等差数列性质
等差数列
2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数
列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为 (1)等差数列定义:一般地,如果一个数列从第
a n -a n -1=d (n ≥2) 或a n +1-a n =d (n ≥1) 。
(2)等差数列的通项公式:a n =a 1+(n -1) d ;
A P 数列)的单调性:d >0为递增数列,d =0为常数列,d
(3)等差中项的概念:
定义:如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项。其中A =a +b 2
①d >0,数列{a n }是递增数列;d
③a n =a m +(n -m )d (m , n ∈N *) a n -a 1a m -a k =m , n , k ∈N *n -1m -k ()
④ 若m +
⑤若n =p +q ,则a m +a n =a p +a q m , n , p , q ∈N *() m +n *=k ,则a m +a n =2a k m , n , k ∈N 2()
⑥若数列{a n }是有穷等差数列,则与首、末两项等距离的两项之和都相等,且等于首、末两项之和,即a 1+a n =a 2+a n -1=⋅⋅⋅=a i +a n +1-i =⋅⋅⋅
⑦数列{λa n +b }(λ, b 是常数)是公差为λd 的等差数列
*⑧下标成等差数列且公差为m 的项a k , a k +m , a k +2m , ⋅⋅⋅(k , m ∈N )组成公差为md 的能差数列。
⑨若数列{b n }是等差数列,则数列{a n ±b n },{ka n +b n }(k 为非零常数)也是等差数列 ⑩项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列。如:1
数列。
(5) 等差数列的判定方法
①定义法,若a +a 2+a 3, a 4+a 5+a 6, a 7+a 8+a 9, ⋅⋅⋅也构成等差a n +1-a n =d (n ∈N *)
②等差中项:数列{a n }是等差数列⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2)⇔2a n +1=a n +a n +2 ③数列{a n }是等差数列a n =kn +b (其中k , b 是常数)
④数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn ,(其中A 、B 是常数)
n 和的求和公式:S n =n (a 1+a n ) n (n -1) =na 1+d 22。 三. 等差数列前n 项和 1、等差数列的前
2、等差数列的性质:
①由等差数列的前n 项和公式S n =na 1+n (n -1)d 2,可知若数列{a n }的前n 项和为S n =An 2+Bn +C (A , B , C ∈R ),则{a n }为等差数列的充要条件是C =0
②若数列{a n }为等差数列,其前n 项和为S n ,则有如下结论:
S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n , ⋅⋅⋅也成等差数列,公差为n 2d
若S m =S p (m ≠p ),则S m +p =0