高中数学公式总汇(理科适用)

高中数学公式总汇(理科适用)

一. 集合

1. 元素与集合： ∈, ∉ 集合与集合：⊆, ⊂ 注意：φ⊆A 2、区分集合中元素的形式：如：{x |y =lg x }—函数的定义域； {y |y =lg x }—函数的值域； {(x , y ) |y =lg x }—函数图象上的点集

3. 交集：A B ={x |x ∈A 且x ∈B } 并集：A B ={x |x ∈A 或x ∈B } 补集：C U A ={x |x ∈U , 且x ∉A }

4. A B =A ⇔A ⊆B A B =A ⇔B ⊆A

B ⊆A ⇔x ∈B 则x ∈A ; B ⊆A , 要考虑：B =φ, B =A , B ⊂A C U (A ⋃B ) =(C U A ) ⋂(C U B ) C U (A ⋂B ) =(C U A ) ⋃(C U B )

5. 集合{a n 1, a 2, , a n }的子集有2个，真子集有2n -1个。

二. 命题

1. 四种命题：原．命题：若A 则B 逆．

命题：若B 则A 逆否．．命题：若⌝B 则⌝A 否．

命题：若⌝A 则⌝B 原．命题与逆否．．命题真假性一致，逆．命题与否．

命题真假性一致 命题“p 或q ”的否定是“┐P且┐Q”，“p 且q ”的否定是“┐P或┐Q” 2、注意命题p ⇒q 的否定与它的否命题的区别:

命题p ⇒q 的否定是p ⇒⌝q ；否命题是⌝p ⇒⌝q

注意：如 “若a 和b 都是偶数，则a +b 是偶数”的 否命题是“若a 和b 不都是偶数，则a +b 是奇数” 否定是“若a 和b 都是偶数，则a +b 是奇数”

∀x >2, 都有x 2-1>3

否命题：∀x ≤2, 都有x 2

-1≤3

对命题的否定：∃x 2

0∈(2,+∞), 使得x 0-1≤3

3、若p ⇒q 且q ≠p ; 则p 是q 的充分非必要条件

q的充分非必要条件是p q是p 的必要非充分条件 p的必要非充分条件是q

三. 函数

1. 函数的三要素：定义域、对应法则、值域。（用于判断两个函数是否为同一函数） 2. 奇偶性：前提：定义域关于原点对称

偶函数⇔f (-x ) =f (x ) 偶函数图象关于y 轴对称 奇函数⇔f (-x ) =-f (x ) 奇函数图象关于原点对称 3. 单调性：∀x 1、x 2∈区间D ，

x 1f (x 2) (相反) ⇔f (x ) 是D 上的减函数⇐在D 上f ' (x ) ≤0

4. 周期性：若f (x +a ) =f (x ) ， 则T =a 若f (x +a ) =-f (x ) ， 则T =2a

若f (x +a ) =

1

f (x ) (a ≠0) ，则T =2a ； 若f (x +a ) =-1

f (x )

(a ≠0) ，则T =2a .

类比“三角函数图像”得：

①若y =f (x ) 图像有两条对称轴x =a , x =b (a ≠b ) ，则y =f (x ) 必是周期函数，且周期为T =2|a -b |；

②若y =f (x ) 图像有两个对称中心A (a ,0), B (b ,0)(a ≠b ) ，则y =f (x ) 是周期函数，且周期为T =2|a -b |；

③如果函数y =f (x ) 的图像有一个对称中心A (a , 0) 和一条对称轴x =b (a ≠b ) ，则函数y =f (x ) 必是周期函数，且周期为T =4|a -b |；

5. 对称性

① 奇函数关于原点对称, 偶函数关于Y 轴对称

② 满足条件f (x +a )=f (b -x )的函数的关于直线x =a +b

2对称。 ③ 满足条件f (x +a )=-f (b -x )的函数的关于点(a +b

2

, 0) 对称 6. 幂的运算法则：a m ∙a n =a

m +n

(a m ) n =a mn (ab ) n =a n b n

m

a -n

=1

a

n a n =a m a 0=1(a ≠0) 7. 对数运算性质：

log +log MN ) l o g N =l o g M a M a N =log a (a M -l o g a a

N

log n a b =n log a b log a m b =

1m log log n n

a b a m

b =m

log a b log a 1=0 l o g a a =1

a log a b =b l o g l o g c b a

b =l o g a

c 8、常见函数

①一次函数:y=ax+b(a≠0) b=0时奇函数;

