高考导数中的二元问题
常见二元问题 已知函数f (x ) =2ln x +ax 2-1(a ∈R ) (Ⅰ)求函数f (x )的单调区间;
(Ⅱ)若a =1,试分别解答以下两小题.
(ⅰ)若不等式f (1+x ) +f (1-x )
(ⅱ)若x 1, x 2是两个不相等的正数,且f (x 1) +f (x 2) =0,求证:x 1+x 2>2. 解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞) , f (x ) =
令f /(x ) >0,
/
2
+2ax ,………………1分 x
x >0,∴2ax 2+2>0,
①当a ≥0时,f /(x ) >0在(0,+∞) 恒成立,∴f(x)递增区间是(0,+∞) ;………3分
2
2
②当a
0时,∴2ax +2>0⇔x
1⇔x 0, ∴f (x ) 递增
a 区间是(0,(Ⅱ)(ⅰ)
,递减区间是+∞) . ………………………5分 -
a -a
设F (x ) =f (1+x ) +f (1-x ) =2ln(1+x ) +(1+x ) 2-1+2ln(1-x ) +(1-x ) 2-1, 化简得:F (x ) =2ln(1+x ) +2ln(1-x ) +2x 2, ………………7分
224x 3
F (x ) =, -+4x =-2
1+x 1-x 1-x
/
0
所以F (x )
f (1)=0,f (x ) 在(0,+∞) 上单调递增,
①若x 1, x 2∈(0,1),则f (x 1)
f (x 1) +f (x 2) =0矛盾,
②若x 1, x 2∈(1,+∞) ,则f (x 1) >0, f (x 2) >0, 则f (x 1) +f (x 2) >0与已知
f (x 1) +f (x 2) =0矛盾,
③若x 1=1,则f (x 1) =0,又f (x 1) +f (x 2) =0,∴f (x 2) =0得x 2=1与x 1≠x 2矛盾, ④不妨设0
令1-x =x 1,则f (2-x 1) +f (x 1) 2 . …………14分 证2;f (x 1) +f (x 2) =0⇔2ln x 1+x 12-1+2ln x 2+x 22-1=0
⇔2ln x 1x 2+(x 1+x 2) 2-2x 1x 2-2=0⇔(x 1+x 2) 2=2x 1x 2-2ln x 1x 2+2, …………1
1分
设t =x 1x 2,则t>0,g (t ) =2t -2ln t +2,g (t ) =2-
/
22(t -1) =, t t
令g /(t ) >0,得t >1,∴g (t ) 在(0,1)单调递减,在(1,+∞) 单调递增,…………………13分
∴g (t ) min =g (1)=4,
∴(x 1+x 2) 2>4,∴x 1+x 2>2. ………………………14分
⎧x 2+2x +a , x
(2013年高考四川卷(理))已知函数f (x ) =⎨, 其中a 是实数. 设
⎩ln x , x >0
A (x 1, f (x 1)) , B (x 2, f (x 2)) 为该函数图象上的两点, 且x 1
(Ⅰ)指出函数f (x ) 的单调区间;
(Ⅱ)若函数f (x ) 的图象在点A , B 处的切线互相垂直, 且x 2
解:(I)函数f (x )的单调递减区间为(-∞, -1), 单调递增区间为[-1,0), (0, +∞)
(II)由导数的几何意义可知, 点A 处的切线斜率为f '(x 1), 点B 处的切线斜率为f '(x 2),
故当点A 处的切线与点B 处的切垂直时, 有f '(x 1)f '(x 2)=-1. 当x 0.
1
⎡-(2x 1+2)+(2x 2+2)
⎤⎦≥=1 2⎣
31
当且仅当-(2x 1+2)=(2x 2+2)=1,即x 1=-且x 2=时等号成立.
