1三次函数切线专题
三次函数切线问题
一、过三次函数上一点的切线问题。
设点P 为三次函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) 图象上任一点,则过点P 一定有直线与y =f (x ) 的图象相切。若点P 为三次函数图象的对称中心,则过点P 有且只有一条切线;若点P 不是三次函数图象的对称中心,则过点P 有两条不同的切线。 证明 设P (x 1, y 1) 过点P 的切线可以分为两类。 1、 P 为切点 k 1=f /(x 1) =3ax 12+2bx 1+c ,
切线方程为:y -y 1=(3ax 12+2bx 1+c )(x -x 1)
P 不是切点,过P 点作y =f (x ) 图象的切线,切于另一点Q (x 2, y 2)
2
y 2-y 1ax 2-ax 1+bx 2-bx 1+cx 2-cx 1
k 2= =
x 2-x 1x 2-x 1
3
3
2
=ax 2+ax 1x 2+ax 1+bx 1+bx 2+c
2
又 k 2=f /(x 2) =3ax 2+2bx 2+c (1)
22
∴ ax 22+ax 1x 2+ax 12+bx 1+bx 2+c =3ax 22+2bx 2+c 即(x 2-x 1)(2x 2+x 1+
b 1b
) =0 ∴ x 2=-x 1-代入(1)式 a 22a
321b 2
得 k 2=ax 1+bx 1-+c
424a
b 321b 2
x =-讨论:当k 1=k 2时,3ax 1+2bx 1+c =ax 1+bx 1-,得, +c 1
3a 424a
2
∴ 当x 1=-
b
时,两切线重合,所以过点P 有且只有一条切线。 3a b
当x 1≠-时,k 1≠k 2,所以过点P 有两条不同的切线。
3a
其切线方程为:y -y 1=(3ax 1+2bx 1+c )(x -x 1)
2
321b 2
y -y 1=(ax 1+bx 1-+c )(x -x 1)
424a
由上可得下面结论:
y =f (x ) 图象的切过三次函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) 上异于对称中心的任一点P 1(x 1, y 1) 作
线,切于另一点P 2(x 2, y 2) ,过P 2(x 2, y 2) 作y =f (x ) 图象的切线切于P 3(x 3, y 3) ,如此继续,得到点列
1b
P 4(x 4, y 4) ----P n (x n , y n ) ----,则x n +1=-x n -,且当n →+∞时,点趋近三次函数图象的对称中心。
22a
证明:设过P n (x n , y n ) 与y =f (x ) 图象切于点P n +1(x n +1, y n +1) 的切线为P n P n +1,
k =
y n +1-y n 22
=ax n +1+ax n +1x n +ax n +bx n +1+bx n +c
x n +1-x n
2
又 k =f /(x n +1) =3ax n +1+2bx n +1+c
∴ ax n +12+ax n +1x n +ax n 2+bx n +1+bx n +c =3ax n +12+2bx n +1+c
b 1b ) =0 ∴ x n +1=-x n - a 22a
1b
设x n +1+λ=-(x n +λ) 则λ=
23a b 1b b 1
+(x 1+)(-) n -1 ∴ 数列{x n +是公比为-的等比数列, x n =-
3a 3a 3a 22
即 (x n +1-x n )(2x n +1+x n + 即 lim x n =-
n →∞
b
。 3a
2、过三次函数外一点的切线问题。
设点P (x 0, y 0) 为三次函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) 图象外,则过点P 一定有直线与
y =f (x ) 图象相切。
b
, 则过点P 恰有一条切线; 3a b b
, 且g (x 0) g (-) >0,则过点P 恰有一条切线; (2) 若x 0≠-3a 3a b b
, 且g (x 0) g (-) =0,则过点P 有两条不同的切线; (3) 若x 0≠-3a 3a b b
, 且g (x 0) g (-)
(1)若x 0=-
其中g (x ) =y 0-f (x ) +f (x )(x -x 0).
