第三章拉压杆的强度计算及静不定问题

第三章 拉压杆的强度计算及静不定问题

本章重点内容及对学生的要求：

（1）杆件承受拉压时的强度条件以及许用应力的确定；

（2）能熟练应用杆件承受拉压时的强度条件去完成强度校核、截面设计、确定最大许可载荷等与其强度相关的计算。

第一节 承受拉压杆件的强度计算

1、强度条件和许用应力的确定

（1）工作应力

σ=

N

，前面讨论杆件轴向拉压时截面的应力是构件的实际应力——工作应力。 A

工作应力仅取决于外力和构件的几何尺寸。只要外力和构件几何尺寸相同，不同材料做成的构件的工作应力是相同的。

随着N 的增加，杆件的应力也相应增加，为保证杆的安全工作，杆的工作应力应该规定一个最高的允许值。这个允许值是建立在材料力学性能的基础上的，称作材料的许用应力。

（2）许用应力[σ]的确定

◆材料的极限应力

材料的极限应力是指保证正常工作条件下，该材料所能承受的最大应力值。对于塑性材料，当应力达到屈服极限时，整个杆件都会发生比较大的变形且不能恢复，因此构件材料的极限应力为屈服极限。

脆性材料时，当应力达到强度极限时发生断裂，故对脆性材料以σb 作为极限应力。

t t ⎧⎪σs (σ0. 2) 塑性材料为屈服极限σ=⎨

脆性材料为强度极限⎪⎩σb 0

◆安全系数和许用应力的确定 工程实际中是否允许

⎧σ

σ=σ0=⎨s 不允许！

⎩σb

对于同样的工作应力，为什么有的构件破坏、有的不破坏？显然这与材料的性质有关。

原因为：

# 实际与理想不相符

生产过程、工艺不可能完全符合要求； 对外部条件估计不足； 数学模型经过简化；

某些不可预测的因素；

# 构件必须适应工作条件的变化，要有强度储备。（例如南方与北方的温差问题） # 考虑安全因素

综上所述得出

许用应力[σ]=

σ0

n

σs ⎧

[]塑性材料：σ=⎪n s ⎪

⎨σb

⎪脆性材料：[σ]=⎪n b ⎩

一般来讲，n b 〉n s ，因为断裂破坏比屈服破坏更危险。安全系数的选取还要考虑对安全要求的高低和经济等因素的影响。

（3）强度条件

以上为受拉压杆件的强度条件。

2、强度条件的应用

（1）强度校核 已知 N 和 A ，可以通过校核强度判断构件是否安全可靠，即考察是否：

σmax ≤[σ]

（2）截面设计 已知杆件所受的载荷和所采用的材料，即 N 和 [σ]，要求确定并设计所需要的构件的截面A （几何形状）。 A min ≥

N max

σ

（3）确定最大的许用载荷 已知构件的几何尺寸和材料，即A 和[σ]，要求确定构件能承受的最大载荷。 N max ≤A min [σ]

例题1 已知一圆杆受拉力P =25 k N，直径 d =14mm，许用应力[σ]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。

解：① 轴力：N = P =25kN

N 4P 4⨯25⨯103

===162MPa ②应力σmax =

A πd 23. 14⨯0. 0142

③强度校核：σmax =162MPa

④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。 在进行计算时一定要注意单位。（以设计的小精馏塔为例）

例题2 简易起重机构如图，AC 为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P ，为使 BD 杆最轻，角 θ 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力为[σ]。

图1

解：

（1）分析：材料一定的情况下，要使BD 杆最轻，则必有BD 杆的体积最小，根据图中的几何关系有：V =A BD L BD ; L BD =h /sin θ

又根据拉压杆的强度条件可知：BD 杆的截面积必满足：A BD ≥N B /[σ] ; （2）选取AB 杆为研究对象，则AB 杆的受力图为：

图2

（3）根据静力平衡条件，求取N BD ：

对A 点取矩，

∑m

A

=0 , (N BD sin θ ) ⋅(h ctg θ) =Px

N BD =

Px

h cos θ

（4）BD 杆面积A ：A ≥N BD /[σ]

（5）求VBD 的最小值：V =AL BD =Ah /sin θ≥

2Px

;

[θ] sin 2θ

∴θ=45o 时, V min =

2Px

[σ]

例题3：如下图，已知：木杆面积A 1=104mm2， [σ]1=7MPa，钢杆面积A 2=600mm2，[σ]2=160MPa,确定许用载荷[G]。

图3

解：1、求各杆的轴力

（a ）选取B 点作为研究对象； （b ）画B 点受力图，如图b) 。 （c ）根据静力平衡条件建立方程 ∑Fx=0 －F N1－F N2cos300=0 ∑Fy=0 F N2sin300－G=0

求解上式，得： F N1= －1.73G , F N2=2G，

对于此结构，拉杆所受的力总是大于压杆所受的力。 2、用木杆确定[G]

由强度准则： σ1 =FN1/A1≤ [σ1] 得：G ≤ [σ1] A1 /1.73=40.4kN

3、校核钢杆强度，即： σ2 =FN2/A 2= 2G/A2=80.8×103/600 =134.67MPa

第二节 拉杆中的静不定问题

1、 静不定问题的判定

（1）静定结构：约束反力（轴力）可由静力平衡方程求得，例如下图的（a ），两个未知的约束反力，可以用两个静力平衡方程求解。

（a ） （b ）

图4

（2）超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高，约束反力数目超过静力平衡方程数，约束反力不能由平衡方程求得。例如（b ）图，三个约束反力，但是仅有两个静力平衡方程。要想求解此三个约束反力，就必须补充一个关联N 3和N 1的方程，一般采用构件与约束相适应的变形协调条件来建立补充方程。

