北京市水资源短缺问题研究

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题 目 北京市水资源短缺问题研究

摘 要：

本文围绕北京市水资源短缺的影响问题，从当前经济社会发展现实出发，运用现实经济数据，建立了影响北京市水资源短缺的模型，并据此对2010年和2011年北京的用水情况进行预测。

对于问题一，我们选择北京市水资源总量与用水总量的差额作为北京市水资源短缺情况的衡量指标。再通过大量文献查阅，并结合经济学理论，首先确定了部分可能对北京市水资源总量产生影响的因素，然后通过相关统计技术分析最终将水资源总量、污水排放总量、农业用水量以及生活用水量确定为导致北京市水资源短缺的风险因子。

对于问题二，本文基于模糊概率理论建立了水资源短缺风险评价模型，可对水资源短缺风险发生的概率和缺水影响程度给予综合评价。首先构造隶属函数以评价水资源系统的模糊性；其次利用Logistic 回归模型模拟和预测水资源短缺风险发生的概率；而后建立了基于模糊概率的水资源短缺风险评价模型；最后利用判别分析识别出水资源短缺风险敏感因子。并通过对2001-2008年的实例分析，拟定了再生水回用和南水北调两项调控措施，通过试算分析，这两项措施可有效降低2010、2011年北京市水资源短缺风险。

对于问题三，在问题二建立的模型基础上，我们进行了相关的的模拟分析，结合当前获得的相关数据，对2010年和2011年的北京市水资源短缺风险况进行预测，得出2010、2011年北京市水资源短缺风险均为高风险

我们从建立的模型和模拟仿真结果，提出了降低北京市水资源短缺风险的三项政策建议：(1)再生水回用; (2) 南水北调;(3) 增大废水处理率，提高再生水利用率；（4）虚拟水战略。

[关键词]：水资源短缺；模糊概率；Logistic 回归模型；判别分析；敏感因子；

一、问题的重述

水资源，是指可供人类直接利用，能够不断更新的天然水体。主要包括陆地上的地表水和地下水。

风险，是指某一特定危险情况发生的可能性和后果的组合。

水资源短缺风险，泛指在特定的时空环境条件下，由于来水和用水两方面存在不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失。

近年来，我国、特别是北方地区水资源短缺问题日趋严重，水资源成为焦点话题。 以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，其人均水资源占有量不足300m 3，为全国人均的1/8，世界人均的1/30，属重度缺水地区，附表中所列的数据给出了1979年至2000年北京市水资源短缺的状况。北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。政府采取了一系列措施, 如南水北调工程建设, 建立污水处理厂, 产业结构调整等。但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。

《北京2009统计年鉴》及市政统计资料提供了北京市水资源的有关信息。利用这些资料和你自己可获得的其他资料，讨论以下问题：

1 评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么？

影响水资源的因素很多, 例如：气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度，人口规模等。

2建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价， 作出风险等级划分并陈述理由。对主要风险因子, 如何进行调控，使得风险降低？

3 对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，并提出应对措施。

4 以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告。

二、问题的假设

1、假设不考虑其他风险因子对北京市水资源总量的影响。 2、假设统计数据真实可靠。

3、假设2010年到2011年期间无对水资源总量有影响的突发事件。

三、建立评定水资源短缺风险的风险因子模型

(1)建立水资源风险因子分析判别模型

判别分析可用于识别影响水资源短缺风险的敏感因子，能够从诸多表明观测对象特征的自变量中筛选出提供较多信息的变量，且使这些变量之间的相关程度较低。线性判别函数的一般形式如下：

y =a 1x 1+a 2x 2+,..., +a n x n

, ,...,

其中Y 为判别分数x 1, x 2,..., x n ，为反映研究对象特征的变量，a 1a 2a n 为各变量的系数，也称判别系数。

常用的判别分析方法是距离判别法(Mahalanobis距离法) ，即每步都使得相距最近的两类间的Mahalanobis 距离最大的变量进入判别函数，其计算公式如下：

