求动点的轨迹方程(方法例题习题答案)
求动点的轨迹方程(例题,习题与答案)
在中学数学教学和高考数学考试中,求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容(求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于:求轨迹方程时,题目中没有直接告知轨迹的形状类型;而求曲线的方程时,题目中明确告知动点轨迹的形状类型)。求动点轨迹方程的常用方法有:直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等;求曲线的方程常用“待定系数法”。 求动点轨迹的常用方法
动点P 的轨迹方程是指点P 的坐标(x, y)满足的关系式。 1. 直接法
(1)依题意,列出动点满足的几何等量关系;
(2)将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。
22
例题 已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆C :x +y =1,动点M 到圆C 的切线长等与MQ ,
求动点M 的轨迹方程,说明它表示什么曲线. 解:设动点M(x,y),直线MN 切圆C 于N 。
依题意:MQ =MN ,即MQ 而MN
2
2
=MN
2
2
2
=MO -NO , 所以
MQ
2
22
=MO -1
2
2
2
(x-2)+y=x+y-1 化简得:x=5。动点M 的轨迹是一条直线。 42. 定义法
分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件,由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆(或椭圆、双曲线、抛物线)的定义。依题意求出曲线的相关参数,进一步写出轨迹方程。
例题:动圆M 过定点P (-4,0),且与圆C :x +y -8x =0相切,求动圆圆心M 的轨迹方程。
解:设M(x,y),动圆M的半径为r 。
若圆M 与圆C 相外切,则有 ∣M C ∣=r+4
2
2
若圆M 与圆C 相内切,则有 ∣M C ∣=r-4 而∣M P ∣=r, 所以
∣M C ∣-∣M P ∣=±4
动点M 到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4,所以动点M 的轨迹为双曲线。其中a=2, c=4。
动点的轨迹方程为:
x 2y 2
-=1
412
3. 相关点法
若动点P(x,y) 随已知曲线上的点Q(x0,y 0) 的变动而变动,且x 0、y 0可用x 、y 表示,则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点P 的轨迹方程。这种方法称为相关点法。
例题:已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆C :(x +1) 2+y 2=4上运动, 求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
解:设M(x,y), A(x A , y B ), 依题意有:
x=
4+x A 3+y A
, y= 22
22
则:x A =2x -4, y A =2y-3, 因为点A(x A , y B ) 在圆C :(x +1) +y =4上,所以
(2x -4) 2+(2y -3) 2=4
点M 的轨迹方程为:
2
(x -2) 2+(y -32) =1
动点M 的轨迹为以(2, 3)为圆心,1为半径的圆。 24. 参数法
例题:已知定点A (-3,0),M 、N 分别为x 轴、y 轴上的动点(M 、N 不重合),且AN ⊥MN , 点P 在直线MN 上,NP =3。求动点P 的轨迹C 的方程。 2MP
解:设N(0,t), P(x,y ) 直线AN 的斜率k AM =
t , 3
3 t
因为AN ⊥MN ,所以直线MN 的斜率k MN =-
3t 2t 2
直线MN 的方程为y-t=-x , 令y=0 得x =, 所以点M(,0)
t 33t 2
NP =(x , y -t ) , =(x -, y )
3
由=3, 得 33t 2x=(x -), y-t=y , 则
223
⎧x =t 2⎨
⎩y =-2t
所以动点P 的轨迹方程为:y 2=4x 5. 交轨法
例题:如图,在矩形ABCD 中,AB =8, BC =4, E , F , G , H 分别为四边的中点,且都在坐标轴上,设
=λ, =λ(λ≠0) 。求直线EP 与GQ 的交点M 的轨迹Γ的方程。
解:设M (x , y ) ,由已知得P (4λ,0), Q (4,2-2λ) , 则直线EP 的方程为y =
x λx -2,直线GQ 的方程为y =-+2, 2λ2
x
2λλx
y-2= -
2
即 y+2=
x 2y 2
+=1(x ≠0) . 两式相乘,消去λ即得M 的轨迹Γ的方程为
164
练习与答案
1. 设圆C 与圆x 2+(y.3)2=1外切,与直线y =0相切,则C 的圆心轨迹为 A A .抛物线 B .双曲线 C .椭圆 D .圆
