最新高三数学附加题

矩阵与变换

主备： 审核：

考纲要求：

1、了解二阶矩阵的概念，了解矩阵与向量乘法的意义，了解几种常见的平面变换．

2、会用映射与变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法，理解矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点) ．

3、了解二阶方阵乘法的意义并理解其运算律，理解逆矩阵的意义及简单性质． 4、会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组，理解线性方程组的存在性、唯一性．

5、理解特征值与特征向量的定义．会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形) ，并能用它来解决问题．

知识梳理：

1、二阶方阵左乘向量的运算法则是⎢

⎡a ⎣c b ⎤⎡x ⎤

⎥ ⎢⎥＝________，从几何上说，矩阵乘向量的作用是把一个d ⎦⎣y ⎦

⎡x ⎤向量变成另一个向量；如果把 ⎢⎥ 视为点的坐标，那它就是把平面上的一个点变成另一个点． ⎣y ⎦

2、几种常见的矩阵变换：

⎡1 0⎤ ⎡x ⎤＝⎡x ⎤，该变换把点(x ，y ) 变成(x ，y ) ，故矩阵⎡1 0⎤表示________．

(1)、因为⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣0 1⎦⎣y ⎦⎣y ⎦⎣0 1⎦⎡－1 0⎤⎡x ⎤⎡－x ⎤⎡－1 0⎤

(2)、因为⎢⎥ ⎢⎥＝⎢⎥，该变换把点(x ，y ) 变成(－x ，y ) ，故矩阵⎢⎥表示关于y 轴的反射

⎣ 0 1⎦⎣y ⎦⎣ y ⎦⎣ 0 1⎦⎡1 0⎤⎡0 1⎤⎡ 0 －1⎤

变换；类似地，⎢ ⎥，⎢⎥，⎢⎥分别表示关于________、________和________的反射变换．

⎣0 －1⎦⎣1 0⎦⎣－1 0⎦1 0⎤⎡x ⎤⎡x ⎤x ⎤x ⎤⎡⎡⎡(3)、因为⎢⎥ ⎢⎥＝⎢⎥，该变换把点⎢⎥变成点⎢⎥，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成⎣0 k ⎦⎣y ⎦⎣ky ⎦⎣y ⎦⎣ky ⎦

⎡1 0⎤表示y 轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵⎡s 0⎤可以用来表示____________．

原来的k 倍，故矩阵⎢ ⎥⎢⎥

⎣0 k ⎦⎣0 1⎦

⎡cos α －sin α⎤

(4)、把点A (x ，y ) 绕着坐标原点旋转α角的变换，对应的矩阵是⎢⎥.

⎣sin α cos α⎦

⎡1 s ⎤ ⎡x ⎤＝⎡x ＋sy ⎤表示的是沿x 轴的切变变换，沿y 轴的切变变换对应的矩阵是________； (5)、⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣0 1⎦⎣y ⎦⎣ y ⎦1 0⎤⎡x ⎤⎡x ⎤1 0⎤⎡⎡(6)、⎢⎥ ⎢⎥＝⎢⎥，该变换把所有横坐标为x 的点都映射到了点(x ，0) ，因此矩阵⎢⎥表示的是⎣0 0⎦⎣y ⎦⎣0⎦⎣0 0⎦

⎡0 0⎤表示的是____上的投影变换．

x 轴上的投影变换．类似地，⎢⎥

⎣0 1⎦a b ⎤⎡au ＋bs a v ＋bt ⎤⎡u v ⎤⎡3、假设矩阵A ＝⎢⎥，B ＝⎢⎥，则矩阵A 和矩阵B 的乘积AB ＝⎢⎥. ⎣c d ⎦⎣s t ⎦⎣cu ＋ds c v ＋dt ⎦

4、在交换律、结合律、消去律中，矩阵运算满足____律，即______________；而通常不满足交换律和消去律．

5、对平面上任意一个向量a ，依次实施两次变换f 和g ，使之最终对应于向量a ′，我们称之为变换f 和变换g 的________．记作a ′＝g [f (a )]，如果变换f 和g 分别对应矩阵A 和B ，则有a ′＝B (Aa ) ＝(BA ) a ，我们称BA 是矩阵B 与矩阵A 的____．

⎡x ⎤6、设以原点为中心，旋转角为θ的旋转变换f 对应于矩阵A ，则A ＝________，如果向量a ＝⎢⎥在变⎣y ⎦

⎡x ′⎤

换f 的作用下对应到向量a ′＝⎢⎥，那么应该对向量a ′实施一个变换f ′：以原点为中心，旋转角为－

⎣y ′⎦

θ的旋转变换，方可使之对应到向量a . 变换f ′相应的矩阵B ＝__________.