d

2

T -1

(x , y )=（x i -y ）S （x i -y ）

j

j

其中x i 是某一类中的观测量，y 是另一类，式(14)可以求出x 与Y 的Mahalanobis

j

距离。S 为样本协方差矩阵。对于离散随机变量， S (x , Y ) =∑∑(x i -E ξ)(y i -E η) p (x i , y i ) 。

i

j

综上所述，水资源短缺风险评价模型的建模与计算步骤如图1所示。

(2)北京市水资源短缺风险影响因子

分析北京市水资源开发利用中存在的问题主要有：(1)上游来水衰减趋势十分明显；(2)长期超采地下水导致地下水位下降；(3)水污染加重了水危机；(4)人口膨胀和城市化发展加大了生活用水需求等。因此，导致北京水资源短缺的主要原因有资源型缺水和水质型缺水等∞J 。影响北京水资源短缺风险的因素可归纳为以下两个方面：

(1)自然因素：①地理因素；②气候因素；③人口数；④入境水量；⑤水资源总量；⑥地下水位埋深；

(2)社会经济环境因素：①污水排放总量；②污水处理率；③COD 排放总量；④生活用水量；⑤农业用水量；⑥水资源管理制度，供水企业的改革；⑦节水设施；⑧宣传力度； (3)问题一求解

从《北京市2009年度统计年鉴》中可查得所有相关数据，如表1所示： 表1 北京市水资源情况(2001-2008年) 单位：亿m 3

四、问题二的分析及模型的建立、求解

(1) 问题的背景资料

最具代表性的风险定义是由Kaplan 提出的，并得到国际社会广泛的认可[11]，即

(ϕ) p ϕs 式中：为第i 个有害事件；表示第i 个事件发生的频率；表示第i 个有p (x ) 表示第i 个事件ϕ害事件发生的可能性为的概率；x 表示第i 个事件的结果；

i

i

i i

i

i i

i

结果为x i 的概率，风险模型采用了向量的表示形式。

国内这方面具有代表性的工作有，如阮本清等建立了水资源短缺风险性能指标，研究了水资源短缺风险的模糊综合评价方法[12]；刘涛等利用层次分析法确定风险指标的权重并建立供水风险综合评估模型；黄明聪等将风险评价归纳为一个支持向量回归问题

[13]

，建立了基于支持向量机的水资源短缺风险评价模型[14]。

上述研究的共同特点是从随机模型或模糊模型的角度分别探讨水资源短缺风险问

题。而水资源系

统是一个复杂的大系统，广泛存在着随机性和模糊性。由于随机性是因果律的破缺、模糊性是排中率的破缺，所以应在水资源短缺风险评价模型的设计中同时考虑这两种因素的影响。

(2) 基于模糊概率的水资源短缺风险评价模型的建立

借鉴Kaplan 的定义，本文认为水资源短缺风险是指在特定的环境条件下，由于来水和用水存在模糊与随机不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的概率以及相应的缺水影响程度。基于上述理由设计了基于模糊概率的水资源短缺风险评价模型。

(3)基于模糊概率的水资源短缺风险

对于一个供水系统来说，所谓失事主要是供水量w ξ小于需水量w η，从而使供水系统处于失事状态。基于水资源系统的模糊不确定性，构造一个合适的隶属函数来描述供水失事带来的损失。定义模糊集w c 如下：