②二次函数:一般式f(x)=ax2

+bx+c( a≠0) ((对称轴x =-

b

2a

) b=0偶函数; 顶点式f(x)=a(x-h)2

+k; 顶点(-b 2a , b 2-4ac 4a

) 双根式(零点式)f(x)=a(x-x1)(x-x2)(对称轴x =

x 1+x 2

2

) ; 区间最值:配方后一看开口方向, 二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：若 实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;

③反比例函数:y =c

x (x ≠0) 平移⇒y =b +c x -a

(中心为(a , b )

④对勾函数y =x +

a

x

((a >0) 是奇函数,

a >0时, 在(0a ],[-a , 0) 递减 在(-∞，

-a ],[a , +∞) 递增 ⑤指数函数y =a x (a>0，且a ≠1）

当01时

⑥. 对数函数y =log a x (a>0，且a ≠1，x >0）

当01时

⑦. 幂函数：y =x α (α∈R )

1

1 常用的幂函数:y =x 0, y =x , y =x 2, y =x 3, y =x -1, y =x -2

, y =x 2, y =x 3

9. 图象变换：

f (x ) −−−−−−−→沿x 轴向左平移a 个单位

f (x +a ) f (x ) −−−−−−−沿x 轴向右平移a 个单位→f (x -a ) f (x ) −−−−−−−沿y 轴向上平移b 个单位→f (x ) +b

f (x ) −−−−−−−沿x 轴向下平移b 个单位→f (x ) -b

f (x ) −−−−−−−−−−−−所有点的横坐标变为原来的1

a

(纵坐标不变）

→f (a x ) f (x ) −−−−−−−−−−−−所有点的纵坐标变为原来的a 倍(横坐标不变）

→a f (x )

f (x ) −关于−−x 轴翻折−−→-f (x )

f (x ) −关于−−y 轴翻折

−−→f (-x )

f (x ) −保留上面、且下翻上−−−−−−→|f (x ) | f (x ) −保留右面、且右翻左−−−−−−→f (|x |)

10. 借鉴模型函数研究抽象函数 ：

①正比例函数型：f (x ) =kx (k ≠0) ---------------f (x ±y ) =f (x ) ±f (y ) ；

②幂函数型：f (x ) =x 2 --------------f (xy ) =f (x ) f (y ) ，f (x y

) =f (x )

f (y )

； ③指数函数型：f (x ) =a x ----------f (x +y ) =f (x ) f (y ) ，f (x -y ) =f (x )

f (y )

；

④对数函数型：f (x ) =log x ---f (xy ) =f (x ) +f (y ) ，f (x

a y

) =f (x ) -f (y ) ；⑤三角函数型：f (x ) =tan x ----- f (x +y ) =f (x ) +f (y )

1-f (x ) f (y )

。

四. 导数

(1)导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作y 'x =x 0

=f '(x f (x 0+∆x ) -f (x 0) 0) =；

∆lim

x →0

∆x

(2)常见函数的导数公式: ①c '=0 (c是常数) ②(x n

) '=n x

n -1

；特别地：x '=1, (a x ) '=a (a 是常数），

(x -1

) '=(1

) '=-1x x 2

③(sinx ) '=cos x ； ④(cosx ) '=-sin x ； ⑤(e x

) '=e x

； ⑥(a x

) '=a x

ln a ； ⑦(lnx ) '=

1x ； ⑧ (log1a x ) '=x ln a

⑨导数的四则运算法则：(u ±v ) '=u '±v '

(u v ) '=u 'v +u v '

(u u 'v v ) '=-u v '

v

2; ⑩复合函数的导数：y 'x =y 'u ⋅u 'x ;

(3)导数的几何物理意义：

⎧k =f '(x =f (x ) 上的点P (x ⎪

f (x 0) =y 00) 表示过曲线y 0, y 0) 的切线的斜率。⎨y -y 0=k (x -x 0)

