一类模型以及预期的下一期彩票销售额,我们可以估计出下一期头奖奖金,因此我们可以依第一类模型计算出各期彩票的吸引力指标。经过推导:对头奖出现频率较低的彩票方案,当奖池清空后,下期的头等奖期望会减小,从而该期吸引力指标降低,这样在奖池清空后销售额应当出现锐减。对照北京7/36电脑彩票的实际数据,我们验证了这一点,较为明显的例子是:7月19日开出500万大奖后,下一期销售额就暴跌120万。
表(六)
同时,当长时间未开出大奖,奖金累积较高时,销售额应呈现递增的态势,这一点也与实际情况很好地吻合,仍以北京7/36电脑彩票为例,7月23日,销售额在暴跌120万后,连续7期递增,直至再次开出大奖,期间增幅为126万。
8、模型的比较优缺点分析 8.1 模型的横向比较
从模型建立原理考虑,第一类模型是对彩民获得效用的预测,应用该模型,可以很好地解释开出大奖后销售额突降、长期不出大奖时热销等现象。
而第二类模型是对开出奖金后社会反响地分析,用“激励——响应”原理解释彩民购彩地非理性心态,是本问题的一个探索性模型。必须指出,受到激励的彩民只是成为该彩票方案的潜在购
买者,并非立即购买,其购彩时机的选择,用第一类模型可以很好的刻划。也就是说,一、二两类模型综合考虑,可以更为精确的描述彩民购彩的行为。
8.2模型的优缺点 优点:
(1)预期效用理论是解释随机条件下个体决策行为的有效工具,为分析彩民的心理活动提供了科学的依据。
(2)使用模糊函数中的S 型隶属函数描述彩民面对风险时的心理变化,符合一般心理学规律。
(3)最优方案的设计考虑了地区经济发展水平的差异,从而具有更好的实用性。 缺点:
模型的主要不足是存在一些未知参数,对它们的估计难免产生误差。
9、给彩票管理部门的建议
建议书
彩票管理部门:
为了给福利事业筹集更多的社会闲散资金,根据我们的研究,谨向贵部门提出以下几点建议: 1、 设计彩票发行方案必须充分了解该地区经济情况,如彩民的人均收入。对于人均收入不同的地
区,应当设臵不同的方案。一般的,对低收入地区,彩票发行方案应侧重于中奖概率;对收入较高的地区,方案应该侧重于高项奖奖金。
2、 若地区收入等级区分较大,人们的收入集中分布于几个值附近,可以分别针对这些值设计彩票
方案,几个方案同时运营,以期达到更好的吸纳资金效果。
3、 根据分析,由于彩票的投机性,奖池的清空可能会造成销量的锐减,作为彩票发行管理部门,
有必要引导彩民的投彩行为,这样不但利于社会的稳定,也能够使彩票的销售额较为稳定地发展。
4、 彩票的销售渠道应当尽可能畅通,避免因销售不便引起的销量下降。2002年4月中,由于沙尘
暴原因,全国各地彩票销售都有明显的下滑(参见历史数据),说明购买的便利性与彩票的销售额有直接的关系。
5、 调查显示,72%的彩民明确表示不会参与非公益性彩票投彩,说明彩票的公益性是非常重要
的。如果宣传彩票的公益性质,让彩民感受到自己投彩行为的良好社会效应,可以在一定程度上提高彩票的销量。
祝彩票事业为我国福利建设做出更大的贡献! 此致
敬礼
三个热心彩票事业的大学生
2002.9.23
10、给彩民的参考建议
给彩民的建议
近年来,随着改革开放的不断深入,中国的彩票市场蓬勃发展,运营机制日趋成熟。我国的彩票业遵循“取之于民,用之于民”的原则,通过发行彩票筹集社会公益资金,它作为一种建立在机会均等基础上的娱乐游戏,愈来愈得到广大市民的参与,并引起了很多专家学者的关注和研究。
目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型,返奖比例一般为50%,而奖金设臵和概率分布有多种形式。
彩民的购彩行为受很多因素的影响,其中最主要的因素是他的收入水平。收入较高的彩民,承受风险的能力较强,可以购买那些大奖金额高、中奖率低的彩票;而收入较低的彩民,承受风险的能力有限,适合购买那些中奖面宽的彩票。
另外,了解彩票以往的的销售情况也非常重要。如果某种彩票连续几期不出头奖,奖池奖金不断积累,这时投彩的回报率是很高的,即使风险厌恶者,也不妨试一把。反之,如果本期出现了头奖,对风险爱好者来说,减少下期购买数量也许是明智的选择。当然,每注彩票中奖的概率仍然是均等的。
参 考 文 献
[1] 石油化工安全技术——经济风险的管理
http://211.65.64.200/aq/contents/5-3.htm
[2] 辛运龙,怎样买彩票,四川人民出版社,2000 [3]钱颂迪等著,运筹学,清华大学出版社,1990
[4] 论心理分析流派与中国股市有效性(摘自自金融科学(2002-6-28))
http://www.indollar.com/ydlnews/htm/polity/2002628/2002,6,28,10,22,0.htm
[5] /电子书籍/经济. 管理/社会心理学讲义/6.ppt ftp://ftp.zzu.edu.cn
[6]杨纶标 高英仪,模糊数学,华南理工大学出版社,2001.3 [7] 中国福利彩票发行与销售管理暂行办法,民政部(1998)12号 [8] IT要消费什么
http://news.enet.com.cn/document/
最关键的还是论文写作,可参考往年获奖论文。