w ={x :0≤μ(x ) ≤1}

c

式中：x 为缺水量，如下：

x =w η-w ξ

；μ(x ) 为缺水量在模糊集w c 上的隶属函数，构

μ(x ) =0, 0≤x ≤w α

⎛x -⎫α⎪ μ(x ) =, w α≤x ≤w m ⎪-

⎝w w α⎭

μ(x ) =1, x ≥w m

式中：w ξ、w η分别为供水量和需水量；w α为缺水系列中最小缺水量；w m 为缺水系列中最大缺水量；P 为大于1的正整数。

将水资源短缺风险定义为模糊事件A f ，发生的概率，即模糊概率为：

P (A f ) =⎰

R

n

μ

A f

(y ) dP

式中：R 为n 维欧氏空间；

如果dP=f(y)dy，则

n

μA

f

为模糊事件A f ，的隶属函数；P 为概率测定。

P (A f ) =⎰

R

n

μ

A f

f (y ) dP

其中，f (y ) 是随机变量Y 的概率密度函数。 水资源短缺风险的定义可表示为

+∞

R =

从式中可知：上述风险定义将水资源短缺风险存在的模糊性和随机性联系在一起，其中，随机不确定性体现了水资源短缺风险发生的概率，而模糊不确定性则体现了水资源短缺风险的影响程度。依据概率密度函数f(x)和隶属函数的形式计算水资源短缺风险R 。

3.2.2. 水资源短缺风险的模拟概率分布

拟系列的概率分布一般有MC(蒙特卡罗) 、MFOSM(均值一次两阶矩) 法、SO (两次矩) 法、最大熵风险分析方法、AFOSM(改进一次两阶矩) 法以及Jc 法等，这些模拟方法在实际应用时可能会存在一些问题，如对因变量分布的假设过于敏感、计算结果不唯一、模型精度低、收敛性不能得到证明、理论体系不完善等等[16-18]。而logistic 回归方法具有对因变量数据要求低、计算结果唯一、模型精度高等优点，本文采用Logistic 回归模型来模拟缺水量系列的概率分布。

一个自变量的Logistic 回归模型可写为：

w α

⎰μ(x ) f (x ) dx

Pr ob (event ) =

1--x

1+e b 0b 1

式中：b 0和b 1分别为自变量的系数和常数；e 为自然对数。 包含一个以上自变量的模型可表示为

Pr ob (event ) =

z =b 0+b 1x 1+b 2x 2+... +b p x p

11+e

-x

其中：

(P为自变量的数量) ，b 0、b 1、…b p ，分

别为Logistic 回归系数。

3.2.3 Logistic回归模型拟合度检验和系数检

2χ建立Logistic 回归模型后，常用Hosmer-Losmer 统计量进行模型的拟合度检验，

其表达式为：

Chi -square =∑1(x s -x y ) /x y

n

2

其中：x s 和x y 分别是实际观测量和预测数量。检验的原假设和备择假设为：H 0为方程对数据的拟合良好，H 1为方程对数据的拟合不好。

2

χ对于较大样本的系数检验，常用基于分布的Wald 统计量进行检验[19|，当自由

度为1时，Wald 值为变量系数与其标准误差比值的平方，对于两类以上的分类变量来

说，其式如下：

W =B ' V -1B

V 式中：B 为极大似然估计分类变量系数的向量值；

矩阵的逆矩阵；B 为B 的转置阵。

'

-1

为变量系数渐近方差-协方差

其检验的原假设和备择假设为：H 0为回归模型的系数等于0，H 1为回归模型的系数不等于0。

3.3 问题二的求解

3.3.1研究区概况

北京位于华北平原西部，属暖温带半干旱半湿润性季风气候，由于受季风影响，雨量年际季节分配极不均匀，夏季降水量约占全年的70％以上，全市多年平均降水量575mm 。属海河流域，从东到西分布有蓟运河、潮自河、北运河、永定河、大清河五大水系(见图2) 。北京是世界上严重缺水的大城市之一，当地自产水资源量仅39．99亿m 3，多年平均入境水量16．50亿m 3，多年平均出境水量11．60亿m 3，当地水资源的人

均占有量约300 m3，是世界人均的1／30，远远低于国际公认的人均1000m 3的下限，属重度缺水地区。水资源短缺已成为影响和制约首都社会和经济发展主要因素[19]。 3.3.2北京市水资源短缺风险影响因子分析

