高中理科数学必修二练习(含答案)

高中理科数学必修二练习

一、选择题

1．如图所示，用符号语言可表达为（ ） A ．α∩β＝m ，n ⊂α，m ∩n ＝A.

B ．α∩β＝m ，n ∈α，m ∩n ＝A C ．α∩β＝m ，n ⊂α，A ⊂m ，A ⊂ n

件中能推出

D ．α∩β＝m ，n ∈α，A ∈m ，A ∈ n 2. 已知直线a 、b 与平面α、β、γ，下列条α∥β的是（ ）

A ．a ⊥α且a ⊥β. C ．a ⊂α，b ⊂β，a ∥b

B ．α⊥γ且β⊥γ

D ．a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β

22

3. 已知实数x 、y 满足2x+y+5=0，那么x +y 的最小值为( )

A. 5 . B. C. 25 D. 2 4. 点P(2,5)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为( )

A.(6,-3) B.(3,-6) C. (-6,3) D.(-6,-3).

5. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1的个数有（ ） ①(+)+CC 1 ②(AA 1+A 1D 1)+D 1C 1 ③(+BB 1)+B 1C 1 ④(1+A 1B 1)+B 1C 1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个.

y 26. 过双曲线x -=1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的2

2

直线l 有（ ）

A.1条 B.2条 C.3条. D.4条

7. 过抛物线y=ax(a>0)的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 的长为m, QF

2

11

+等于（ ） m n

14

A.2a B. C.4a. D.

2a a

的长为n, 则

8. 将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =a ，则三棱锥D —ABC 的体积为

（ ）

二、填空题

1．设命题p:|4x-3|≤1; 命题q:x-(2a+1)x+a(a+1)≤0. 若⌝p 是⌝q 的必要而不充分的条

2

a 3a 32333

A ． B ． a . C ．a D ．

6121212

件，则实数a 的取值范围是___________.

x 2y 22

+=1的离心率e =2. 已知椭圆, 则m 的值等于_______. m 42

3. 过点(-3,2)的直线与抛物线y 2=4x 只有一个公共点, 则此直线方程是_______.

4. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为Q ，则圆锥的体积为___________.

三、解答题

x 2y 222

1．已知椭圆D ：+=1与圆M ：x +(y-m)=9(m∈R) ，双曲线G 与椭圆D 有相同的焦

5025

点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切. 当m=5时，求双曲线G 的方程.

2. 如右图，棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1中点，O 1、O 2、O 3分别是面A 1C 1、面BC 1、面AC 的中心.

(1)求证：B 1O 3⊥PA ；

(2)求异面直线PO 3与O 1O 2所成角的余弦值； (3)求PO 2的长.

3. 圆锥底面半径为1 cm，高为2 cm ，其有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.

x 2y 2

4. 如右图, 椭圆2+2=1(a >b >0)与过点A (2,0),B (0,1)的直线有且只有一个公共点T, 且

a b

椭圆的离心率e =

(1)求椭圆的方程;

(2)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点, 求证:|A T|2=

, 2

1

|AF 1||AF 2|. 2

参考答案：

一、选择题 AAAD DCCB

二、填空题

2

1. 解析：先列出⌝p 和⌝q 命题：|4x-3|>1和x -(2a+1)x+a(a+1)>0，分别解之得⌝p:x>1

111

; ⌝q:x>a+1或x

1

答案：0≤a ≤

2

或x

2. 答案:2或8

3. 解:显然, 直线存在斜率k , 设其方程为y -2=k (x +3),由⎨

⎧y -2=k (x +3), ⎩y =4x ,

2

消去x , 整理得ky 2-4y +8+12k =0.① (1)当k =0时, 方程①化为-4y +8=0,即y =2. 此时过(-3,2)的直线方程为y =2,满足条件. (2)当k ≠0时, 方程①应有两个相等实根. 由⎨得k =

⎧k ≠0, ⎧k ≠0,

即⎨

⎩∆=0, ⎩16-4k (8+12k )=0,

11或k =-1. ∴直线方程为y -2= (x +3)或y -2=-(x +3), 即x -3y +9=0或x +y +1=0. 33

故所求直线有三条, 其方程分别为y =2,x -3y +9=0,x +y +1=0.