7、如果对于线性变换f ，存在着一个线性变换f ′，使得__________________，则称变换f 可逆，并称f ′是变换f 的______．类比到矩阵，如果和变换f 和f ′相应的矩阵分别是二阶方阵A 、B ，有____________．我

－1

们称矩阵A 可逆，并称B 是A 的________，记作B ＝A .

__________________，且A 1＝____________.

9、逆矩阵具有两个重要的性质：(1)________________________________；(2)____________．

⎧⎪ax ＋by ＝e ，

10、关于变量x ，y 的二元一次方程组⎨(其中a ，b ，c ，d 均为常数) ，写成矩阵形式可以

⎪cx ＋dy ＝f ⎩

⎡x ⎤⎡a b ⎤对应的变换的

表达成__________________；从线性变换的角度看，该方程组表示向量 ⎢⎥ 通过矩阵⎢⎥

⎣y ⎦⎣c d ⎦

e ⎤⎡作用后对应到向量 ⎢⎥. ⎣f ⎦

⎡a b ⎤ ⎡x ⎤＝⎡e ⎤，如果矩阵A ＝⎡a b ⎤可逆，则

11、因为每一个二元一次方程组都可以用矩阵表示成⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣c d ⎦⎣y ⎦⎣f ⎦⎣c d ⎦

方程组的解可以表示成______________________．

12、对于给定矩阵M ，如果存在一个非零向量a 和实数λ，使得__________，则称λ是矩阵M 的特征值，a 是矩阵M 的属于特征值λ的特征向量．

⎡a b ⎤有特征值λ的充要条件是__________________________．

13、矩阵M ＝⎢⎥

⎣c d ⎦

n

14、如果矩阵M 有特征值λ和属于特征值λ的特征向量α，则可以得到以下重要的结论：M α＝

*

______(其中n ∈N ) ．

－

a ⎡8、并不是每一个二阶方阵都是可逆的，矩阵A ＝⎢⎣c

d ⎦

b ⎤

⎥可逆的充要条件是它对应的行列式|A |满足

基础自测：

1、若点A (2,2)在矩阵M ＝⎢

2、已知矩阵A ＝⎢

2⎤⎡1 a ⎤⎡3、已知α＝⎢⎥为矩阵A ＝⎢⎥ 属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2. ⎣1⎦⎣－1 4⎦

注：如何求两个矩阵乘积的逆矩阵？

－

提示：求两个矩阵乘积的逆矩阵有两种方法，即先求乘积AB ，再求逆矩阵(AB ) 1；也可利用性质

⎡cos α －sin α⎤

⎥对应变换的作用下得到的点为B (－2,2) ，求矩阵M 的逆矩阵．

⎣sin α cos α⎦

⎡ 2 －1⎤⎡ 4 －1⎤

，B ＝⎥⎢⎥，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .

－4 3－3 1⎣⎦⎣⎦

(AB ) 1＝B 1A

－

－

－1

求解，但要注意顺序，不能误以为其逆矩阵是A 1B 1.

－

－

探究突破：

一、二阶矩阵与平面向量的乘法

例1、在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A =⎢ ⎥对应的变换作用下得到曲线F ，⎡20⎤⎣01⎦

求F 的方程．

二、线性变换的基本性质

例2、已知曲线C ：x 2

＋y 2

＝1，对它先作矩阵A ＝⎡⎢1 0⎣⎤

2⎥⎦

对应的变换，再作矩阵B ＝⎡

⎢

0⎣1得到曲线C ：x 24y 2

＝1. 求实数b 的值．

三、逆变换与逆矩阵

例3、已知矩阵A ＝⎡⎢2 6⎣4⎥⎦⎤

1

.