⎪⎩

k =f '(x 0)

V ＝s /(t) 表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。 五．导数的应用：

① 求切线的斜率, 求切线方程。 ②用导数研究函数的单调性

单调区间的求解过程：已知y =f (x ) （1）分析 y =f (x ) 的定义域; （2）求导数 y '=f '(x )

（3）解不等式f '(x ) >0，解集在定义域内的部分为增区间

（4）解不等式f '(x )

注意：当x=x0时，函数有极值⇒ f /(x0) ＝0；反之不一定 极值≠最值。

函数f (x ) 在区间[a , b ]上的最大值f (x ) max =max{f (x ) 的极大值，f (a ), f (b )} 函数f (x ) 在区间[a , b ]上的最小值f (x ) min =min{f (x ) 的极小值，f (a ), f (b )}

六 定积分 n

⑪定积分的定义：

⎰

b

a

f (x ) dx =lim b -a

n →∞

∑

i =1

n

f (ξi ) ⑫定积分的性质：①⎰

b

a kf (x ) dx =k

⎰

b

a

f (x ) dx （k 常数）；

②⎰

b

a [f 1(x ) ±f 2(x )]dx =

⎰

b

a

f 1(x ) dx ±⎰b

a

f 2(x ) dx ；

③

⎰

b

c b

a

f (x ) dx =⎰a

f (x ) dx +⎰c

f (x ) dx （其中a

⑬微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：⎰

b

a f (x ) dx =F (x ) |b a =F (b ) -F (a )

⑭定积分的应用：①求曲边梯形的面积：S =

⎰b

a

|f (x ) -g (x ) |dx ；

②求变速直线运动的路程：S =⎰b

a

v (t ) dt ；

③求变力做功：W =

⎰

b

a

F (x ) dx 。

七 ．数列

等差数列 等比数列 1、定义： a n +1-a n =d

a n +1

a =q (q ≠0) n

2、通项公式： a 1n =a 1+(n -1) d a n =a 1∙q n -

(q =1) 3、求和公式： S (a +a ⎧

na 1n ) n S ⎪

n =1 n =⎨a n 2⎪1(1-q )

⎩1-q (q ≠1)

S n (n -1)

n =na 1+

2

d 4、中项： 2b =a +c b 2

=ac

即 b =a +c

2

即 b =±ac

5、若m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q 若m +n =p +q ，则a m ∙a n =a p ∙a q 重要公式和方法：

① 由S 求a ⎧

S 1

(n =1)

n n 或由S n 判断数列类型：a n =⎨⎩S n

-S n -1(n ≥2)

② 用逐差法、累乘法求通项公式

③ 用裂项相消法求数列⎨

⎧

1

⎫⎩n (n +k ) ⎬

的前n 项和: 1⎭

n (n +k ) =1k (1n -1n +k ) ④ 用错位相减法求“差比数列”的前n 项和

八 . 三角函数

1、任意角的三角函数

角α终边上任意一点P （x,y ），设|OP |=r

则sin α=

y α=x t a n α=y c o αx

r c o s r x t =y

2、同角关系：sin 2α+cos 2

α=1 t a n

α=s i n α

c o s α

3、诱导公式：

sin(π-α) =sin α sin(π+α) =-sin α sin(-α) =-sin α

cos(π-α) =-cos α cos(π+α) =-cos α c o s

-(α) =c o αs t a n

π(-α) =-t a n α tan(π+α) =tan α tan(-α) =-tan α sin(

π

2

-α) =cos α sin(

π

2

+α) =cos α cos(

π

2

-α) =sin α cos(

π

2

+α) =-sin α

4、两角和差：sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β

tan(

α±β) =tan α±tan β

1 tan αtan β

5、二倍角：

sin 2α=2sin αcos α

cos 2α=cos 2

α-sin 2

α=2cos 2

α-1 =1-2sin 2

α

tan 2α=

2tan α

1-tan 2

α

６、降幂公式

(2)面积公式：S ∆=ab sin C =bc sin A =ac sin B

1+cos 2α1-cos 2α22222

cos α= sin α=

111

22

７、辅助角公式：a sin α±b cos α=α±φ) , 其中tan φ=b a

８、y =A sin(ωx +ϕ) (A >0, ω>0) 的图象性质：

（1）最小正周期： T =2π

|ω|

（2）值域： y ∈[-A , A ] （3）增区间：-π

2

+2k π≤ωx +ϕ≤

π

2

+2k π(k ∈Z )