证明 设过点P 作直线与y =f (x ) 图象相切于点Q (x 1, y 1),
2
则切线方程为 y -y 1=(3ax 1+2bx 1+c )(x -x 1),
/
把点P (x 0, y 0) 代入得:
2ax 1+(b -3ax 0) x 1-2bx 0x 1+y 0-d -cx 0=0,
32
设g (x ) =2ax +(b -3ax 0) x -2bx 0x +y 0-d -cx 0. g /(x ) =6ax 2+2(b -3ax 0) x -2bx 0,
32
∆=4(b -3ax 0) 2+48abx 0=4(3ax 0+b ) 2,
b . 3a
令g /(x ) =0, 则x =x 0, x =-
因为g (x ) =0恰有一个实根的充要条件是曲线y =g (x ) 与X 轴只相交一次,即y =g (x ) 在R 上为单调函数或两极值同号,所以x 0=-
b b b
, 或x 0≠-, 且g (x 0) g (-) >0时,过点P 恰有一条切线。 3a 3a 3a
g (x ) =0有两个不同实根的充要条件是曲线y =g (x ) 与X 轴有两个公共点且其中之一为切点,所以x 0≠-
b b
, 且g (x 0) g (-) =0时,过点P 有两条不同的切线。 3a 3a
g (x ) =0有三个不同实根的充要条件是曲线y =g (x ) 与X 轴有三个公共点,即y =g (x ) 有一个极大值,
一个极小值,且两极值异号。所以x 0≠-例题讲解:
例1、已知函数y =x 3-x ,求过点A (1, 0)的切线方程。
b b
, 且g (x 0) g (-)
f x )=x -例2、(2010湖北文数)设函数(
处的切线方程为y=1
(Ⅰ)确定b 、c 的值。
13
3
a 2
f x )f 0)x +bx +c ,其中a >0,曲线y =(在点P (0,()
2
f x )f x 2)f x 1)(Ⅱ)设曲线y =(在点(x 1,()及(x 2,()处的切线都过点(0,2)证明:当x 1≠x 2时,
f '(x 1) ≠f '(x 2)
f x )(Ⅲ)若过点(0,2)可作曲线y =(的三条不同切线,求a 的取值范围。
例3、已知函数f (x ) =
13
x +ax 2+bx , 且f '(-1) =0 3
(1) 试用含a 的代数式表示b, 并求f (x ) 的单调区间;
N(x 2, f (x 2) ) ,P(m , f (m ) ), (2)令a =-1, 设函数f (x ) 在x 1, x 2(x 1
x 1
(I )若对任意的m ∈(x 1, x2) ,线段MP 与曲线f(x)均有异于M,P 的公共点,试确定t 的最小值,并证明你的结论;
(II )若存在点Q(n ,f(n)), x ≤n
三次函数切线作业
1、曲线y =x 3+3x 在点P (-2, -14) 处的切线方程是 。
2、已知曲线C :f (x ) =x 3-x +2,则经过点P (1,2) 的曲线C 的切线方程是 。 3、已知曲线C :f (x ) =x 3-3x 2+2x +a 的一条切线方程为y =2x ,则实数a 的值等于 。
32
4、已知函数f (x )=ax +bx -3x 在x =±1处取得极值。
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x 1, x 2,都有f (x 1)-f (x 2)≤4; (Ⅲ)若过点A (1,m )(m ≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m 的取值范围. 5、已知函数.f (x ) =2x 3+ax 与g (x ) =bx 2+cx 的图象都过点P(2,0) ,且在点P 处有公共切线. (1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P 处的公切线方程; (2)设F (x ) =
mg (x )
+ln(x -1) ,其中m
三次函数切线问题参考答案
2
例1、解:f '(x )=3x -1,
若A 是切点,则切线方程为y -0=2(x -1)⇒y =2x -2
332
)代入得若A 不是切点,设切点为(t , t -)t ,则切线方程为y -(t -t )=(3t -1)(x -t ),将A (1, 0
⎛13⎫2
2t 3-3t 2+1=0⇒2t 3-2t 2-t 2+1=(t -1)⋅(2t +1)=0,所以切点为 -, ⎪,则切线方程为x +4y -1=0。
⎝28⎭
小结:求切线方程步骤,先判断点是否在曲线上,如不在曲线上,则参照第二小步设切点坐标,若在曲线上,讨论已知点是否为切点,若为切点,由导数可直接求得斜率。 例2、
例3、解法一:
(Ⅰ) 依题意, 得f '(x ) =x 2+2ax +b 由f '(-1) =1-2a +b =0得b =2a -1.
132
从而f (x ) =x +ax +(2a -1) x , 故f '(x ) =(x +1)(x +2a -1).