3.3.2.1 Logistic回归模型的建立

建立Logistic 回归模型，将2001--2008年的用水总量、可利用水资源总量等系列代入模型，模拟缺水系列的概率分布。对构建的模型进行Hosmer —Losmer 检验，检验结果见表1，模型的预测效果见表2，模型中各变量的相关统计量见表3。

由表1可知，Hosmer-Losmer 检验的显著性水平是0．663>0．001。检验通过，接受原假设，即建立的Logistic 回归模型对数据拟合良好。由表2可知，只有1个未缺水的年份被该模型正确估计出来，正确率为100％；只有1个缺水的年份被估计为未缺水，那么总的正确判断率为88.9％。由此可知，所建立的回归方程可以付诸应用。

根据表3中的系数，Logistic 回归模型如下：

f (x ) =

其中：x 为缺水量。

1

1+e

-(203. 403+0. 308x )

3.3.2.2水资源短缺风险评价过程

(1)水资源短缺风险计算分析：根据上式建立水资源短缺风险评价模型，得到北京市2001--2008年水资源短缺风险的计算结果如图3所示。其中缺水发生的概率，是由Logi8tic 回归模型计算得到，水资源短缺风险值是由基于模糊概率的水资源短缺风险评价模型计算出来的。

图3北京市2001--2008年的水资源短缺风险

(2)水资源短缺风险分类。利用Quiek Cluster对2001--2008年北京市的水资源短缺风险进行聚类，各类风险最终的类中心和特征如表4所示。分类结果如图4所示，图4中横坐标表示年降雨量，纵坐标表示历年水资源短缺风险值，图中的虚线表示拟合线，5种标记表示5种风险等级。表4水资源短缺风险类别与特性

由图4所示，高风险、较高风险以及中风险基本都集中发生在降雨量少的年份，较低风险以及低风险都集中在降雨量大的年份。以2001年和2005年为例，1999年的降雨量是历年中最少的，风险值也是最大的，属于高风险；1994年的降雨量是历年中最大的，风险值比较小。进一步，从图4中的拟合线可以看出，水资源短缺风险与降雨量是高度负相关的。

表4水资源短缺风险类别与特性

(3)水资源短缺影响因子分析。根据3．2中提出的水资源短缺风险影响因子，利用Mahalanobis 距离法筛选出水资源短缺风险敏感因子，见表5。

从表5中第3栏可以看出，水资源总量、污水排放总量、农业用水量、生活用水量在步骤1至步骤4中移出模型的概率均小于0．1，同时在每步中这4个变量均使得最近的两类间的Mahalanobis 距离最大，因此，这4个变量是影响北京地区水资源短缺风险的敏感因子。

3.3.2.3 北京市2010、2020水平年水资源短缺风险评

根据上述水资源短缺风险评价模型，对2010和2011水平年分3种情景讨论，分别是平水年(50％) 、偏枯年(75％) 、枯水年(95％) ，得出2010、2011水平年北京市水资源短缺风险评价结果如表6所示。

由表6可知，在3种情景下，2010水平年的水资源短缺风险都处于中等以上风险水

平，而2011水平年在3种情景下都处于较高以上风险水平。

近年来，北京市一直在加大再生水利用量，这在一定程度上缓解了北京市水资源短缺的紧张局面，北京市再生水利用和规划情况见图4所示，其中2010和2021年再生水利用量是根据现有的趋势预测的。由此计算2010和2021年北京地区水资源短缺风险，结果如表7所示。

由表7可以看出，再生水回用后，2010与2021不同规划水平年北京市水资源短缺风险呈现不同幅度的降低，个别规划年份的降低幅度可达43％，可见再生水回用不失为降低北京地区水资源风险的有效途径之一。但是即便如此，2021各规划水平年北京市水资源短缺风险仍均处于高风险水平。