4. 解析:设圆锥的高为h, 半径为r, 母线为l , 则S 侧=πrl ，S 底=πr2，∵S 侧=2S底, ∴πrl =2πr2，即

2

2

2

2

l =2r.又l =r+h，解得h=3r . 又∵S 轴截面=rh=Q,∴r =

Q 3

, 即r=

Q

.

∴h=3r =

Q

3

. 故V 圆锥=

12πQ πrh=.

333

答案：

πQ Q

3三、解答题

x 2y 2

1. 解析：椭圆D ：+=1的两焦点为F 1(-5,0)，F 2(5,0)，故双曲线的中心在原点，

5025x 2y 2

焦点在x 轴上，且c=5.设双曲线G 的方程为2-2=1(a>0,b>0),则G 的渐近线方程为

a b

y=±

b 22

x, 即bx ±ay=0,且a +b=25.当m=5时，圆心(0,5)，半径r=3. a

x 2y 2

∴=3⇒a=3,b=4. ∴双曲线G 的方程为-=1.

22916a +b

|5a |

2. 答案: (1)证明：以D 为坐标原点，DA 、DB 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如右图所示空间直角坐标系D —xyz,

111

) 、O 3(, ,0) ， 222

111

∴B 1O 3=(-,-,-1), PA =(1,0,-).

222

111

∴B 1O 3·=-×1-×0-1×(-)=0. ∴v ⊥. ∴B 1O 3⊥PA.

222111111

(2)解析：∵O 1(, ,1),O 2(,1, ), ∴O 1O 2=(0,,-).

222222111

又PO 3=(, ,-), 设PO 3与O 1O 2夹角为θ,

222

则A(1,0,0)、B 1(1,1,1)、P(0,0,

111111⨯0+⨯-⨯(-)

6=∴cos θ=.

1111123312++⋅0++⋅4444422

∴异面直线PO 3与O 1O 2所成角的余弦值为

. 3

(3)解析：∵P(0,0,

111),O 2(,1, ), 222

2

2

∴|PO 2|=(-0) +(1-0) +(-) =

121212

2

5, 故PO 2的长为.

22

3. 解：过圆锥的顶点和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，

得圆锥的轴截面SEF ，正方体对角面CDD 1C 1，如图，设正方体棱长为x ，

则CC 1=x,C1D 1=2x. 作SO ⊥EF 于O ，则SO=2

,OE=1,

∵△ECC 1∽△ESO, CC 1EC 1x

=. =SO EO 2

1-

2

x

2. ∴x=(cm).

12

∴正方体棱长为

2

cm. 2

⎧x 2y 2

+=1, ⎪x ⎪a 2b 2

4. (1)解:过A 、B 的直线方程为+y =1, 因为由题意得⎨有唯一解,

21⎪y =-x +1

⎪2⎩

即(b 2+

1222222

a ) x -a x +a -a b =0有唯一解, 所以Δ=a 2b 2(a 2+4b 2-4)=0(ab ≠0). 故a 2+4b 2-4=0. 4

a 2-b 233

=, 又因为c=, 即 2

42a

1x 2

所以a =4b . 从而得a =2,b =, 故所求的椭圆方程为+2y 2=1.

22

2

2

2

2

(2)证明:由(1)得c=

666, 所以F 1(-,0), F 2(,0), 222

⎧x 22

+2y =1, ⎪15⎪2由⎨解得x 1=x 2=1, 因此T(1,). 从而|A T|2=,

24⎪y =-1x +1,

⎪2⎩

因为|AF 1|·|AF 2|=

51

, 所以|A T| 2=|AF 1|·|AF 2|. 22