3令f '(x ) =0, 得x =-1或x =1-2a . ①当a>1时, 1-2a
当x 变化时,f '(x ) 与f (x ) 的变化情况如下表:
由此得,函数f (x ) 的单调增区间为(-∞,1-2a ) 和(-1, +∞) ,单调减区间为(1-2a , -1) 。
②当a =1时,1-2a =-1此时有f '(x ) >0恒成立,且仅在x =-1处f '(x ) =0,故函数f (x ) 的单调增区间为R
③当a -1同理可得,函数f (x ) 的单调增区间为(-∞, -1) 和(1-2a , +∞) ,单调减区间为
(-1,1-2a )
综上:
当a >1时,函数f (x ) 的单调增区间为(-∞,1-2a ) 和(-1, +∞) ,单调减区间为(1-2a , -1) ; 当a =1时,函数f (x ) 的单调增区间为R ;
当a
13
x -x 2-3x 令f (x ) =x 2-2x -3=0得x 1=-1, x 2=3 3
由(1)得f (x ) 增区间为(-∞, -1) 和(3,+∞) ,单调减区间为(-1,3) ,所以函数f (x ) 在处x 1=-1, x 2=3取得极值,故M (-1,
5
)N (3, -9)。 3
观察f (x ) 的图象,有如下现象:
①当m 从-1(不含-1)变化到3时,线段MP 的斜率与曲线f (x ) 在点P 处切线的斜率f (x ) 之差Kmp-f '(m ) 的值由正连续变为负。
②线段MP 与曲线是否有异于H ,P 的公共点与Kmp -f '(m ) 的m 正负有着密切的关联;
③Kmp -f '(m ) =0对应的位置可能是临界点,故推测:满足Kmp -f '(m ) 的m 就是所求的t 最小值,下面给出证明并确定的t 最小值. 曲线f (x ) 在点P (m , f (m )) 处的切线斜率f '(m ) =m 2-2m -3;
m 2-4m -5
线段MP 的斜率Kmp =
3
当Kmp -f '(m ) =0时,解得m =-1或m =2
m 2-4m -5m 2-4m
直线MP 的方程为y =(x +)
33m 2-4m -5m 2-4m
令g (x ) =f (x ) -(x +)
33
当m =2时,g '(x ) =x 2-2x 在(-1,2) 上只有一个零点x =0,可判断f (x ) 函数在(-1,0) 上单调递增,在(0,2) 上单调递减,又g (-1) =g (2)=0,所以g (x ) 在(-1,2) 上没有零点,即线段MP 与曲线f (x ) 没有异于M ,P 的公共点。
m 2-4m
当m ∈(2,3]时,g (0)=->0. g (2)=-(m -2) 2
3
所以存在m ∈(0,2]使得g (δ) =0
即当m ∈(2,3]时, MP 与曲线f (x ) 有异于M,P 的公共点 综上,t 的最小值为2.
(2)类似(1)于中的观察,可得m 的取值范围为(1,3] 解法二:
(1)同解法一.
(2)由a =-1得f (x ) =-
13
x -x 2-3x ,令f '(x ) =x 2-2x -3=0,得x 1=-1, x 2=3 3
由(1)得的f (x ) 单调增区间为(-∞, -1) 和(3,+∞) ,单调减区间为(-1,3) ,所以函数在处取得极值。故M(-1,
5
).N(3, -9) 3
m 2-4m -5m 2-4m
(Ⅰ) 直线MP 的方程为y =x +.
33
⎧m 2-4m -5m 2-4m
y =x +⎪⎪33
由⎨
1⎪y =x 3-x 2-3x ⎪3⎩
得x 3-3x 2-(m 2-4m +4) x -m 2+4m =0
线段MP 与曲线f (x ) 有异于M,P 的公共点等价于上述方程在(-1,m) 上有根, 即函数
g (x ) =x 3-3x 2-(m 2-4m +4) x -m 2+4m 在(-1,m)上有零点.
因为函数g (x ) 为三次函数, 所以g (x ) 至多有三个零点, 两个极值点.