2. 已知圆M 1:(x +4) 2+y 2=25,圆M 2:(x -4) 2+y 2=1,一动圆与这两个圆外 切,求动圆圆心P 的轨迹方程。
x 2y 2
-=1(x>0)
412
2
3. 过点A(4,0) 作圆O ∶x +y2=4的割线,求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹。 (x-2)+y=4 (0≤x
4. 已知圆C :(x -3) 2+(y-4)=1, 动点P 是圆外一点,过P 作圆C 的切线,切点为M , 且︱P M ︱=︱P O ︱(O 为坐标原点)。求动点P 的轨迹方程。
22
提示:︱P O ︱=︱P M ︱=PC
2
22
2
-1
3x+4y-12=0
5. 已知圆C 1:(x -4) 2+y 2=1,圆C 2:x 2+(y -2) 2=1,动点P 到圆C 1, C 2上点的距离的最小值相等. 求点P 的轨迹方程。
解:动点P 到圆C 1的最短距离为︱PC 1︱-1,
动点P 到圆C 2的最短距离为︱PC 2︱-1, 依题意有:︱PC 1︱-1=︱PC 2︱-1, 即
︱PC 1︱=︱PC 2︱
所以动点P 的轨迹为线段C 1C 2的中垂线。所以动点 P 的轨迹方程为:
2x+y-5=0
x 2
-y 2=1的左、右顶点分别为A 1, A 2, 点P (x 1, y 2)6. 已知双曲线,Q (x 1, -y 2) 2
是双曲线上不同的两个动点。求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程。
解:由A 1, A
2为双曲线的左右顶点知,A 1(
A 2
-y 122A 1P :y =x ,A 2Q :y =x ,两式相乘y =2(x 2-2) ,
x 1-2
1x 12y 1212
-y 1=1,即2因为点P (x 1, y 1) 在双曲线上,所以=,故y 2=-(x 2-2) ,
22x 1-22
x 2x 22
+y =1,即直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程为+y 2=1 所以22
7. 已知曲线C :y =x 与直线l :x -y +2=0交于两点A (x A , y A ) 和B (x B , y B ) ,且x A
2
中点M 的轨迹方程。
解:(1)联立y =x 2与y =x +2得x A =-1, x B =2,则AB 中点Q (, ) ,设线段PQ 的中
15
22
15+s +t
15点M 坐标为(x , y ) ,则x =,即s =2x -, t =2y -,又点P 在曲线C 上, , y =
2222
∴2y -
5111
=(2x -) 2化简可得y =x 2-x +,又点P 是L 上的任一点,且不与点A 和点B 228
11511
重合,则-1
15
2
2
8. 已知点C (1,0),点A 、B 是⊙O :x +y =9上任意两个不同的点,且满足⋅=0,设P 为弦AB 的中点。求点P 的轨迹T 的方程。
解: 连结CP ,由AC ⋅BC =0,知AC ⊥BC
1
∴|CP|=|AP|=|BP|=|AB |,由垂径定理知|OP |2+|AP |2=|OA |2
2
即|OP |2+|CP |2=9 设点P (x ,y ),有(x 2+y 2) +[(x -1) 2+y 2]=9 化简,得到x 2-x +y 2=4。
y 2
=1,过点M (0, 1) 的直线l 交椭圆于A 、B ,O 为坐标原点,点P 满足9. 设椭圆x +4
2
=
1
(+) ,当l 绕着M 旋转时,求动点P 的轨迹方程。 2
解:直线l 过点M (0, 1) ,设其斜率为k ,则直线l 的方程为y =kx +1, 记A (x 1, y 1) ,B (x 2, y 2) ,由题设可得点A 、B 的坐标(x 1, y 1) (x 2, y 2)
⎧y =kx +1⎪
是方程组⎨2y 2的解,其方程组中消取y 得(4+k 2) x 2+2kx -3=0
x +=1⎪4⎩
2k ⎧x +x =-22⎪1
4+k ∴ ⎨ 8
⎪y 1+y 2=
4+k 2⎩
∵ =
x +x 2y 1+y 21
(+) ∴点P 的坐标为(1, ) 222-k 4
, ) , 22
4+k 4+k
即:点P 为(
k ⎧
x =-⎪4+k 2 (k 为参数) 设点P 为(x , y ) ,则P 点的轨迹参数方程为⎨
4
⎪y =
4+k 2⎩
消去参数k 得:4x +y -y =0
当斜率k 不存在时,A 、B 的中为原点(0,0)也满足上述方程,
故:动点P 的轨迹方程为4x 2+y 2-y =0。
10. 设圆C
与两圆(x 2+y 2=4,(x 2+y 2=4中的一个内切,另一个外切。求圆C
的圆心轨迹L 的方程。
解:两圆半径都为2,设圆C 的半径为R
,两圆心为F 1(
0) 、F 20) ,
由题意得R =|CF 1|-2=|CF 2|+2或R =|CF 2|-2=|CF 1|+2,
2
2
∴||CF 1|-|CF 2||=4
x 2y 2
可知圆心C 的轨迹是以F 1, F 2为焦点的双曲线,设方程为2-2=1,则
a b x 2
2a =4, a =2, c b =c -a =1, b =1,所以轨迹L 的方程为-y 2=1.