图4北京市逐年再生水利用量

3.3.2.4南水北调对北京市水资源保障的情景分析

南水北调中线调水工程，是从资源性角度缓解北京市水资源不足的重大举措，目前京石段已通水，年调水量10.8亿m 3。在此设计3种情景：一是南水北调工程调水为零，即无南水北调工程条件；二是南水北调工程源水端汉江流域发生连续干旱，调水量为设计调水量的80％，即8．4亿m 3；三是按南水北调工程规划调水，即2010年10．5亿m 3，2011年10．5亿m 3，见表8。2010、2011年分别调水10．5亿m 3后北京市水资源短缺风险评价结果如表9所示。

3

由表9可以看出，调水10．5亿m 3后，各规划水平年的风险水平均有不同程度的降低，以50％的保证率为例，2010年北京市水资源短缺风险由调水前的0．44降低至0．19，降低幅度达57％，在75％和95％保证率下水资源短缺可降低至中等风险水平，缓解作用比较明显。但对2011各规划水平年，可能的风险虽有不同程度降低，但面临的风险仍处于很高的水平。同时采用利用再生水和外源水的措施后，规划水平年北京市水资源短缺风险计算结果如表10所示。

由表10可知，采取再生水回用和调水措施后，各种保证率下的2010和2011年北京市水资源短缺风险均由措施前的中高风险降至低风险水平，所以，再生水回用和南水北调是解决北京市水资源总量不足的根本措施。

3.3.2.5其他风险因子的讨论与预测

由表5可知，水资源总量、污水排放总量、农业用水量、生活用水量是北京水资源短缺的主要致险因子，其中生活用水是不可压缩的，随着北京都市化进程的不断加快，人口增长与人民生活水平的不断提高，生活用水量会进一步加大。2007年北京市污水处理率已达76．2％，2010、2011年的污水处理率会进一步增加，污水排放总量会进一步减少，扩大再生水利用和南水北调工程均扩大了北京地区的水资源总量。2008年北京农

[20]

业用水量占北京总用水量的37％左右，采用文献中提出的节水措施可进一步降低北京农业用水量，但由于受到基本农田保护制度的政策的制约，进一步大幅度压缩农业用水的可能性不大。2008年来北京年均农产品虚拟水输入量为3．37亿m3，这相当于北京市年产水资源总量的9.85％[21]。虚拟水战略不失为间接缓解北京地区水资源短缺风险的途径，值得进一步探讨。

四、模型的评价及推广

(1)本文基于模糊概率建立了水资源短缺风险评价模型，同时考虑到水资源系统的随机不确定性和模糊不确定性，可对水资源短缺风险发生的概率和影响程度给予综合评价，2001--2008年的北京市水资源短缺风险的实例分析，表明了模型的适用性；

(2)确定水资源总量、污水排放总量、农业用水量以及生活用水量是北京市水资源短缺的主要致险因子；

(3)再生水回用和南水北调工程可使北京地区2010和2011年各类规划水平年的水资源短缺均降至低风险水平。所以，在加快南水北调进京工程的同时，大力发展再生水回用，是解决北京地区水资源短缺风险的根本措施。

（4）而由于时间仓促，本文在模型建立上还存在一些问题，另外，对于问题二，也因为时间原因，我们仅仅对主要的两项措施（再生水回用和南水北调工程）进行了研究，而对其他几项对降低北京市水资源风险的几项措施没有进一步分析，这也为我们未来的研究留下了很多发展方向。

[参考文献]：

[1] 张 平 等，MATLAB 基础与应用，北京：北京航空航天大学出版社，2001年 [2] 苏金明，张莲花 等，MATLAB 工具箱应用，北京：电子工业出版社，2004年 [3] Bagel M S ，Das Gupta A ，Nayak D K ．A model for optimal allocation of water to competing demands[J]．Water Resources Management ，2005，19(6)：693—712．

