鸡兔同笼问题题型归类及练习答案
假设法解鸡兔同笼问题题型分析(专题)
一. 意义:
已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只。
解题关键:采用假设法,假设全是一种动物(如全是鸡或全是兔),然后根
据腿的差数可以推断出一种动物的头数。
解题规律:假设全是鸡,兔子头数=(总腿数-鸡腿数)÷2;
即兔子头数=(总腿数-2×总头数)÷2。
假设全是兔子,鸡的只数=(兔子腿数-总腿数)÷2,
即鸡的只数=(4×总头数-总腿数)÷2
二.常见题型:
1、已知总头数和鸡兔脚数的差数,求鸡兔各多少只
(1) 已知总头数和鸡兔脚数的差数,当鸡的总脚数比兔的总脚数多时,
(每只鸡脚数×总头数-鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数; 总头数-兔数=鸡数
或(每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只免的脚数)=鸡数; 总头数-鸡数=兔数。
(2) 已知总数与鸡兔脚数的差数,当兔的总脚数比鸡的总脚数多时。
(每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数; 总头数-兔数=鸡数。
或(每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=鸡数;
2、鸡兔互换问题(已知总脚数及鸡兔互换后总脚数,求鸡兔各多少的问题),
〔(两次总脚数之和)÷(每只鸡兔脚数和)+(两次总脚数之差)÷(每只鸡兔脚数之差)〕÷2=鸡数;
〔(两次总脚数之和)÷(每只鸡兔脚数之和)-(两次总脚数之差)÷(每只鸡兔脚数之差)〕÷2=兔数。
3、得失问题(鸡兔问题的推广题)的解法,可以用下面的公式:
(1只合格品得分数×产品总数-实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数。
或者是总产品数-(每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数。
例题
例1. 有鸡兔共30只,兔脚比鸡脚多60只,问鸡兔各多少只?
解:兔数:(2×30+60)÷(2+4)=20(只); 鸡数:30-20=10(只)
解析:首先假设都是鸡,那么有60只脚,然后再加上鸡兔脚数之差,那么剩下的和兔数相同的鸡和兔,也就是相当也是一种六条腿的小怪物,所以再除以6,就自然得出兔子的数了。 例2. 小朋友们去划船,大船可以坐10人,小船坐6人,小朋友们共租了15只船,已知乘大船的人比乘小船的人多22人,问大船几只,小船几只?
解:大船:(6×15+22)÷(6+10)=7(只); 小船:15-7=8(只);
或者
小船:(10×15-22)÷(6+10)=8(只) 大船:15-8=7(只);
例3. 有一些鸡和兔,共有脚44只,若将鸡数与兔数互换,则共有脚52只。鸡兔各是多少只?
解:鸡数:〔(52+44)÷(4+2)+(52-44)÷(4-2)〕÷2 =20÷2=10(只) 兔数:〔(52+44)÷(4+2)-(52-44)÷(4-2)〕÷2 =12÷2=6(只)
解析:首先用鸡兔互换的数相加,大家想想,那出来的结果是什么,是不是鸡兔的数都变成了鸡兔的总数,已经是变成了鸡兔总数只的六条腿的小怪物,所以(52+44)÷(4+2),得出的是鸡兔的和,这时其实就变成了一道普通的鸡兔同笼问题了,但如果我们再看看用鸡兔互换的数相减得到的是什么数,为什么交换了会有差捏,因为兔子4条腿,鸡2条腿,所以每把一只鸡换成一只兔子就会多出两条腿,所以(52-44)÷(4-2),得出的是鸡兔的差。那么这是不是就变成和差问题了,下面大家就能很容易的解答了。
例4. 小朋友们去划船,大船可以坐10人,小船坐6人,能坐130人,如果把大船和小船的只数互换则少坐20人,问大船几只,小船几只?
解:小船:〔(130-20+130)÷(10+6)+20÷(10-6)〕÷2=20÷2=10(只) 大船:〔(130-20+130)÷(10+6)-20÷(10-6)〕÷2=10÷2=5(只) 例5. 有鸡兔共30只,鸡脚比兔脚多30只,问鸡兔各多少只?
解:兔数:(2×30-30)÷(2+4)=5(只); 鸡数:30-5=25(只)
解析:首先假设都是鸡,那么有60只脚,然后再减去鸡兔脚数之差,那么剩下的和兔数相同的鸡和兔,也就是相当也是一种六条腿的小怪物,所以再除以6,就自然得出兔子的数了。 例6. 小朋友们去划船,大船可以坐10人,小船坐6人,小朋友们共租了15只船,已知乘小船的人比乘大船的人多42人,问大船几只,小船几只?
解:大船:(6×15-42)÷(6+10)=3(只),小船:15-3=12(只);
或者
小船:(10×15+42)÷(6+10)=12(只)大船:15-12=3(只);
总头数-鸡数=兔数。
例7. “灯泡厂生产灯泡的工人,按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分,每生产一个不合格品不仅不记分,还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡,共得3525分,问其中有多少个灯泡不合格?”
解一 (4×1000-3525)÷(4+15)
=475÷19=25(个)
解二 1000-(15×1000+3525)÷(4+15)
=1000-18525÷19
=1000-975=25(个)(答略)
(“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”,运到完好无损者每只给运费××元,破损者不仅不给运费,还需要赔成本××元……。它的解法显然可套用上述公式。)
课堂练习
一、用替换的策略解决问题
1.粮店有大米20袋,面粉50袋,共重2250千克,已知1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等,那么一袋大米重多少千克?
2.南方果店运进苹果和雪梨一共1626千克,每箱苹果有18千克,每箱雪梨有24千克,苹果比雪梨多11箱,运进的苹果和雪梨各是多少箱?
3.1个西瓜的重量是1个苹果的12倍,小王买了2个西瓜和36个苹果,共重18千克。1个苹果重多少千克?1个西瓜重多少千克?
4.学校买来4个篮球和6个排球,共付228元,已知每个篮球比每个排球贵12元,两种球的单价各多少元?
5.6只小猪和5只小羊共重112千克,已知2只小猪的重量等于3只小羊的重量,求每只小猪和每只小羊的重量?
二、用假设的策略解决问题
1.某人徒步旅行,平路每天走25千米,山路每天走15千米,他15天共走了295千米。这期间他走了多少天山路?
2. 12张乒乓球台上共有34人在打球,问:正在进行单打和双打的台子各有几张?
3.小芳家养了鸡和兔共100只,如果鸡和兔共有248条腿,那么鸡和兔各有多少只?
4.学校买了50本笔记本,其中一部分价格是每本1.5元,另一部分价格是每本2元,买这些本子共用了88元,两种笔记本各买了多少本?
5.一次数学竞赛共20题,规定做对一题得5分,做错一题倒扣3分,不做的题不得分。小红在这次竞赛中全部题都做了,总分是84分,她做错了几题?
6.甲地到乙地的车票每张33元,甲地到丙地的车票每张52元。某单位买了这两种车票共10张,用去406元。两种车票各买了多少张?
7.甲数与乙数的和是73,甲数的4倍与乙数的6倍的和是388。甲乙各是多少?