减区间：

π

2

+2k π≤ωx +ϕ≤

3π

2

+2k π(k ∈Z ) （4）对称轴： 令 ωx +ϕ=

π

2

+k π (k ∈Z )

对称中心： 令 ωx +ϕ=k π (k ∈Z ) ９、图象变换：

y =sin x −向左平移−−−ϕ个单位

−−→y =sin(x +ϕ) （左加右减）

−−横坐标变为原来的1

−−−−ω−倍

→y =sin(ωx +ϕ)

−纵坐标变为原来的−−−−−A −倍

→y =A sin(ωx +ϕ) 横坐标变为原来的1倍

y =sin x −−−−−−ω

−→y =sin ωx

−向左平移ϕ

−−−ω

个单位

−−→y =sin(ωx +ϕ)

−纵坐标变为原来的−−−−−A −倍

→y =A sin(ωx +ϕ)

10、解三角形

(1)三角形内角和定理：A +B +C =π

(3)正弦定理：

a sin A =b sin B =c sin C =2R a :b :c =s i n A :s i n B :s i n C (4)余弦定理：涉及三边一角用余弦定理 根据已知角在以下公式中选用 a 2=b 2+c 2-2bc cos A , b 2=a 2+c 2-2ac cos B , c 2=a 2+b 2-2ab cos C

b 2+c 2-a 22bc , cos B =a 2+c 2-b 22ac , cos C =a 2+b 2-c 2

cos A =2ab

九．平面向量：

1、向量的坐标：若A (x 1，y1) 、B(x 2，y2) ，则=(x 2-x 1，y2-y 1)

2. 向量的模

: a =(x , y ), 则a =3. 加法与减法的代数运算：

(1)A 1A 2+A 2A 3+ +A n -1A n =A 1A n ．

(2)若a =（x 1, y 1）, b =（x 2, y 2）则a ±b =（x 1±x 2, y 1±y 2）． 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD ，AC,BD 相交于O

则两条对角线的向量=2AO =+, =－, =－ 且有︱︱－︱︱≤︱±︱≤︱︱+︱︱．

4、运算律：a ＋b =b ＋a (加法交换律); a +(b +c )=(a + b )+c （加法结合律）;

a ·b =b ·a (λa )·

b =λ(a ·b )=a ·(λb ) (a ＋b )·c =a ·c +b ·c ． 切记：(a ∙b ) c

≠a (b ∙c ) (数量积不满足结合率)

5、常用公式： 设a =(x 1，y1) ，b =(x 2，y2)

（1）∙=||||cos θ ∙=x 1x 2+y 1y 2 c o s a

(b , =a ⋅b a ⋅b

（2）

b ≠0时, //⇔=λ a //b ⇔x 1y

x =1y 的乘积式，即x 1y 2-x 2y 1=0

22

⊥⇔∙=0 ⊥⇔x 1x 2+y 1y 2=0

（3）2

=||2

||=

x 21+y 2

1

m a ±n b 2=m 2

a 2

±2mn a ⋅b +n 2

b 2

(m , n ∈R ) (4)向量b 在a 方向上的投影=b cos =

a ⋅b a

⎧ (5)P 1, P 2

的坐标分别为（x 1, y 1）（, x 2, y 2）, P （x , y ) 是P 1, P 2的中点，则⎪x 1+x 2⎪x =⎨2

⎪y =y 1+y 2⎪⎩2

(6)三点共线的充要条件;