4
2
2
2
11. 如图所示,已知P (4,0)是圆x +y =36内的一点。A 、B 是圆上两动点,且满足
22
∠APB =900, 求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.
解:设R(x,y), 依题意,有
|OR |+|RA |=36,而|RA |=|RP |, 所以
22
|OR |+|RP |=36, 即
2
2
x 2+y 2+(x -4) 2+y 2=36
化简得:(x -2) 2+y 2=14
设Q(X, Y),因为R(x,y) 是 QP的中点,所以有 x =
4+X Y
,y=, 故 22
(
4+X Y
-2) 2+() 2=14 22
2
2
化简得:X +Y =56
12. 在平面直角坐标系xOy 中,直线l :x =-2交x 轴于点A ,设P 是l 上一点,M 是线段OP 的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP 。当点P 在l 上运动时,求点M 的轨迹E 的方 程。
解:如图1,设MQ 为线段OP 的垂直平分线,交OP 于点Q , ∠MPQ =∠AOP , ∴MP ⊥l , 且|MO |=|MP |.
=|x +2|,即
①
另一种情况,见图2(即点M 和A 位于直线OP 的同侧)。
y 2=4(x +1)(x ≥-1).
MQ 为线段OP 的垂直平分线, ∴∠MPQ =∠MOQ .
又 ∠MPQ =∠AOP , ∴∠MOQ =∠AOP . 因此M 在x 轴上,此时,记M 的坐标为(x ,0).
为分析M (x ,0) 中x 的变化范围,设P (-2, a ) 为l 上任意点(a ∈R ). 由|MO |=|MP |
)得, 1
x =-1-a 2≤-1.
4
故M (x ,0) 的轨迹方程为
(即|x |=
综合①和②得,点M 轨迹E 的方程为
y =0, x ≤-1
2
②
⎧4(x +1), x ≥-1,
y =⎨
x
2
y 2
=1上的动点。如图,点A 的坐标为(1,0),B 是圆x 2+y 2=1上的点,13. 点M 是椭圆x +4
N 是点M 在x 轴上的射影,点Q 满足条件:=+,QA ⋅=0, 求线段QB 的中点P 的轨迹方程;
解:设M(x m , y m ), B (x B , y B )
Q (x Q , y Q ) . 因为N (x N ,0), OM +ON =OQ ,故
x Q =2x N , y Q =y M ,
x Q +y Q =(2x M ) +y =4 ①
2
2
2
y
因为QA ⋅BA =0,
(1-x Q -y Q ) ⋅(1-x N -y n )
=(1-x Q )(1-x N ) +y Q y N =0,
所以 x Q x N +y Q y N =x N +x Q -1. ②
记P 点的坐标为(x P , y P ) ,因为P 是BQ 的中点,所以 2x P =x Q +x P ,2y P =y Q +y P
22
由因为 x N +y N =1,结合①,②得
112222
((x Q +x N ) 2+(y Q +y N ) 2) =(x Q +x N +y Q +y n +2(x Q x N +y Q y N )) 44
31
=(5+2(x Q +x N -1)) =+x P
44
22
故动点P 的轨迹方程为(x-) +y =1。 2
22x P +y P =