(1)、求出矩阵A 的逆矩阵A －

1；

(2)、A 决定的线性变换A 将哪一个点变换到点(3,1)?

四、特征值与特征向量

例4、求矩阵M ＝⎡⎢－1 4⎤

⎣ 2 6⎥⎦

的特征值和特征向量．

b ⎤0⎦

⎥对应的变换，

针对训练：

1、已知矩阵A ＝⎢

a ⎡2、设矩阵M ＝⎢⎣0

⎡1 ⎣2

1⎤

⎡1⎤

⎥ ，向量β＝⎢⎥ ，求向量α，使得A 2α＝β.

⎣2⎦1⎦

⎥ (其中a ＞0，b ＞0) ．

b ⎦

－

(1)、若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M 1；

2

2

0⎤

x 22

(2)、若曲线C ：x ＋y ＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C y ＝1，求a ，b 的值．

4

⎡1⎤3、已知二阶矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是 ⎢⎥ ，求矩阵A . ⎣1⎦

4. 已知矩阵A =⎢

⎡-10⎤⎡12⎤-1

A B . , 求矩阵, B =⎥⎢⎥

⎣02⎦⎣06⎦

2015高考节选：

1. （江苏）已知x , y ∈R ，向量α=⎢及它的另一个特征值.

⎡x 1⎤⎡1⎤

是矩阵A =⎢⎥⎥的属性特征值-2的一个特征向量，矩阵A 以-1y 0⎣⎦⎦⎣

极坐标与参数方程

主备： 审核：

考纲要求：

1、理解坐标系的作用．

2、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．

3、能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，了解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化．

4、能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆) 的方程．通过比较这些图形在极坐标系与直角坐标系中的方程，了解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．

5、了解参数方程，了解参数的含义．

6、能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．

知识梳理：

⎧x ，λ>0，⎪x ′＝λ·⎨1、设点P (x ，y ) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P (x ，⎪y ′＝μ·y ，μ>0⎩

y ) 对应到点P ′(x ′，y ′) ，称φ为平面直角坐标系中的__________，简称__________．

2、极坐标系

如图，在平面内取一个定点O ，叫做___________；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个_________单位、一个___________单位(通常取弧度) 及其正方向(通常取逆时针方向) ，这样就建立了一个极坐标系．

设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的______，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的______，记为θ. 有序数对(ρ，θ) 叫做点M 的_________，记为M (ρ，θ) ．

3、极坐标和直角坐标的互化

设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y ) ，极坐标是(ρ，θ) ，可以得出它们之间的关系：x ＝________，y ＝________.又可得到关系式：ρ2＝________，tan θ＝________，这就是极坐标与直角坐标的互化公式．

4、直线的参数方程

若直线过(x 0，y 0) ，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为____________．其中参数t 有明显的几何意义．

5、圆的参数方程

若圆心在点M 0(x 0，y 0) ，半径为R ，则圆的参数方程为______． 6、椭圆的参数方程

x 2y 2

中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆＋＝1(a ＞b ＞0) 的参数方程为____________．

a b

基础自测：

π⎫π⎫⎛⎛

1、已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ-⎪=-1, 曲线C

2的极坐标方程为ρ= θ-⎪,

3⎭4⎭⎝⎝

判断两曲线的位置关系.

2

、已知直线的参数方程⎨

⎧⎪x =2-t

(为参数), 圆C 的极坐标方程:ρ+2sin θ=0.

⎪⎩y =1 (1)、将直线的参数方程化为普通方程, 圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)、在圆C 上求一点P , 使得点P 到直线的距离最小.

探究突破：

一、极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程互化

⎧

x =⎪⎪（t 为参数，t >0），求曲线C 的普通方程。 例1、已知曲线C

的参数方程为⎨

1⎪y =3(t +)

⎪t ⎩

例2、求圆ρ=3cos θ被直线⎨

⎧x =2+2t ,

(t 是参数）截得的弦长.