又g (-1) =g (m ) =0. 因此, g (x ) 在(-1, m ) 上有零点等价于g (x ) 在(-1, m ) 内恰有一个极大值点和一个极小值点, 即g '(x ) =3x 2-6x -(m 2-4m +4) =0在(1, m ) 内有两不相等的实数根. ⎧∆=36+12(m 2-4m +4)>0
⎧-1
3(-1) +6-(m -4m +4) >0⎪⎪
等价于⎨2即⎨m >2或m
⎪3m -6m -(m -4m +4) >0⎪m >1
⎩⎪m >1
⎩
又因为-1
作业:
1、解:由f ' (x ) =3x 2+3,得f ' (-2) = 15,所以所求的切线方程为y +14=15(x +2) ,即y =15x +16。2、错解:由f ' (x ) =3x 2-1,得k =f ' (1)=2,所以所求的切线方程为y -2=2(x -1) ,即y =2x 。 错因剖析:此处所求的切线只说经过P 点,而没说P 点一定是切点,于是切线的斜率k 与f ' (1)不一定相等。
正解:设经过点P (1,2)的直线与曲线C 相切于点(x 0, y 0) ,则由f ' (x ) =3x 2-1,得在点(x 0, y 0) 处的斜率k =f (x 0) =3x 0-1,有在点(x 0, y 0) 处的切线的方程为y -y 0=(3x 0-1)(x -x 0) 。 又因为点(x 0, y 0) 与点P (1,2)均在曲线C 上,
3
⎧⎪y 0=x 0-x 0+232
y x -x =(3x -1)(1-x 0) , 有⎨,消去得00002
⎪⎩2-y 0=(3x 0-1)(1-x 0)
' 22
11
,于是k =2或-, 24
19
所以所求切线方程为y =2x 或y =-x +。
44
解得x 0=1或x 0=-
3、设切点坐标为(x 0, y 0) ,则y 0=x 03-3x 02+2x 0+a ,又2=3x 02-6x 0+2,y 0=2x 0得x 0=0或2。 再消去y 0得a =-x 0+3x 0,于是得a =0或4。
2
4、(I )f '(x )=3ax +2bx -3,依题意f '(-1)=f '(1)=0,
32
即⎨
⎧3a +2b -3=0
, …………………………………………2分
3a -2b -3=0⎩
解得a=1,b=0.
3
∴f (x )=x -3x ……………………………………………………4分
32
(II )∵f (x )=x -3x ∴f '(x )=3x -3=3(x +1)(x -1),
当-1
f max (x )=f (-1)=2, f min (x )=f (1)=-2……………………………………6分
∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x 1, x 2,f (x 1)-f (x 2)≤f max (x )-f min (x )=4……………………8分 (III )f ′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1) ,
∵曲线方程为y=x3-3x ,∴点A (1,m )不在曲线上. 设切点为M (x0,y0),则点M 的坐标满足y 0=x 0-3x 0.
2
因f '(x 0) =3(x 0-1) ,故切线的斜率为 3x 0-3x 0-m
3(x -1) =,
x 0-120
3
整理得2x 0-3x 0+m +3=0.
∵过点A (1,m )可作曲线的三条切线,
∴关于x0方程2x 0-3x 0+m +3=0有三个实根. ……………………10分
3
2
32
设g(x0)= 2x 0-3x 0+m +3,则g ′(x0)=6x 0-6x 0,
由g ′(x0)=0,得x0=0或x0=1. ∴g(x0)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减. ∴函数g(x0)= 2x 0-3x 0+m +3的极值点为x0=0,x0=1………………12分 ∴关于x0方程2x 0-3x 0+m +3=0有三个实根的充要条件是
3
2
3
2
322
⎧g (0) >0
,解得-3
g (1)
故所求的实数a 的取值范围是-3
f '(x ) =6x 2-8x
∴切线的斜率k =f '(2)=16
∵g (x ) =bx 2+cx 的图像过点P (2,0),∴4b+2c=0,
∵g '(x ) =2bx +c , f '(2)=g '(2)=4b +c =16, 解得:b=8,c=-16 ∴g (x ) =8x 2-16x
16(x-2)切线方程为y =.即16x-y-32=0
-2) +l n x (-∵ F (x ) =m (x
F '(x ) =m +
1) x >(
1mx -m +1
=(x >1) x -1x -1
1
1m [x -(1-)]
当m1 F '(x ) =m
x -111
又x>1 当x ∈(1,1-) 时F '(x ) >0 当x ∈(1-, +∞) 时F '(x )
m m 1
∴F(x)的单调减区间是(1-, +∞)
m 1
∴F(x)的单调增区间是(1,1-)
m
11
即m
m m