高三数学高考中求解圆锥曲线问题的几种措施
高考中求解圆锥曲线问题的几种措施
圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。 一. 紧扣定义，灵活解题
灵活运用定义，方法往往直接又明了。
y 2
=1，P 为双曲线上一例1. 已知点A （3，2），F （2，0），双曲线x -3
点。
2
1
求|PA |+|PF |的最小值。
2
解析：如图所示，
1
双曲线离心率为2，F 为右焦点，由第二定律知|PF |即点P 到准线距
2
离。
15
∴|PA |+|PF |=|PA |+|PE |≥AM =
22
二. 引入参数，简捷明快
参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。 例2. 求共焦点F 、共准线l 的椭圆短轴端点的轨迹方程。
解：取如图所示的坐标系，设点F 到准线l 的距离为p （定值），椭圆中
心坐标为M （t ，0）（t 为参数）
b 2
p =，而c =t
c
∴b 2=pc =pt
再设椭圆短轴端点坐标为P （x ，y ），则
⎧⎪x =c =t ⎨
y =b =pt ⎪⎩
消去t ，得轨迹方程y 2=px
三. 数形结合，直观显示
将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观
性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。 例3. 已知x , y ∈R ，且满足方程x 2+y 2=3(y ≥0) ，又m =
m = 解析：
y +3
，求m 范围。 x +3
y +3
的几何意义为，曲线x 2+y 2=3(y ≥0) 上的点与点（－x +3
3，－3）连线的斜率，如图所示
k PA ≤m ≤k PB ∴
四. 应用平几，一目了然
用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。
⋅OQ |的值例4. 已知圆(x -3) 2+y 2=4和直线y =mx 的交点为P 、Q ，则|OP ||
为________。
3-33+ ≤m ≤
22
解： ∆OMP ~∆OQN
|OP ||⋅OQ |=|OM ||⋅ON |=5
五. 应用平面向量，简化解题
向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
x y x 2y 2
+=1，直线l ：+=1，P 是l 上一点，射线OP 例5. 已知椭圆：
1282416
交椭圆于一点R ，点Q 在OP 上且满足|OQ ||⋅OP |=|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程。
分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。
→→→→→→→
解：如图，OQ ，OR ，OP 共线，设OR =λOQ ，OP =μOQ ，→→→
OQ =(x ，y ) ，则OR =(λx ，λy ) ，OP =(μx ，
μy )
→→→2
⋅OP |=|OR | |OQ ||
→2→2
2
∴μ|OQ |=λ|OQ |
∴μ=λ2
点R 在椭圆上，P 点在直线l 上 ∴
λ2x 2
24
+
λ2y 2
16
=1，
μx
12
+
μy
8
=1
x 2y 2x y +=+ 即
2416128
化简整理得点Q 的轨迹方程为：
2(x -1) 2(y -1) 2
+=1（直线y =-x 上方部分）
55323
六. 应用曲线系，事半功倍
利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系
是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。
例6. 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。 解：设所求圆的方程为：
x 2+y 2+6x -4+λ(x 2+y 2+6y -28) =0 (1+λ) x 2+(1+λ) y 2+6x +6λy -(28λ+4) =0 则圆心为(
-3-3λ
，) ，在直线x -y -4=0上 1+λ1+λ
∴解得λ=-7
故所求的方程为x 2+y 2-x +7y -32=0
七. 巧用点差，简捷易行
在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简
捷一些。
y 2
=1相交于两点P 1、P 2，求线段例7. 过点A （2，1）的直线与双曲线x -2
P 1P 2中点的轨迹方程。
2
解：设P 1(x 1，y 1) ，P 2(x 2，y 2) ，则
⎧2y 12
x -=1⎪⎪12 ⎨2
⎪x 2-y 2=12⎪2⎩ －得 (x 2-x 1)(x 1+x 2) = 即
(y 2-y 1)(y 1+y 2)
2
y 2-y 12(x 1+x 2)
=
x 2-x 1y 1+y 2
设P 1P 2的中点为M (x 0，y 0) ，则 k P 1P 2=
y 2-y 12x 0
=
x 2-x 1y 0
又k AM =
y 0-1
，而P 1、A 、M 、P 2共线 x 0-2
y 0-12x 0
=
x 0-2y 0
∴k P 1P 2=k AM ，即
∴P 1P 2中点M 的轨迹方程是2x 2-y 2-4x +y =0