⎩y =1+4t

二、极坐标方程的应用 例3、在极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB |的最小值．

三、参数方程的应用

⎧⎧⎪x ＝1＋t cos α，⎪x ＝cos θ，

例4、已知直线C 1：⎨(t 为参数) ，圆C 2：⎨(θ为参数) ．

⎪y ＝t sin α⎪y ＝sin θ⎩⎩

π

(1)、当α＝时，求C 1与C 2的交点坐标；

3

(2)、过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

四、极坐标与参数方程的综合应用

⎧x ＝＋3cos θ，

例5、已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎨(θ为参数) ，以Ox 为极

⎩y ＝1＋3sin θ

轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+

π

6

) =0.

(1)、写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程； (2)、求圆C 截直线l 所得的弦长．

针对训练：

⎧x =2+2t ,

l (t 为参数) . 以Ox 为极轴建立极坐标系, 圆 1、在直角坐标系xOy 内, 直线的参数方程为⎨

⎩y =1+4t ,

C

的极坐标方程为ρ=θ+

π

4

) . 判断直线l 和圆C 的位置关系.

2、在平面直角坐标xOy 中, 已知圆C 1:x 2+y 2=4, 圆C 2:(x -2) 2+y 2=4．

（1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C 1, C 2的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；

（2）求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．

3、在平面直角坐标系xOy 中, 求过椭圆⎨ 参数) 平行的直线的普通方程.

⎧x =5cos ϕ⎧x =4-2t

,(ϕ为参数) 的右焦点, 且与直线⎨,(t 为

⎩y =3sin ϕ⎩y =3-t

4、在极坐标中, 已知圆C

经过点P 坐标方程.

(

π⎫π⎛

,

圆心为直线ρsin θ-=与极轴的交点, 求圆C 的极

3⎭4⎝

)

⎧

⎪x =-⎪

5、在平面直角坐标系xOy 中, 圆C 的参数方程为⎨

⎪

y =-⎪⎩

2

+r cos θ, 2

(θ为参数, r >0) , 以O 为极

2

+r sin θ2

点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+ 大距离为3, 求r 的值.

6、已知曲线C 1的参数方程为⎨

是

π

4

) =1, 若圆C 上的点到直线l 的最

⎧x =2cos α

（其中α为参数），M 是曲线C 1上的动点，且M

⎩y =2+2sin α

线段OP 的中点，（其中O 点为坐标原点），P 点的轨迹为曲线C 2，直线的方程为ρsin(x + 直线与曲线C 2交于A , B 两点。

(1)、求曲线C 2的普通方程； (2)、求线段AB 的长。

π

4

) =2，

2015高考节选：

2

1、（江苏）已知圆C

的极坐标方程为ρ+sin(θ-

π

4

) -4=0，求圆C 的半径.

空间向量

主备： 审核： 考纲要求：

1、理解直线的方向向量与平面的法向量．

2、能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理．

3、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．

知识梳理：

1、直线的方向向量与平面的法向量

(1)、直线的方向向量：直线l 上的向量e (e ≠0) 以及与e 共线的非零向量叫做直线l 的方向向量． (2)、平面的法向量：如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α. 此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量．

注意：(1)、一条直线的方向向量与一个平面的法向量都有无穷多个，它们都是共线向量．

(2)、直线的方向向量与平面的法向量是用来刻画直线和平面的“方向”的．在判断和证明线、面关系及求空间角中有着重要作用．因此要深刻理解这两个概念．

2、利用空间向量判定线面关系的方法

我们通常利用直线的方向向量和平面的法向量判定线面关系．

n 1，n 2，则有下表：

3(1)、定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′与b ′所成的____________叫做异面直线a ，b 所成的角．

(2)、范围：两异面直线所成角θ的取值范围是________．

(3)、向量求法：设两异面直线a ，b 所成的角为θ，且其方向向量为a ，b ，其夹角为φ，

|a ·b |

则有cos θ

＝|cos φ|＝|a ||b |

4、直线与平面所成的角 (1)、定义

①、平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的______，叫做这条直线与这个平面所成的角． ②、一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是______；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是______的角．

(2)、范围：直线和平面所成角θ的取值范围是________．

(3)、向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与平面所成的角为θ，a 与n 的夹

|a ·n |

角为φ，则有sin θ＝|cos φ|＝.

|a ||n |

5、二面角

(1)、二面角的取值范围为[0，π]． (2)、二面角的向量求法：

→

①、若AB ，CD 分别是二面角αlβ的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与→

CD 的夹角(如图甲所示) ．

②、设n 1，n 2分别是二面角αlβ的两个面α，β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角) 的大小就是二面角的平面角的大小(如图乙、丙所示) ．

基础自测：

1、如图所示, ABCD -A 1B 1C 1D 1是长方体, 已知AB =3, AD =4, AA 1D 1的中点, 求直线1=2, M 是棱A

AM 与平面BB 1D 1D 所成角的余弦值.

