2动点问题答案

动点问题

例1.如图，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1

个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒）． （1）求当t为何值时，两点同时停止运动；

（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）求当t为何值时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形； （4）求当t为何值时，∠BEC=∠BFC．

A

E D F

C

例2. 正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点， BC上运动时，保持AM和MN垂直， （1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；

当M点在

（2）设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；

（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．

A D

N

B

M

C

例3.如图，在梯形ABCD

中，AD∥BC，AD3，DC5，ABB45．动

点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒． （09年济南中考） （1）求BC的长。 （2）当MN∥AB时，求t的值．

（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

C

例4.如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3cm，OB＝4cm，以点O为坐标原点建

立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）

（1）求AB的长，过点P做PM⊥OA于M，求出P点的坐标（用

t表示）

（2）求△OPQ面积S（cm2），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？

（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？

（4）若点P运动速度不变，改变Q 的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值.

动点练习题答案

例1. 解：（1）当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，如图2所示．………（1分）

由题意可知：ED=t，BC=8，FD= 2t-4，FC= 2t．

F

A

E

∵ED∥BC，∴△FED∽△FBC．∴

D

FDED

． FCBC

∴

2t4t

．解得t=4． 2t8

∴当t=4时，两点同时停止运动；……（3分）

B

图2

C

（2）∵ED=t，CF=2t， ∴S=S△BCE+ S△BCF=

11

×8×4+×2t×t=16+ t2． 22

即S=16+ t2．（0 ≤t ≤4）；………………………………………………………（6分）

（3）①若EF=EC时，则点F只能在CD的延长线上，

∵EF2=(2t4)2t25t216t16，

EC2=4tt16，∴5t16t16=t16．∴t=4或t=0（舍去）；

2222

②若EC=FC时，∵EC2=4tt16，FC2=4t2，∴t16=4t2

．∴t

2

2

2

2

2

③若EF=FC时，∵EF2=(2t4)2t25t216t16，FC2=4t2， ∴5t16t16=4t2．∴t1

=16，t2

=16 ∴当t的值为4

2

16E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三

角形；………………………………………………………………………………（9分）

（4）在Rt△BCF和Rt△CED中，∵∠BCD=∠CDE=90°，

BCCF

2， CDED

∴Rt△BCF∽Rt△CED．∴∠BFC=∠CED．………………………………………（10分） ∵AD∥BC，∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，则∠BEC=∠BCE．即BE=BC． ∵BE2=t16t80，∴t16t80=64． ∴t1

=16，t2

=16

D ∴当t

=16BEC=∠BFC分）

例2. 解：（1）在正方形ABCD中，

2

2

ABBCCD4，BC90°， AM⊥MN， AMN90°，

CMNAMB90°，

N

B

M

C

在Rt△ABM中，MABAMB90°， CMNMAB，

Rt△ABM∽Rt△MCN，

（2）Rt△ABM∽Rt△MCN，



ABBM4x

，， MCCN4xCN

x24xCN，

4

yS梯形ABCN

1x24x112

4·4x22x8x210， 2422

当x2时，y取最大值，最大值为10． （3）

BAMN90°，

要使△ABM∽△AMN，必须有

由（1）知

AMAB

， MNBM

AMAB

， MNMC

BMMC，

当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x2．

例3.解：（1）如图①，过A、D分别作AKBC于K，DHBC于H，则四边形ADHK是矩形

∴KHAD3．

在Rt△

ABK中，AKABsin45

4 2

BKABcos45

4 在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC3

∴BCBKKHHC43310 A D A D

N

C B C B K H G M

（图①） （图②）

（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形

∵MN∥AB ∴MN∥DG ∴BGAD3 ∴GC1037

由题意知，当M、N运动到t秒时，CNt，CM102t． ∵DG∥MN

∴∠NMC∠DGC 又∠C∠C

∴△MNC∽△GDC

CNCM

 CDCGt102t即 57

50

解得，t

17

∴

（3）分三种情况讨论：

①当NCMC时，如图③，即t102t ∴t

10 3

D N

A A D

N

B B C

M

（图④） （图③）

②当MNNC时，如图④，过N作NEMC于E ∵∠C∠C，DHCNEC90 ∴△NEC∽△DHC

M H E

C

NCEC

 DCHCt5t即 5325∴t

8

∴

③当MNMC时，如图⑤，过M作MFCN于F点.FC

∵∠C∠C，MFCDHC90 ∴△MFC∽△DHC

A

11NCt 22

D

N

FCMC

∴ HCDC

B

（图⑤）

H M

F C

1t

102t

即

3560∴t

17

102560

综上所述，当t、t或t时，△MNC为等腰三角形

8173

例4.（1）由题意知：BD=5，BQ=t，QC=4-t，DP=t，BP=5-t ∵PQ⊥BC ∴△BPQ∽△BDC ∴当t

BPBQ5tt20

 ∴t即 BDBC549

20

时，PQ⊥BC……………………………………………………………………3分 9

（2）过点P作PM⊥BC，垂足为M

35tPM

 ∴PM(5t)……………………4分

553

133515

(t)…………………………………………5分 ∴St(5t)=

251028

∴△BPM∽△BDC ∴∴当t

515

时，S有最大值．……………………………………………………6分 28

5

……………………………………7分 2

15t

②当BQ=PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，此时，BE=BP

22

5t

BEBQ25t

∴△BQE∽△BDC ∴ 即 ∴t……………………9分 BCBD1345

1t

③当BP=PQ时，作PF⊥BC，垂足为F, 此时，BF=BQ

22

t

BFBP405t

∴△BPF∽△BDC ∴ 即 ∴t……………………11分 BCBD1345

（3）①当BP=BQ时，5tt， ∴t∴t1

40525， t2，t3，均使△PBQ为等腰三角形． …………………………12分

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