数列求和的常用方法5
数列求和的常用方法:
(1)公式法:必须记住几个常见数列前n 项和
n (a 1+a n ) n (n -1) d
=na 1+; 22⎧na 1 q =1⎪
等比数列:S n =⎨a 1(1-q n ) ;
q ≠1⎪1-q
⎩
111
(2)分组求和法:如求1+1,+4, 2+7, …, n -1+3n -2, …的前n 项和
a a a 1111
可进行分组即:1++2+3+ +n -1+1+4+7+ 3n -2
a a a a
等差数列:S n =
前面是等比数列,后面是等差数列,分别求和
⎧(3n +1) n
a =1⎪⎪2
(注:S n =⎨)
⎪(3n -1) n a ≠1⎪2⎩
1
(3)裂项相消法:如a n = ,求S n ,常用的裂项
n (n +2)
1111111
=-=(-) ; , n (n +1) n n +1n (n +2) 2n n +2
1111
=[-]
n (n +1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2)
(4)错位相减法:其特点是c n =an b n 其中{an }是等差,{bn }是等比 如:求和S n =1+3x+5x2+7x3+……+(2n-1)x n -1 注意讨论x ,
⎧n 2 x =1⎪
S n =⎨(2n -1) x n +1-(2n +1) x n +(1+x )
x ≠1⎪2
(1-x ) ⎩
三 典型例题
典型题(1)”错位相减法”求数列的前N 项和:
类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到,即数列是一个“差〃比”数列,则采用错位相减法.
若a n =b n ∙c n ,其中{b n }是等差数列,{c n }是公比为q 等比数列,令 S n =b ++11c 1+b 2c 2 +n -b 1-n c
n
n c b
则qS n =b 1c 2+b 2c 3+ +b n -1c n +b n c n +1 两式相减并整理即得
例1: 已知 a n =n ∙2n -1,求数列{a n }的前n 项和S n .
20+2 21+ +(n -1) 2n -2+n 2n -1 ① 解:S n =1
2S n =1 21+2 22+ +(n -1) 2n -1+n 2n ②
②—①得
S n =n 2n -1 20-21- 2n -1=n 2n -2n +1
题外音: 错位相减法的求解步骤:①在等式两边同时乘以等比数列
{c n }的公比q ;②将两个等式相减;③利用等比数列的前n 项和的公
式求和. 题2: , 解:
23n
题3:S n =x +2x +3x + +nx (x ≠0, x ≠1)
1352n -1
, , , , ; 的前n 项和为____ 222232n
解:
典型题(2)”裂项相消法” 求数列的前N 项和:
把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵消,于是前n 项的和变成首尾若
⎧c ⎫干少数项之和,这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似⎨⎬
a a ⎩n n +1⎭
(其中{a n }是各项不为零的等差数列,c 为常数)的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和,需要掌握一些常见的裂项方法: (1(2
11111⎛11⎫
k =1=-, 特别地当 = -⎪n n +1n n +1n n +k k ⎝n n +k ⎭
1
=
k
特别地当k =
1=
例1: 数列{a n }的通项公式为a n =
1
,求它的前n 项和S n n (n +1)
解:S n =a 1+a 2+a 3+ +a n -1+a n =
11111+++ ++ 1⨯22⨯33⨯4n -1n n n +11⎫⎛11⎫⎛11⎫1⎫⎛11⎫⎛1
=⎛1-+-+-+ +-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝2⎭⎝23⎭⎝34⎭⎝n -1n ⎭⎝n n +1⎭
=1-
1n
= n +1n +1
题外音 裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差,且这两项是同一数列的相邻两项,即这两项的结构应一致,并且消项时前后所剩的项数相同.
题2: 解: 题3: 解:
111++ += 1⨯44⨯7(3n -2) ⨯(3n +1)
1111
+++... += 2∙43∙54∙6(n +1)(n +3)
的前n 项和S n . 题4
解:
典型(3)拆分组求和法:
有一类数列,它既不是等差数列,也不是等比数列. 若将这类数
列适当拆开,可分为几个等差、等比数列或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
例1:求和:S n =(2-3⨯5-1)+(4-3⨯5-2)+(6-3⨯5-3)+ +(2n -3⨯5-n ) 解:S n =(2-3⨯5-1)+(4-3⨯5-2)+(6-3⨯5-3)+ +(2n -3⨯5-n )
=(2+4+6+ +2n )-3(5-1+5-2+5-3+ +5-n )
1⎡⎛1⎫⎢1- ⎪5⎢⎝5⎭=n (n +1)-3⨯
11-5
n
⎤⎥n ⎥=n 2+n -3⎡1-⎛1⎫⎤ ⎢ ⎪⎥
4⎣⎢⎝5⎭⎦⎥
题 外 音这是求和的常用方法,按照一定规律将数列分成等差(比)数列或常见的数列,使问题得到顺利求解.
22n -1
题2: 数列1,(1+2),(1+2+2), ,(1+2+2+ +2), 的通项公
式a n = ,前n 项和S n =
1
2
14
18
1
, ⋯, 前n 项和为 ( ) 16
111
(A )n 2-n +1 (B )n 2-n +1+
222
111
(C )n 2-n -n +1 (D )n 2-n -n +1+
222
题3: 数列1, 3, 5, 7
题4:求和:S n =(a -1)+(a 2-2)+(a 3-3)+ +(a n -n )