2、如图,PA ⊥平面ABCD,AD//BC,∠ABC=90°,AB=BC=PA=1,AD=3,E是PB 的中点.

(1)求证:AE⊥平面PBC ； (2)求二面角B-PC-D 的余弦值.

P

E A

B

C

D

探究突破：

一、利用空间向量求角

例1、如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.

9→

(1)、设AD ＝λAB ，异面直线AC 1与CD λ的值；

25

(2)、若点D 是AB 的中点，求二面角DCB 1B 的余弦值．

二、利用空间向量求距离

N 是BC 的中点, 点M 在CC 1上, 例2、如图, 在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, AA 1=2, AB =1, 点

θ. 设二面角A 1-DN -M 的大小为

(1)、当θ=90︒时, 求AM 的长; (2)

、当cos θ=

D 1

时, 求CM 的长. 1 1A 1

M

A

B 例3、如图，在四棱锥P -ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯

形，∠ABC =∠BAD =

π

2

, PA =AD =2, AB =BC =1

（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；

（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长

B Q D

P

针对训练：

1、如图，ABCD 是菱形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝2，∠BAD ＝60°.

(1)、求点A 到平面PBD 的距离；

(2)、求二面角APBD 的平面角的余弦值

2、如图, 在棱长为1的正方体A C 1中,E 、F 分别为A 1D 1和A 1B 1的中点.

(1)、求异面直线AF 和BE 所成的角的余弦值: (2)、求平面AC C 1与平面BF C 1所成的锐二面角:

(3)、若点P 在正方形ABCD 内部或其边界上, 且EP∥平面BF C 1, 求EP 的取值范围.

3、如图, 在正三棱柱ABC -A 1=6, AB =2, M , N 分别是棱BB 1, CC 1上的点, 且1B 1C 1中, 已知AA BM =4, CN =2.

⑴、求异面直线AM 与A 1C 1所成角的余弦值;

⑵、求二面角M -AN -A 1的正弦值.

M

B 1

1

A

A 1

曲线与方程

主备： 审核：

考纲要求：

了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．

知识梳理：

1、曲线的方程与方程的曲线

如果曲线C 上点的坐标(x ，y ) 都是方程f (x ，y ) ＝0的________，且以方程f (x ，y ) ＝0的解(x ，y ) 为坐标的点都在________上，那么，方程f (x ，y ) ＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f (x ，y ) ＝0的曲线．

2、求动点的轨迹方程的一般步骤

(1)、建系——建立适当的坐标系． (2)、设点——设所求轨迹上任一点P (x ，y ) ． (3)、列式——列出动点P 所满足的关系式． (4)、化简——化方程f (x ，y ) ＝0为最简形式． (5)、证明——证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程．

基础自测：

1、已知抛物线C ： y 2=4x 的焦点为F .

(1)、点A 、 P 满足AP =-2FA . 当点A 在抛物线C 上运动时, 求动点P 的轨迹方程；

(2)、在x 轴上是否存在点Q , 使得点Q 关于直线y =2x 的对称点在抛物线C 上？如果存在, 求所有满 足条件的点Q 的坐标；如果不存在, 请说明理由.

探究突破：

x 22

1－y ＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为动点，若PF 1＋PF 2＝4.

2

(1)、求动点P 的轨迹E 的方程；

(2)、若A 1(－2,0) ，A 2(2,0)，M (1,0)，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R ，Q 两点，直线A 1R 与A 2Q 交于点S . 试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

求曲线方程

针对训练：

1、已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为坐标平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，→→→→且QP ·QF ＝FP ·FQ . 求动点P 的轨迹C 的方程．

2. 如图所示，设抛物线y 2=2px (0

P 为AB 中点，Q 为CD 的中点．（1）求．（2）求△ABQ 面积的最大

值．

3、如图, 抛物线C 1:x =4y , C 2:x =-2py (p >0), 点M (x 0, y 0)在抛物线C 2上, 过M 作C 1的切

2

2

线, 切点为A , B (M 为原点O 时, A , B 重合于O

) x 0=1, 切线MA . 的斜率为-(I)、求p 的值;

1. 2

(II)、当M 在C 2上运动时, 求线段AB 中点N 的轨迹方程. A , B 重合于O 时, 中点为

O .