P ，A ，B 三点共线⇔OP =μOA +νOB (μ, ν∈R 且μ+ν=1) ；

(7)平面向量基本定理：若e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a =λ1e 1+

λ2e 2．

十. 不等式

1、不等式的性质：

⑪a >b ⇔b b , b >c ⇒a >c

⑬ a >b ⇔a +c >b +c ； a >b , c >d ⇒a +c >b +d

⑭ a >b , c >0⇒ac >bd ； a >b , c b >0, c >d >0⇒ac >bd ；

（6）a >b >0⇒a n >b n >0(n ∈N *) ； a >b >0⇒

a >(n ∈N *) 。

2. 不等式的解法：

（1）一元一次不等式 （2）一元二次不等式

（3）分式不等式：步骤：移项 → 通分

→ 整理（x 的系数化为正 , 分解因式） → 画数轴（标零值点, 注空（实）心点） → 画线（奇穿偶不穿） （4）绝对值不等式：|x |>a ⇔x a

|x |

（5）指数、对数不等式：方法：保证真数大于0，化同底后根据单调性比较真数大小 3

、均值不等式： （

1）a 2

+b 2

≥2ab

(a , b ∈R )

a +b ≤2≤(a , b ∈R +)

（2）求和的最小值：a +b ≥2ab

要求：①a , b >0 ②ab 为定值 ③当且仅当a =b 时取“=” （3）求积的最大值：ab ≤(

a +b 2

) 2

要求：①a , b >0 ②a +b 为定值 ③当且仅当a =b 时取“=”

十一 . 直线和圆

y

1、直线的倾斜角：α∈[0

, 180

) －∞＋∞ 斜率： k π

k

=tan α(α≠

2

)

已知A (x 、B(x -y 1

1，y1) 2，y2) ，则 k =y 2x (x 1≠x 2)

x

2-x 1

点斜式：y -y x 0=k (x -x 0) 斜截式: y =k x +b 截距式: a +y b

=1 两点式：

y -y 1x -x 1y =

-x 一般式：Ax +By +C =0 其中k =-A ，b =-C

2-y 1x 21

B B 3、直线的平行与垂直

l 1：A 1x +B 1y +C 1=0 l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 l 1//l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2

⇔

A 1A =B 1B ≠C 1

的乘积式（A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0）

22C 2

l 1⊥l 2⇔k 1⋅k 2=-1⇔A 1A 2+B 1B 2=0

4、l k -k 1

1到l 2的角α公式：tan α=21+k

2k 1

5、点(x |Ax 0+By 0+C |

0, y 0) 到直线Ax +By +C =0的距离：d =

A 2

+B

2

6、用二元一次不等式表示平面区域：Ax +By +C ≥0(A >0) 表示直线右边的区域

Ax +By +C ≤0(A >0) 表示直线左边的区域 7、圆的方程： 标准方程：(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 圆心(a , b ) ，半径r 一般方程：x 2

+y 2

+Dx +Ey +F =0(D 2

+E 2

-4F >0) 圆心(-

D 2, -E 2) 半径r =12

D 2+E 2-4F B

d r

圆的参数方程：⎨

⎧x =a +r cos θ

⎩

y =b +r sin θ 圆心(a , b ) ，半径r

O

求弦长

4. 直线与圆锥曲线，弦长公式

联立 → 消元, 整理得方程a x 2

+b x +c =0

−−−

a ≠0时→ 判别式⊿=b 2

-4ac → 设P (x 1, y 1) ,

Q (x 2, y 2)

→韦达定理: x x b c

1+2=-

a , x 1⋅x 2=a

∴

(x 1-x 2) 2=(x 1+x 2) 2-4x 1x 2

AB =(AB =) 十三、立体几何 1. 常用定理:

a //b ⎫α⊥①线面平行：b ⊂α⎪⎬⇒a //α; α//β⎫β⎫

⎬⇒a //α⎪

a ⊄α⎪a ⊂β; a ⊥β⎬⇒a //α

⎭⎭

a ⊄α⎪⎭

a //α②线线平行: ⎫

a ⊂β⎪⎬⇒a //b ; a ⊥α⎫α//β⎫α⎬⇒a //b ; α⋂γ=a ⎪⎬⇒a //b ; a //b ⎫

α⋂β=b ⎪b ⊥⎭

⎭⎬⇒c //b β⋂γ=b ⎪a //c ⎭⎭

a ⊂α, b ⊂α⎫

③面面平行: a ⋂b =O ⎪⎬

⇒α//β; a ⊥α⎫a //β, b //β⎪a ⊥β⎬⇒α//β; α//β⎫

γ//β⎬⇒α//γ ⎭

⎭⎭

④线线垂直: a ⊥α⎫0

b ⊂α⎬⇒a ⊥b ; 所成角为90

； PO ⊥α⎫

⎭

a ⊂α⎪⎬⇒a ⊥PA

(三垂线及其逆定理) a ⊥AO ⎪⎭

⑤线面垂直: a ⊂α, b ⊂α⎫α⊥βa ⋂b =O ⎪⎫⎪α//β⎫a //b ⎫⎬⇒l ⊥α; α⋂β=l ⎬⇒a ⊥β; ⎬⇒a ⊥β; ⎬⇒b ⊥α

l ⊥a , l ⊥b ⎪⎭

a ⊂α, a ⊥l ⎪a ⊥α⎭⎭

a ⊥α⎭⑥面面垂直：二面角为900

; a ⊂β⎫a ⊥α⎬⇒α⊥β; a //β⎫⎬⎭

⇒α⊥β

⎭a ⊥α2、空间中的角：

（1）异面直线所成角θ：θ∈[0,90]

法一： 作（找）平行直线构成相交直线

法二： 用向量法，转化为两直线方向向量的夹角 c o θs

=A B C D

|A B ||C

|

（2）线面角θ：直线与其在平面内射影所成的角

θ∈[0, 90 ]

法一 ：作垂线找射影

法二：用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角

sin θ=

AB n |n |

(n 是平面的法向量）

（3）二面角的平面角θ：由棱上一点出发在两个半平面内分别与棱垂直的射线所成的角

θ∈(0,180]

方法：定义法、三垂线法、垂面法

向量法，转化为两个半平面法向量n n 1n 2

1, n 2的夹角cos n 1, n 2=|n

1||n 2|

3. 空间距离:

① 异面直线间距离:找公垂线; ② 点到线距离: 直接法, 等面积法

③ 平行线与面间距离(两平行面间距离) 转化为

点到面距离:直接法、等体积法等

④ 点到面距离:

直接法 :用三垂线定理作垂线后再求 等体积法 向量法: d PA ⋅

n P -α=n

(A 是α上任意一点，n 是α的法向量）

4. 表面积, 体积

长方体: 对角线长l = 表面积S =2(ab +ah +bh ) 体积V =abh

圆锥:

S 圆锥侧=π

r l 11

V 圆锥=3S 底h =3

πr 2h

πr h h =πr 2

圆柱：

S 圆柱侧=2； V 圆柱=S 底h

'

圆台：S 侧=π(r +r ) l ； V 圆台=13

S ++S '

) h 棱锥, 棱柱的体积:

V 棱锥

=1

3

Sh V 棱柱=S h

2

球的表面积、体积：

S 球=4πR

V 球

=43

πR 3

十四. 排列、组合和二项式定理

1、分类计数原理：N =m 1+m 2+ +m n

分步计数原理：N =m 1⋅m 2⋅ ⋅m n

2、A m

n =n ⋅(n -1) (n -m +1) n ! =n (n -1) 2⋅1

C m n

=A m n m n -m

A m C n =C n

m

3、二项式定理(a +b ) n =C 0n 1n -12n -22n n

n a +C n a b +C n a b + +C n b

（1）通项T r n -r r r +1=C n a b (r =0,1,2,

, n )

n

（2）当n 为偶数时，最大的二项式系数为C n

2 n -1n +1 当n 为奇数时，最大的二项式系数为C

n

2、C

n 2

（3）(ax +b ) n

的展开式中，二项式系数之和C 01n

+C n

+C 2n

+

+C n =2n

n

项的系数之和=(a +b ) n

（令x 等于1得到）

十五 概率, 统计

1．互斥事件和对立事件： 并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生或B 发生，记作A ⋃B （或A +B ）； 并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生且B 发生，记作A ⋂B （或AB ） ； 互斥事件：若A ⋂B 为不可能事件（A ⋂B =φ），则事件A 与B 互斥； 对立事件：A ⋂B 为不可能事件，A ⋃B 为必然事件，则A 与B 互为对立事件。

2．概率公式： ⑪ 互斥事件至少有一个发生的概率：P(A+B)=P(A)+P(B)； ⑫ 等可能事件的概率：（古典概型）：P (A ) =

A 包含的基本事件的个数m

基本事件的总数=n

；

⑬ 相互独立事件同时发生的概率：P (A ∙B ) =P (A ) ∙P (B )