[4] 阮本清，梁瑞驹，陈韶君．一种供用水系统的风险分析与评价方法[J]．水利学报，2000(9)：1—7．

[5] 衷平，沈珍瑶，杨志峰，等．石羊河流域水资源短缺风险敏感因子的确定[J]．干旱区资源与环境，2005，19(2)：

[6] Bogardi I，Bordossy A，Duckstein L．Regional management of an aqifer for mining under fuzzy environmental objectives [J]．Water Resour．Res ．，1983，19(6)：1394—1402．

[7] Mujumdar P P ，Sasikumar K ．A fuzzy risk approach for seasonal water quality management of a fiver system[J]．Water Resour ．Res ．，2002，38(1)：1—9．

[8] Sasi Kumar K ，Mujurndar P P ．Applieation of fo=y probability in water quality management of a river system[J]．Int ．J ． Syst ．Sci ．，2000，30(5)：575—591．

[9] Ghosh S，Mujumdar P P．Risk minimization in water quality control problems of a river system[J]．Advances in Water Resources ，2006，29(3)：458—470．

[10] Suresh K R，Mujumdar P P．A fhzzy risk approach for performance evaluation of an irrigation reservoir system[J]．Agriculture Water Management，2004，69(2004)：159一177． [11] Kaplan ，Garrick J．On the quantitative deftnition of risk[J]．Risk Analysis，1981，l(1)：ll —37．

[12] 阮本清，韩宇平。王浩，等．水资源短缺风险的模糊综合评价[J]．水利学报．2005，36(8)：906—912．

[13] 刘涛，邵东国，顾文权．基于层次分析法的供水风险综合评价模型[J]．武汉大学学报(工学版) ，2006，39(4)：25—28．

[14] 黄明聪，解建仓，阮本清，等．基于支持向量机的水资源短缺风险评价模型及应用[J]．水利学报，2007，38(3)：255—259．

[15] 左其亭，吴泽宁，赵伟．水资源系统中的不确定性风险分析方法[J]．干旱区地理，2003，26(2)：116—121．

[16] 刘涛，邵东国．水资源系统风险评估方法研究[J]．武汉大学学报(工学版) ，2005，38(6)：66—71．

[17] 王栋，朱元生生．最大熵原理在水文水资源科学中的应用[J]．水科学进展，2001，12(3)：424—430．

[18] 邹志红，云逸，王惠文，等．基于Logistic 回归的水质预测研究[J]．数学的实践与认识，2008，38(1)：82—87．

[19] 卢纹岱．SPSS For Windows统计分析(第3版)[M]．北京：电子工业出版社，2006：315—476．

[20] 刘静楠，顾颖．判别分析在农业旱情识别中的应用[J]．水文，2007，27(2)：60一67．

[21] 王红瑞，刘昌明，张继伟，等．水资源短缺对北京市工业经济的影响与对策[J]．人口资源与环境，2004，(14)：88—91．

[22] 王红瑞，刘昌明，毛广全，等．水资源短缺对北京市农业的影响与对策[J]．自然资源学报，2004，19(2)：160—169．

3.1基于聚类分析的水资源短缺风险分类

为了直观的说明水资源短缺风险程度，利用Quick Cluster过程(快速样本聚类) 对风险进行聚类。快速样本聚类需要确定类数，利用k 均值分类方法对观测量进行聚类，根据设定的收敛判据和迭代次数结束聚类过程，计算观测量与各类中心的距离，根据距离最小的原则把各观测量分派到各类中心所在的类中去。事先选定初始类中心，根据组成每一类的观测量，计算各变量均值，每一类中的均值组成第二代迭代的类中心，按照这种方法迭代下去，直到达到迭代次数或达到中止迭代的数据要求时，迭代停止，聚类过程结束。

对于等间隔测度的变量，一般用Euclidean distance(欧式距离) 计算，而对于计数变量一般用Chi-squaremeasure(x2测度) 来表征变量之间的不相似性，其表达式如下所示：