()

考纲要求：

数学归纳法

主备： 审核：

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

知识梳理：

1、数学归纳法的定义

对于某些与正整数有关的数学命题，可用下列方法来证明它们的正确性： (1)、验证当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1,2等) 时结论正确；

(2)、假设当________________________时结论正确，证明当________时结论也正确． 完成这两步，就可以断定这个命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． 从数学归纳法的定义我们可以看出，它强调的是两个基本步骤，而这两个步骤是问题的两个方面，一个是命题成立的基础，一个是命题之间可递推的依据，二者缺一不可．

注意：数学归纳法的证明步骤可总结为：

奠基步骤不能少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．

探究突破：

一、用数学归纳法证明等式

例1、(x ＋1) n ＝a 0＋a 1(x －1) ＋a 2(x －1) 2＋a 3(x －1) 3＋„＋a n (x －1) n (n ≥2，n ∈N *) ， (1)、当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值；

n (n ＋1)(n －1)a (2)、设b n －T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋„＋b n ，试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝.

32

二、归纳—猜想—证明 例2、已知数列{a n }满足a n +1=

121

a n -na n +1(n ∈N *), 且a 1=3. 22

（1） 计算a 2, a 3, a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明；

n

（2） 求证：当n ≥2时，a n ≥4n n .

三、用数学归纳法证明不等式

例3、设a ＞2，给定数列{a n }，a 1＝a ，a n ＋1a n ＝a n ＋1＋a n (n ∈N ) ． (1)、求证：a n ＞2；

(2)、求证：数列{a n }是单调递减数列．

12

2*

针对训练：

1、已知点的序列A n (x n, 0) ，n ∈N *，x 1＝0，x 2＝a ＞0，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，„，A n 是线段A n －2A n －1的中点．

(1)、写出x n 与x n －1，x n －2之间的关系式(n ≥3) ；

(2)、设x n ＋1－x n ＝a n ，计算a 1，a 2，a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明．

2. 已知数列{a n }满足：a 1=2a -2, a n +1=a a n -1+1(n ∈N *) ． （1）若a =-1，求数列{a n }的通项公式；

（2）若a =3，试证明：对∀n ∈N *，a n 是4的倍数．

3. 已知集合X ={1, 2, 3}，Y n ={1, 2, 3, , n }(n ∈N *) ，S n =(a , b ) a 整除b 或b 整除a ,

{

a ∈X , b ∈Y n }，令f (n ) 表示集合S n 所含元素的个数.

（1）写出f (6)的值；

（2）当n ≥6时，写出f (n ) 的表达式，并用数学归纳法证明.

计数原理、排列组合、二项式定理

主备： 审核： 考纲要求：

1、理解分类计数原理和分步计数原理． 2、理解排列、组合的概念．

3、能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，能利用排列与组合解决简单的实际问题． 4、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

知识梳理：

1、分类计数原理： ，分步计数原理：2

3、二项式定理

(a ＋b ) n ＝____________________，该等式右边的多项式叫做(a ＋b ) n 的二项展开式．该展开式有如下特点：(1)、它是_____________项和的形式；(2)、各项次数的和都等于二项式的幂指数____，各项从左到右是按字母a 的降幂且按字母b 的升幂排列的；(3)、它是两项和的形式，公式中a ，b 的位置不能互换，(a －b ) n 可按[a ＋(－b )]n 展开；(4)Cr n (r ＝0,1,2，„，n ) 叫做二项式第_____________项的二项式系数，它与a ，b 的取值无关．

4、通项公式

n －r r

T r ＋1＝C r b (r ＝0,1,2，„，n ) ，它表示展开式中的任意一项，只要n ，r 确定，该项也就随之确定． n a

5、二项式系数的性质

(1)、对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C r n ＝______.