超静定度（次）数：约束反力多于独立平衡方程的数。独立平衡方程数： 1平面任意力系：3个平衡方程；○2平面汇交力系：2个平衡方程； ○

3平面平行力系：2个平衡方程；○4共线力系：1个平衡方程。 ○

2、 超静定结构的求解方法：

⑴列出独立的平衡方程； ⑵分析变形几何关系； ⑶引入物理关系； ⑷建立补充方程； ⑸联立求解方程组。

例题：以上图（b ）为例，AB 、AC 和AD 三杆组成的构架，各杆两端都用铰链连接，在绞接点A 受到外力G 的作用，已知1、2两杆的长度，横截面积及材料均相同，即l 1=l 2=l ， A 1=A 2=A ，E 1=E 2=E ，杆3横截面积为A 3，材料的弹性模量为E 3，试求三杆的内力。由于在A 、B 、C 及D 各点都为铰接，所以三杆都是二力构件，都只受轴力的作用力，设以

N 1、N 2及N 3分别表示杆1、2及3的轴力，并假设它们都是拉力，研究铰接点A 的平衡,

如图（b ）, 由静力平衡条件

∑F

x

=0及∑F y =0，得

N 2sin a -N 1sin a =0

N 1cos a +N 2cos a +N 3-G =0

在上面的两个方程中有三个未知数，所以需要建立一个补充方程。

图5

为此，根据杆件受力后的变形谐调条件建立一个变形几何方程。整个构架在铰接点A 受到外力G 作用后, 各杆都要伸长, 但它们的下端连接在一点,, 由于构件在几何形状、材料性质、及受力情况各方面都是左右对称的，故铰接点A 只有铅锤方向的位移，而没有水平方向的位移。（c ）中的虚线表示构架变形后的情况。如图可见，各杆变形之间后的关系，

∆l 3cos a =∆l 1cos a

就是构架的变形几何方程

应用虎克定律可得 ∆l 1=右图（a ）可得 l 3=l 1cos a 故得 N 1=N 3

N 1l 1N 3l 3

=cos a E 1A 1E 3A 3

EA

cos 2a 就是所需的补充方程。 E 3A 3

G 2cos a

E 3A 3EA cos 2a

，N 3=

联立方程组得到 N 1=N 2=

G

3

1+2cos a

E 3A 3

3、化工设备中的静不定问题举例

例题3-4 列管式换热器（图6）筒体内直径D 1=500mm ，壁厚δ=8mm ，管束由172根Φ25⨯2. 5的换热管组成，已知壳程压力P a =2MPa ，管程压力P b =2. 2MPa ，管束与壳体材料均为低碳钢，试求管束与壳壁的轴力、轴向应力以及换热管的拉脱力。

解：（1）列力平衡方程 利用截面法将换热器截成两部分，移去下半部分，显示出筒体和管束横截面上的轴力N 1和

N 2（图6）根据壳程轴向总压力与管程轴向总压力之和等于管束轴力与筒体轴力之和的关

系可写出下式

N b +N a =P a ⋅

π

(D 4

2i -nd 2+P b ⋅

)

π

4

(d 0-2t )2⋅n （a ）

式中 n —换热管数目n=；

d 0－换热管外径d 0=25mm；

t —换热管壁厚t=2.5mm.。

一个方程解不出两个未知量（N a 与N b ），要找补充方程。

（2）变形方程

设管板是刚性板，自身不变形，则轴向拉力作用下，管束和壳体的伸长量相同，即

∆l s =∆l b （b ）

图6

(3)物理关系：∆l s =

N s ⋅l N ⋅l

；∆l b =b EA s EA b

(4)补充方程：将（c ）式代入（d ）式

N s l N l

=b E s A s E b A b

得 N s =

E s A s

N b E b A b

s s

若令 N=N b +N s ， 则由：N = 1+ E A ⎪⎪N b

b b ⎭⎝

⎛E A ⎫

N b =N

E s A s E b A b

，N a =N

E b A b +E s A s E b A b +E s A s

（3-14）

若 E a =E b 则 N b =N

A b A b

，N s =N （3-15）

A s +A b A s +A b

上式说明：壳体与管束各自的轴力在总轴力中所占的比例与它们各自的抗拉刚度EA 或

截面积A 在总抗拉刚度和总截面积中所占的比例相同。 讲本题所给数据代入可得总轴力。

N =N a +N b =p a ⋅=2⋅

π

π

5004

(D 4

2

2i -nd 2+p b ⋅

)

π

4

(d 0-2t )2⋅n

2

-172⨯25+2. 2⋅

)

π

4

(25-2⨯2. 5)2⋅172

2

=223839+118878=342717N

因为，A s =πD δ=π(500+8)⋅8=12767mm

A b =n πd ⋅t =172⨯π⨯22.5⨯2.5=30395mm 2

所以，N b =N

A b 30393

=⨯342717=241344N =241kN

A s +A b 43162

N s =N

A b 12767

=⨯342717=101373N =101kN

A s +A b 43162

壳体内的拉应力

σs =

N s 101373==7.94MPa A s 12767

N b 241344==7.94MPa A b 30395

管束内的拉应力

σb =

由于E s =E b ，所以，σs =σb 也因为壳体可以与管束的弹性应变是相等的。 拉脱力 P =【思考题】

（1）工作应力和许用应力的区别与联系？ （2）如何计算构件的工作应力？ （3）章后习题3-1、3-4、3-7、3-14。

N b 241

==1.4kN 。 n 172