一个有关勾股定理的猜想
一个有关勾股定理的猜想
楚雄市吕合中学八年级 赵啟华
指导教师 李金传
摘要：本文通过对勾股定理证明的学习，由此引出一个猜想：以直角三角形的两直角边为边长的两个正多边形的面积和等于以斜边为边长的正多边形的面积。并对此进行了论证，由此得出了四个定理及一个猜想。
关键词：勾股定理，正多边形，直角三角形，面积
在无限攀登的学习过程中，我接触到了勾股定理，并对其证明产生了浓厚的兴趣，由此产生了一个大胆的想法：既然以直角三角形的两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，那么以直角三角形的两直角边为边长的两个正多边形的面积和会等于以斜边为边长的正多边形的面积吗？带着这个想法，在老师的指导下，我尝试着做了以下的论证： 勾股定理：在一个直角三角形中，若两直角边分别为a、b， 斜边为c，则a2b2c2。
正三角形的面积：如图2，一个正三角形的边长为a，则
由勾股定理可得其高可表示为： 图1
aa2()2a， 22
则面积为：SABC132aaa。 图2 224
正六边形的面积：如图3，一个正六边形的边长为a，作
它的三条对角线，则正六边形被分成了六个边长为a的
正三角形，故面积为：
图3 S正六边形ABCDEF1a3aa2()26a2。 222
正八边形的面积：如图4，一个正八边形的边长为a，作
它的两条对角线，则正八边形被分成了两个全等的
等腰梯形和一个矩形，故面积为：
图4 S正八边形122222a(aaa)a2(aaa)a(222)a2
222222
定理一：以直角三角形的两直角边为边长的两个正三角形的面积和等于以斜边
为边长的正三角形的面积。
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证明：一个直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，以这三边为边长所作的正三角形的面积分别为：23232a，b，c。 444
则：2222ab(ab2)c 4444
即：以直角三角形的两直角边为边长的两个正三角形的面积和等于以斜边为边长的正三角形的面积。
定理二：以直角三角形的两直角边为边长的两个正四边形的面积和等于以斜边
为边长的正四边形的面积。
证明：一个直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，以这三边为边长所
作的正四边形的面积分别为：a2，b2，c2。
则：a2b2c2
即：以直角三角形的两直角边为边长的两个正四边形的面积和等于以斜边为边长的正四边形的面积。
定理三：以直角三角形的两直角边为边长的两个正六边形的面积和等于以斜边
为边长的正六边形的面积。
证明：一个直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，以这三边为边长所3333a2，3b2，c2。 作的正六边形的面积分别为：222
3333a23b2(a2b2)c2 则：2222
即：以直角三角形的两直角边为边长的两个正六边形的面积和等于以斜边为边长的正六边形的面积。
定理四：以直角三角形的两直角边为边长的两个正八边形的面积和等于以斜边
为边长的正八边形的面积。
证明：一个直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，以这三边为边长所作的正八边形的面积分别为：(222)a2，(222)b2，(222)c2。 则：(222)a2(222)b2(222)(a2b2)(222)c2
即：以直角三角形的两直角边为边长的两个正八边形的面积和等于以斜边为边长的正八边形的面积。
通过以上的论证，我说明了分别以直角三角形的两直角边为边长的两个正三角形、正四边形、正六边形、正八边形的面积和等于以斜边为边长的正三角形、正四边形、正六边形、正八边形的面积，并由此得到了以下的猜想。当然，鉴于目前我的认知水平，我只能做到这一个深度，但是，随着学习的深入，我相信我会努力去证明我的猜想！
猜想：以直角三角形的两直角边为边长的两个正多边形的面积和等于以斜边为
边长的正多边形的面积。
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