(2)、增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项的二项式系数__________最大；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数____________、__________相等且最大．

012n 2n －1

(3)、各二项式系数的和：C n ＋C n ＋C n ＋„＋C n ＝____，其中C 0，即奇数n ＋C n ＋„＝__________＝2

n －1

项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于2.

基础自测：

1、用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答) 2、已知(x ＋1) 15＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋„＋a 15x 15，则a 0＋a 1＋a 2＋„＋a 7＝__________

3、某个同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读．

(1)、若他从这些书中带一本去图书馆，有 (2)、若带外语、数学、物理参考书各一本，有种不同的带法？

(3) 、若从这些参考书中选两本不同学科的参考书带到图书馆，有种不同的带法？

4、两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有 种

5、(x 2+2)(

1

-1) 5的展开式的常数项是 2x

n

1⎛⎫

6、若 x +-2⎪的展开式的常数项为-20，求n ．

x ⎝⎭

7、设a ∈Z ，且0≤a

8、用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为9、若将函数f (x )=x 5表示为f (x )=a 0+a 1(1+x )+a 2(1+x )+ +a 5(1+x )， 其中a 0，a 1，a 2，„，a 5为

2

5

实数，则a 3＝______________．

8！＋A 66333

10、计算：(1)=； (2)、C 3＋C 4＋„＋C 10= A 8－A 10探究突破：

例1、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中 (1)、某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)、甲、乙均不能参加，有多少种选法？

(3)、甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？

(4)、队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？

例2、从7名男生5名女生中选取5人，求符合下列条件的选法总数有多少？ (1)、A ，B 必不当选；

(2)、至少有2名女生当选．

例3、已知在(x -

12x

) n 的展开式中，第6项为常数项．

(1)、求n ；

(2)、求含x 2的项的系数；

(3)、求展开式中所有的有理项．

例4、已知(1－2x ) ＝a 0＋a 1x ＋a 2x ＋„＋a 7x .

求：(1)、a 1＋a 2＋„＋a 7； (2)、 a 1＋a 3＋a 5＋a 7；

(3)、 a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)、 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋„＋|a 7|.

2n n -1

例5、求证：（1）C 1； n +2C n + +n C n =n ⋅20（2）C n +

727

111211n +1C n +C n + +C n =(2-1) ． n 23n +1n +1

例6、已知(x -

2n

) (n ∈N *) 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1. 2x

23

(1)、求展开式中各项系数的和；

(2)、求展开式中含x 的项；

(3)、求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．

针对训练：

776

1、若(3x －1) ＝a 7x ＋a 6x ＋„＋a 1x ＋a 0，求：

(1)、a 1＋a 2＋„＋a 7； (2)、a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)、a 0＋a 2＋a 4＋a 6.

2、已知(a 2＋1) n 展开式中各项系数之和等于(系数最大的项的系数等于54，求a 的值．

16215

x +) 的展开式的常数项，而(a 2＋1) n 展开式的二项式5x

3. 利用二项式定理证明：32n +2-8n -9是64的倍数．

4、已知(x +1) =a 0+a 1(x -1) +a 2(x -1) + +a n (x -1) (n ∈N ) . ⑴、求a 0及S n =

n

2

n

*

n

∑a

i =1

i

n

2

⑵、试比较S n 与(n -2)2+2n 的大小, 并说明理由.

02n -12n -22n -3r 2n -1-r n n -1

-C 1+C 2- +C r + +C n 5、已知函数f (x ) =C n x , n ∈N *. n x n x n (-1) x n (-1) x

⑴、当n ≥2时, 求函数f (x ) 的极大值和极小值；

⑵、是否存在等差数列{a n }, 使得a 1C n +a 2C n + +a n +1C n =nf (2)对一切n ∈N *都成立? 并说明理由.