22
因此x 2-x 1=
所以函数f (x ) 的图象在点A , B 处的切线互相垂直时, x 2-x 1的最小值为1
(III)当x 1x 1>0时, f '(x 1)≠f '(x 2), 故x 1
当x 1
()
y -(x 12+2x 1+a )=(2x 1+2)(x -x 1), 即y =(2x 1+2)x -x 12+a
当x 2>0时, 函数f (x ) 的图象在点x 2, f (x 2)处的切线方程为
()
y -ln x 2=
11
(x -x 2), 即y =∙x +ln x 2-1. x 2x 2
⎧1
⎪=2x 1+2 ①
两切线重合的充要条件是⎨x 2
⎪ln x -1=-x 2+a ②⎩21
由①及x 1
2
2
1
-1=x 12-ln (2x 1+2)-1.
2x 1+2
设h (x 1)=x 1-ln (2x 1+2)-1(-1
1
所以h (x 1)(-1h (0)=-ln2-1, 所以a >-ln 2-1.
又当x 1∈(-1, 0且) 趋近于-1时, h (x 1)无限增大, 所以a 的取值范围是
(-ln2-1, +∞).
故当函数f (x ) 的图像在点A , B 处的切线重合时, a 的取值范围是(-ln2-1, +∞)
【2012高考真题湖南理22】(本小题满分13分) 已知函数f (x ) ==e -x ,其中a ≠0.
(1) 若对一切x ∈R ,f (x ) ≥1恒成立,求a 的取值集合.
ax
(2)在函数f (x ) 的图像上取定两点A (x 1, f (x 1)) ,B (x 2, f (x 2)) (x 1k 成立?若存在,求x 0的取值范围;若不存在,请说明理由.
ax 【答案】(Ⅰ)若a 0,f (x ) =e -x
故a >0.
而f '(x ) =ae ax -1, 令f '(x ) =0, 得x =当x
11
ln . a a
1111
ln 时,f '(x ) ln 时,f '(x ) >0, f (x ) 单调递增,a a a a 1111111
故当x =ln 时,f (x ) 取最小值f (ln ) =-ln .
a a a a a a a
于是对一切x ∈R , f (x ) ≥1恒成立,当且仅当
111
-ln ≥1. ① a a a
令g (t ) =t -t ln t , 则g '(t ) =-ln t .
当00, g (t ) 单调递增;当t >1时,g '(t )
1
=1即a =1时,①式成立. a
f (x 2) -f (x 1) e ax 2-e ax 1
(Ⅱ)由题意知,k ==-1.
x 2-x 1x 2-x 1e ax 2-e ax 1
令ϕ(x ) =f '(x ) -k =ae -, 则
x 2-x 1
ax
e ax 1
⎡ϕ(x 1) =-e a (x 2-x 1) -a (x 2-x 1) -1⎤⎣⎦, x 2-x 1e ax 2a (x 1-x 2) ⎡ϕ(x 2) =e -a (x 1-x 2) -1⎤. ⎣⎦x 2-x 1
令F (t ) =e -t -1,则F '(t ) =e -1.
当t 0时,F '(t ) >0, F (t ) 单调递增.
t
故当t =0,F (t ) >F (0)=0, 即e -t -1>0.
t t
从而e
a (x 2-x 1)
-a (x 2-x 1) -1>0,e
a (x 1-x 2)
e ax 1e ax 2
>0, >0, -a (x 1-x 2) -1>0, 又
x 2-x 1x 2-x 1
所以ϕ(x 1) 0.
因为函数y =ϕ(x ) 在区间[x 1, x 2]上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在x 0∈(x 1, x 2) 使
ϕ(x 0) =0, ϕ'(x ) =a 2e ax >0, ϕ(x ) 单调递增,故这样的c 是唯一的,且
1e ax 2-e ax 11e ax 2-e ax 1
. 故当且仅当x ∈(ln c =ln , x 2) 时, f '(x 0) >k .
a a (x 2-x 1) a a (x 2-x 1)
综上所述,存在x 0∈(x 1, x 2) 使f '(x 0) >k 成立. 且x 0的取值范围为
1e ax 2-e ax 1(ln , x 2) . a a (x 2-x 1)