⑭ 几何概型：P (A ) =

构成事件A 的区域长度（面积或体积等）

试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）

；

⑮ 条件概率：在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为P (B |A ) =P (A B )

P (A )

⑯ n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：

P (k ) =C k k n -k

n n p (1-p )

(其中p 是一次试验中事件A 发生的概率) ⑰ 离散性随机变量ξ的分布列

其中, p i ≥0, p 1+p 2+

+p n =1(i =1,2,3, )

数学期望 Eξ=x 1p 1+x 2p 2+

+x n p n +

方差 D ξ=(x 1-E ξ) 2p 1+(x 2-E ξ) 2p 2++(x n -E ξ) 2p n +

⑱ 二项分布: 设n 次独立重复试验中事件A 发生的次数为ξ，则ξ~B (n , p )

P ) =C k k n -k

n (ξn p (1-p )

(其中p 是一次试验中事件A 发生的概率) E ξ=n p , D ξ=n p (1-p )

3．抽样方法 ⑪简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。 注：每个个体被抽到的概率为

n N

； ⑫系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的

规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。 步骤：编号；分段；在第一段用简单随机抽样确定起始号l ；按规则抽取样本。 ⑬分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数⨯

n N

4．总体特征数的估计：

：x =1n (x +x 1n

样本平均数1+x 23+⋯+x n ) =n ∑x i

i =1

样本方差：S 2=1[(x n

1-) 2+(x 2-) 2+⋅⋅⋅+(x 2n -) ]=1∑(x i -) 2

n n

i =1

样本标准差：S 作用：估计总体的稳定程度

十六 复数

复数 z =a +b i (a ∈R , b ∈R ) ⇔复平面上的点(a , b ) ⑪ i 2

=-1

⑫复数的模

|z |=|a +bi |=a , b ∈R )

⑬共轭复数 z =a +b i (a ∈R , b ∈R ) 与z =a -b i (a ∈R , b ∈R ) 互为共轭 ⑭z= a+bi∈R ⇔b=0 (a,b∈R) ⇔z=⇔ z 2

≥0； ⑮z=a+bi是虚数⇔b≠0(a,b∈R) ； ⑯z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b≠0(a,b∈R) ⇔z ＋＝0（z≠0）⇔z 2

2．复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R) ，则： （1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i；⑫ z1.z 2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd ）+ (ad+bc)i；⑬z 1÷z 2 =

(a +bi )(c -di ) (c +di )(c -di ) = ac +bd c 2

+d 2+bc -ad c 2+d 2

i (z2

≠0) ; 十七 几何证明常用定理 1. 三角形内角和=180︒

2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 以下面5个式子任意2个为条件均可推出其他3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE =DE

B

④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD

3. 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 同弧（等弧）上的圆周角相等

4. 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形

B

∴∠C +∠BAD =180︒ ∠B +∠D =180︒ ∠DAE =∠C

5. 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，

∴PA ⋅PB =PC ⋅PD

6. 弦切角定理: 弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角 即：在⊙O 中，

PT 切O 于C,AC 是O 的弦，则∠PCA =∠CBA

7. 切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA =PB

PO 平分∠BPA

8. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ PA 2

=PC ⋅PB

9. 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC ⋅PB =PD ⋅PE

十八 极坐标与直角坐标的互化

条件: 坐标原点与极点重合 , x轴的正半轴与极轴重合, 这时有:

ρ2=x 2+y 2

x =ρcos θ, y =ρsin θ

十九 算法初步 1．程序框图： ①

②

③

注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while 型）——先判断条件，再执行循环体；

Ⅱ．直到型（until 型）——先执行一次循环体，再判断条件。

2．基本算法语句： ⑪输入语句： INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式 赋值语句： 变量=表达式 ⑫条件语句： ① IF 条件 THEN ② IF 条件 THEN 语句体 语句体1 END IF ELSE 语句体2 END IF ⑬循环语句：①当型： WHILE 条件 循环体 WEND ②直到型: DO 循环体

LOOP UNTIL 条件