1

n

6. 设整数n ≥4，P (a , b ) 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a , b ∈{1,2,3, , n },a >b

（1）记A n 为满足a -b =3的点P 的个数，求A n ；

（2）记B n 为满足(a -b ) 是整数的点P 的个数，求B n

13

离散型随机变量及分布列

主备： 审核：

考纲要求：

1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．

2、了解条件概率和两个事件相互独立的概率．

3、理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．

4、理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．

知识梳理：

1、条件概率及其性质：2、独立事件：

3、二项分布：

4、随机变量的概率分布

(1)、一般地，如果随机试验的结果，可以用一个____来表示，那么这样的变量叫做________． 如果随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．

(2)、概率分布的定义

一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是x 1，x 2，„，x n ，且

P (X ＝x i ) ＝p i ，i ＝1,2，„，n ，①

则称①为随机变量X

我们将上表称为随机变量X X 的概率分布．

(3)、概率分布的性质

①、p i ≥0(i ＝1,2，„，n ) ；②、__________________.

5、两点分布(01分布)

如果随机变量X 的概率分布为

则称随机变量X 服从0101分布或X ～两点分布．

6、超几何分布

在含有M 件次品数的N 件产品中，任取n 件，其中含有X 件次品数，则事件{X ＝k }发生的概率为：

* P (X ＝k ) ＝________(k ＝0,1,2，„，m ) ，其中m ＝min(M ，n ) ，且n ≤N ，M ≤N ，n 、M 、N ∈N ，则称X

n －k C k M C N －M 服从超几何分布，记为X ～H (n ，M ，N ) ，并将P (X ＝k ) ＝H (k ；n ，M ，N ) ． C N

7、离散型随机变量X 的均值与方差

若离散型随机变量X

(1)、均值(数学期望)

称_____________为离散型随机变量X 的均值或数学期望，记为E (X ) 或μ，

即E (X ) ＝__________________

(2)、方差

称_____________为离散型随机变量X 的方差，记为V (X ) 或σ2，

即V (X ) ＝σ2＝______________________________

(3)、标准差

随机变量X 的方差V (X ) 的算术平方根称为X 的标准差，即σ＝_____________

8、两点分布、超几何分布与二项分布的均值、方差

(1)、若X ～0-1分布，则E (X ) ＝________，V (X ) ＝________.

(2)、若X ～H (n ，M ，N ) ，则E (X ) ＝_________________，V (X ) ＝____________________.

(3)、若X ～B (n ，p ) ，则E (X ) ＝_______________，V (X ) ＝__________.

基础自测：

设Y ＝2X ＋3，则E (Y ) 2、袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4) ．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．

(1)、求ξ的分布列、均值和方差；

(2)、若η＝aξ＋b ，E (η) ＝1，V (η) ＝11，试求a ，b 的值．

1、已知X

探究突破：

一、随机变量概率分布性质的应用

例1、

设ξ (1)、求q 的值；

(2)、求P (ξ≥0) ；

(3)、求ξ2的概率分布．

二、离散型随机变量的概率分布的应用

例2、某品牌汽车4S 店经销A , B , C 三种排量的汽车，其中A , B , C 三种排量的汽车依次有５，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．

(1)求该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率；

(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望．

三、概率的综合应用

例3、 一个口袋中装有n 个红球(n ≥5且n ∈N ) 和5个白球，这些球除颜色外完全相同，每次从袋中任意摸出两个球，记录下颜色后，再放回袋中．

(1)、当n ＝5时，设ξ表示第一次摸出的两个球中红球的个数，求ξ的概率分布及数学期望．

(2)、某人共三次摸出球，记三次摸球中恰有一次两球颜色不同的概率为P . 当n 等于多少时，P 最大？

四、数学期望与方差的应用

例4、 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元) 为X .

(1)、求X 的分布列；

(2)、求1件产品的平均利润(即X 的数学期望) ；

(3)、经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

针对训练：

1、电子蛙跳游戏是: 青蛙第一步从如图所示的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1顶点A

起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点．

A 1

（1）求跳三步跳到C 1的概率P ；

（2）青蛙跳五步，用X 表示跳到过C 1的次数，求随机变量X 的概率分布及数学期望E (X ) ．

2、设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ= 0，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积．

（1）求概率P （ξ= 0）；

（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ) ．

3、一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是

1. 3

(1)、设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列；

(2)、设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列．

4、某城市有甲、乙、丙、丁4个旅游景点，一位客人游览这4个景点的概率都是0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响．设 ξ 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．

(1)、求 ξ 的分布列及数学期望；

(2)、记“函数f (x ) ＝x 2－3ξ x＋1在区间[4，＋∞) 上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率